x3−y3 x2+y2 pour (x, y)6= (0,0)

USTL — Math 202 B Parcours SPI

El´ements de calcul diff´erentiel 2008-2009

Examen seconde session le 1er septembre 2009, Dur´ee : 2h Documents, calculatrices et t´el´ephones interdits Exercice I. (5 points)

1. Donner la d´efinition de la diff´erentiabilit´e en (0,0) d’une fonction g:R² →R. 2. On consid`ere la fonction f d´efinie surR² par

f(x, y) = x³−y³

x²+y² pour (x, y)6= (0,0); etf(0,0) = 0.

(a) Montrer quef est continue surR².

(b) Calculer les d´eriv´ees partielles premi`eres de f en (0,0).

(c) Montrer quef n’est pas diff´erentiable en (0,0).

(d) La fonctionf est-elle de classeC¹dans un voisinage de (0,0) ? Justifier votre r´eponse.

Exercice II. (6 points) Les questions suivantes sont ind´ependantes : 1. Calculer

Z Z

D

(x−y)²dxdy o`u D = {(x, y) ∈ R²|1 ≤ x²+y² ≤ 2; 0 ≤ y ≤ x} (On peut utiliser les coordonn´ees polaires).

2. Calculer Z

Γ

ydx+y²dy o`u Γ est le cercle dansR² de centre (1,0) et de rayon 1.

3. Calculer Z

C

zdx+xdy+ydz o`uCest la courbe dansR³ d´efinie par :

x+z= 0, x²+y²+z²= 1.

Exercice III. (9 points) SoitU ={(x, y)∈R²|x >0} un ouvert deR². On consid`ere la forme diff´erentielle ω=P(x, y)dx+Q(x, y)dy avec

P(x, y) =y

1 + f(x, y) x²+y²

, Q(x, y) =−x

1 + f(x, y) x²+y²

d´efinie sur U, o`u f est une fonction de classe C¹ surU.

1. Monter queω est exacte surU si et seulement sif est solution de l’´equation aux d´eriv´ees partielles

x∂f

∂x+y∂f

∂y =−2(x²+y²) (E) 2. Soit φ:U →R² d´efinie par φ(x, y) = (_x^y, x²+y²).

(a) Montrer queφest unC¹-diff´eomorphisme deU sur l’ouvertV ={(u, v)∈R²|v >0}.

(b) R´esoudre l’´equation aux d´eriv´ees partielles (E) en utilisant le changement de variables φ, c’est-`a-dire que, en posantf(x, y) =F(u, v) o`u u= ^y_x, v=x²+y².

3. On choisit f(x, y) = 1 +_x^y2₂ −(x²+y²). Trouver une primitive deω.

4. Calculer Z

C₁

ωo`uC1 est le demi cercle sup´erieur de diam`etre [AB] deA(1,2) versB(3,2).