ω=ydx+ 2xdy,Γest le contour, parcouru dans le sens direct du domaine déni par x2+y2−2x≤0 x2+y2−2y≤0 d

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Lycée Hoche MPSI B Feuille FVG : calcul intégral

1. ^Eig01Calculer l'aire comprise entre les deux boucles de la courbe donnée en coordonnées polaires parρ= 2 cosθ−1 ( limaçon de Pascal).

2. ^Eig02Calculer les intégrales curvilignesR

Γω dans les cas suivants.

a. ω = x²dx+y²dy, Γ est la demi-ellipse parcourue dans le sens indirect et dénie par

x²+ 4y²−4 = 0 y≥0

b. ω = _x^x−y₂_+y₂dx + _x^x+y₂_+y₂dy, Γ est le contour du carré A, B, C, D avec A = (1,1), B = (−1,1), C= (−1,−1),D= (1,−1).

c. ω=ydx+ 2xdy,Γest le contour, parcouru dans le sens direct du domaine déni par

x²+y²−2x≤0 x²+y²−2y≤0

d. ω = ydx+xdy, Γ est l'arc de parabole y = x² parcourue deO(0,0)versA(2,4).

3. (Eig03) Calculer R

Df dx ∧dy dans les cas suivants (on donneDà gauche et f à droite)

D= [0, π]² (x+y) sinxsiny

x≥0, x²+y²≤1 y

x²+ 1 x⁴+y⁴+x²−y²≤1 2x(x²+y)

x² a² +y²

b² ≤1 x²+y²

4. ^Eig04CalculerR

Df dxdydans les cas suivants à l'aide d'un changement de variable.

a. D est limité par deux paraboles données par les inéquations

y²−2px≤0 , x²−2py≤0

f = exp^x³_xy^+y³, utiliser le changement de variable x=u²v, y=uv².

b. Soita et b tels que 0 < a < b, le domaine D est déni par les équations

a≤xy≤b, 0≤x≤y, y²−x²≤1 f = (y²−x²)(x²+y²), utiliser le changement de variableu=xy, v=y²−x².

Les fonctions u et v sont dénies dans le premier quart de plan.

c. Dest la partie du plan y >0limité par les quatre paraboles

P₁:y²= 4x+ 4, P₂:y²= 2x+ 1 P3:y²= 9−6x, P4:y²=−4x+ 4

f =√ ^y

x²+y², utiliser le changement de variablex= u²−v², y= 2uv.

5. ^Eig05Montrer que

∀x∈[0,1],ln(1 +x) = Z 1

0

x 1 +xydy En déduire la valeur de

Z 1

0

ln(1 +x) 1 +x² dx puis celle de

Z 1

0

arctanx 1 +x dx

6. ^Eig06SoitDle domaine du plan déni par les inégalités : x≥0, y≥0, x+y≤1

Soitf une fonctionC¹(R), calculer Z

D

f(x+y)dx∧dy

en utilisant une primitiveF def et une 1-forme. Appli- quer au cas oùf(t) = ln(1 +t).

7. ^Eig07Soitaun réel strictement positif, la ligne de niveau ode la fonction

f =x³+y³−3axy

est appelée folium de Descartes. Elle forme une boucle dans le domaine du plan x > 0, y > 0. Dessiner cette boucle et calculer son aire.

8. ^Eig08Intégrale de Dirichlet.

Soit D l'ensemble des points m d'un plan rapporté à

Fig. 1 Exercice 8

un repère tels que |x(m)|+y(m) > 0. On dénit les fonctionsA etB par

A= e^−y

x²+y²(xsinx−ycosx) B= e^−y

x²+y²(xcosx+ysinx) On noteω=Adx+Bdy et

I(r) = Z π

0

e^−r^sin^θcos(rcosθ)dθ

et on admet queI−−→^+∞ 0 etI−→⁰ π. a. Dessiner le domaineD. Est-il étoilé ? b. Calculer ^∂A_∂y et ^∂B_∂x.

c. Montrer que l'intégrale curviligne de ω le long de la courbe constituée de segments et de demi-cercles (de rayon0< r < R(gure 1) est nulle.

d. En exprimant cette intégrale curviligne d'une autre manière montrer que, quandr→0,

Z ¹_r

r

sint t dt→ π

2

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1 Rémy Nicolai _fex_igpdf du 28 février 2020

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Lycée Hoche MPSI B Feuille FVG : calcul intégral : corrigés

1. pas de correction pour Eig01.tex 2. pas de correction pour Eig02.tex 3. pas de correction pour Eig03.tex 4. pas de correction pour Eig04.tex 5. pas de correction pour Eig05.tex 6. pas de correction pour Eig06.tex 7. pas de correction pour Eig07.tex 8. pas de correction pour Eig08.tex

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2 Rémy Nicolai _fex_igpdf du 28 février 2020