Math´ematiques, LM216, ann´ee 2010-2011
Examen du 11 janvier 2011
Les quatre exercices sont ind´ependants
Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es
Exercice 1
On d´efinit dans le plan l’ensemble
Γ ={(x, y)∈R2|x6+ 3x2y2+y4= 64}.
1) Montrer que Γ est une partie compacte deR2.
2) Montrer qu’en tout point (x0, y0) de Γ, cet ensemble admet une tangente dont on d´eterminera l’´equation.
3) En quels points de Γ la tangente est-elle parall`ele `a l’axe Ox ? `a l’axeOy ?
Exercice 2
1) Chercher les points critiques de la fonction
f : (x, y)7→x3+ 8y3−6xy−1.
2) Pour chaque point critique, ´ecrire le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 et d´eterminer si c’est un extremum ou non.
Exercice 3
1) Dessiner le parall´elogramme Dde sommets (−1,2), (3,0), (−2,1), (2,−1).
2) A l’aide du changement de variables` x=−2u+v, y=u+v, calculer Z Z
D
y2dxdy.
3) Quelle est la valeur moyenne dey2 surD?
Exercice 4
On d´efinit surU =R2\ {0}la forme diff´erentielle
ω= −y+x
x2+y2 dx+ x+y x2+y2 dy.
1) La formeω est-elle ferm´ee ?
2) La forme ω est-elle exacte ? (on calculera R
Γω, o`u Γ est le cercle x2 +y2 = 1 parcouru dans le sens trigonom´etrique).
3) Montrer que la restrictionω|V deω`aV ={(x, y)∈R2|x >0}est exacte surV et trouver les primitives ?
