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Rappels : D´eveloppements limit´es au voisinage de 0 : 1 1−x= 1 +x+x2+x3

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Academic year: 2022

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NOM : Pr´enom : Groupe :

Sup Galil´ee - Universit´e Paris 13 Lundi 6 octobre 2014

Contrˆole continu de Math´ematiques pour Ing´enieur Dur´ee1 heure. Sujet de 1 page.

Les documents, les calculatrices et les t´el´ephones portables sont interdits.

Rappels : D´eveloppements limit´es au voisinage de 0 : 1

1−x= 1 +x+x2+x3+· · ·+xn+o(xn) sinx=x−x3

3! +· · ·+ (−1)n x2n+1

(2n+ 1)! +o(x2n+1)

Exercice 1. Donner un ´equivalent et la limite, ´eventuelle, de la suite (un) d´efinie parun = 1 +n1n .

Exercice 2.

1. Calculer lorsqu’elle existe la somme de la s´erie g´eom´etrique de terme g´en´eralun=xn pour x= 13 etx=52. 2. Donner la nature des s´eries de terme g´en´eral 1 + (−1)nn

n2 et n+ 3 (−1)n√

n−3n.

Exercice 3. Soitf(x) =√ 1−x.

1. Donner, au voisinage de 0, le polynˆome de Taylor de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2 def. 2. Peut-on en d´eduire une approximation de√

0.9 et de√

120 ? Justifiez votre r´eponse.

Exercice 4.

1. Calculer le d´eveloppement limit´e def(x) = 1

sinx `a l’ordre 3 au voisinage de 0.

2. Calculer lim

x→0

x−sinx xsinx .

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