y4−x3−xy2 x2+y2 pour (x, y)6= (0,0)

Math 202 B El´ements de calcul diff´erentiel Parcours SPI

Examen, le 25 Janvier 2008 `a 8h,Dur´ee : 3h Documents, calculatrices et t´el´ephones interdits

Exercice I. (3 points) On consid`ere la fonctionf d´efinie surR² par f(x, y) = y⁴−x³−xy²

x²+y² pour (x, y)6= (0,0); etf(0,0) = 0.

(a) Montrer quef est continue en (0,0).

(b) Montrer quef est diff´erentiable en (0,0) et pr´eciser sa diff´erentielle df(0,0).

Exercice II. (6 points)

1. Soit ω la forme diff´erentielle d´efinie surR² par

ω= (e^yycos(xy))dx+e^y[1 +xcos(xy) + sin(xy)]dy.

(a) Montrer queω est exacte surR².

(b) D´eterminer les fonctions F telles queω =dF. (c) Donner la valeur de

Z

C⁺

ω o`uC⁺est le demi-cercle unit´e sup´erieur deR² orient´e dans le sens trigonom´etrique.

2. (a) Enoncer le th´eor`eme de Green-Riemann.

(b) Utiliser le th´eor`eme de Green-Riemann pour calculer l’int´egrale curviligne suivante : Z

C⁺

ycosxdx+ (x+ sinx)dy

o`u C⁺ est le cercle{(x, y) ∈R² :x²+y²= 4} orient´e dans le sens trigonom´etrique.

Exercice III. (6 points) 1. Montrer que

Z π

−π

cos²θsin²θdθ= π 4.

2. On pose pour a >0,D_a={(x, y)∈R²|x²+y²≤a²}.Calculer ZZ

Da

x²y²dxdy.

3. Soit D={(x, y, z)∈R³|x²+y²+z²≤1}. Calculer ZZZ

D

x²y²z²dxdydz a) En utilisant le th´eor`eme de Fubini pourDsimple par rapport `a z;

b) En utilisant les coordonn´ees sph´eriques.

Exercice IV. (5 points) Soient U ={(x, y)∈ R²|x > y} etV{(u, v)∈ R²|2v²+u >0} deux ouverts de R², et l’applicationφ:U →V d´efinie parφ(x, y) = (x²−y²−2xy, y) = (u, v).

1. (a) Montrer que φest une bijection deU sur V (on explicitera φ⁻¹(u, v)).

(b) Justifier le fait que φest unC¹-diff´eomorphisme de U sur V.

2. Soit F : V → R une fonction de classe C¹, on pose f = F ◦ϕ, autrement dit, pour (x, y)∈U,f(x, y) =F(u, v).

(a) Exprimer les d´eriv´ees partielles premi`eres ∂f

∂x et ∂f

∂y en fonction de ∂F

∂u et ∂F

∂v. (b) R´esoudre l’´equation aux d´eriv´ees partielles suivante :

(x+y)∂f

∂x+ (x−y)∂f

∂y = 0.