Calcul de puissances de développements limités
Je vous propose une façon plus "automatique" de calculer des puissances du genre :
−x+x2 2 −x3
6 2
et
−x+x2 2 − x3
6 3
.
Ces puissances se trouvent dans le sujet du DL. Cela vous permettra de gagner du temps dans la rédaction (moins de calculs au brouillon) et de faire aussi moins d’erreurs. Bien entendu, il faut s’entraîner...
Il s’agissait de la fonctionf définie parf(x) = ln(1 +e−x).
On ae−x= 1−x+x2 2 −x3
6 +◦(x3)(composition deexpar−x) etln(2 +x) = ln(2) + x 2 −x2
8 +x3
24 +◦(x3)(c’était la question 1 de l’exercice). Donc
ln(1 +e−x) = ln
1 +
1−x+x2 2 −x3
6 +◦(x3)
= ln
2 +
−x+x2 2 −x3
6 +◦(x3)
.
En notantu(x) = −x+x2 2 −x3
6 +◦(x3), on a bien lim
x→0u(x) = 0, donc on peut utiliser le DL en 0 deln(2 +x)en
"remplaçant" lexpar u (c’est une composition). Donc
ln(1 +e−x) = ln(2) +1 2
−x+x2 2 −x3
6
−1 8
−x+ x2 2 − x3
6 2
+ 1 24
−x+ x2 2 − x3
6 3
+◦(x3). (1) Il faut maintenant calculer les puissances
−x+x2 2 −x3
6 2
et
−x+x2 2 −x3
6 3
. Pour cela, on va développer les produits de la façon suivante :
−x+x2 2 −x3
6 2
+◦(x3) =
−x+x2 2 −x3
6
×
−x+ x2 2 − x3
6
+◦(x3)
=−x×
−x+x2 2 −x3
6
+ x2 2 ×
−x+x2 2 −x3
6
−x3 6 ×
−x+ x2 2 − x3
6
+◦(x3).
N’oubliez pas le◦(x3)qui vous permet maintenant de ne pas calculer tous les termes !
−x+x2 2 −x3
6 2
+◦(x3) =
x2−x3 2
+
−x3 2
+ 0 +◦(x3)
=x2−x3+◦(x3).
Maintenant, on calcule
−x+x2 2 −x3
6 3
en se servant du calcul précédant. En effet,
−x+x2 2 −x3
6 3
=
−x+ x2 2 − x3
6 2
×
−x+x2 2 −x3
6
,
donc on fait un produit de développements limités :
−x+x2 2 −x3
6 3
+◦(x3) = x2−x3
×
−x+x2 2 −x3
6
+◦(x3)
=x2×
−x+x2 2 −x3
6
−x3×
−x+x2 2 −x3
6
+◦(x3)
=
−x3
+ 0 +◦(x3).
Il reste maintenant à revenir à l’équation (1) :
ln(1 +e−x) = ln(2) + 1 2
−x+x2 2 −x3
6
−1
8(x2−x3) + 1
24(−x3) +◦(x3)
= ln(2)−x 2 +x2
1
4− 1 8
+x3
− 1 12 +1
8 − 1 24
+◦(x3).
On en déduit que, au voisinage de 0, f(x) = ln(2)−x 2 +x2
8 +◦(x3).
1
