1) Tracer le cercle trigonom´ etrique et placer les points d’affixes :

1) Tracer le cercle trigonom´ etrique et placer les points d’affixes :

0 ;

√3 +i

2 ;

√2

2 (1 +i) ; 1 +i√ 3

2 ; i; i√ 3−1

2 ;

√2

2 (i−1) ; i−√ 3 2 ; −i

Placer ensuite les points d’affixes conjugu´es et indiquer sur la figure l’affixe de chaque point, sous formealg´ebrique et sous forme exponentielle.

2) Formes alg´ ebriques et exponentielles

Ecrire chaque nombre sous forme alg´´ ebrique ou exponentielle selon le cas : 1 ; −1 ; i; −i; 1 +i; 1−i; e^iπ; e^iπ2 ; e^iπ3 ; e^−iπ2 ; e^i4π3 ; iⁱ 1 +i√

3 ; 3−i√ 3 ; √

3 +i√

3 ; cos(θ)−isin(θ) ; sin(θ) +icos(θ)

3) Simplifier les expressions suivantes

8 + 12i 5 +i

6

;

1−i 2

7

×(2√

3 + 2i)³ ;

1 +i i√

3 8

; 3−i√ 3 3−3i

!6

4) Calcul des arguments

a) Pour quelles valeurs den ∈N le nombre : (1−i)ⁿ est-il r´eel ? b) Pour quelles valeurs den ∈N le nombre : 1 +i√

3ⁿ

est-il imaginaire ?

5) Lin´ eariser les expressions suivantes :

sin³(t)×cos²(2t) ; (sin(t)×cos(t))² ; cos⁴(t)×sin(4t)

6) Soit la fonction f : z 7→ Z = f (z) = z + 1 − iz

Soient les points : A d’affixe −1, B d’affixe i etC d’affixe 1 a) Pr´eciser la nature de la transformation complexe f

b) On fera une figure sur laquelle on repr´esentera le triangleABC, son transform´eA⁰B⁰C⁰ par f et le transform´e de son transform´e : A⁰⁰B⁰⁰C⁰⁰.

7) Soit la transformation

f : z 7→ Z =f(z) = (i−1)z+ 5 a) Pr´eciser la nature de la transformation complexe f

b) Faire une figure sur laquelle on repr´esentera le triangle ABC et le triangle A⁰B⁰C⁰ son transform´e par f sachant que les affixes respectives de A_a , B_b et C_c sont :

a =−1 , b=−2 +i et c= 3i

8) Soit la transformation

f : z 7→ Z =f(z) = i z+i a) Pr´eciser la nature de la transformation complexe f

b) Indiquer quelle est l’image par f du cercle trigonom´etrique.

c) D´eterminer l’ensemble (D) dont l’image par cette transformation est le cercle de centre Ω(1,0) et de rayon 1.

d) D´eterminer l’ensemble (C) dont l’image par f est la droite d’´equation : X+Y + 1 = 0

.

9) Soit la transformation

f : z 7→ Z = (1−2i)z−3 + 3i z−3−i a) Ecrire´ Z sous forme : Z =α+ β

z−3−i o`u α etβ sont des complexes.

b) D´eterminer, `a l’aide des transformations ´el´ementaires, l’image du cercle C suivant : C de centre Ω d’affixe 2 + 2i et de rayon R =√

2

10) Etudier les transformations complexes suivante : ´

a) z 7→Z = iz

b) z 7→Z = (1−i)z+ 2i

Exercices sur les Complexes (Solutions)

1) Tracer le cercle trigonom´ etrique et placer les points d’affixes :

Placer ensuite les points d’affixes conjugu´es et indiquer sur la figure l’affixe de chaque point, sous formealg´ebrique et sous forme exponentielle.

•A

G• •B

•

F⁰ •

B⁰

F• •C

• C⁰ E•

• E⁰

•A⁰ G⁰•

O • •I

H•

D•

D•⁰

A:

√3 +i

2 =e

i

π

6 ; B :

√2

2 (1 +i) =e^{i π4} ; C : 1 +i√ 3

2 =e^{i π3} ; D: i=e^{i π2} E : i√

3−1 2 =eⁱ

2π

3 ; F :

√2

2 (i−1) =eⁱ

3π

4 ; G: i−√

3 2 =eⁱ

5π

6 ; H : −1 ; I : 1

Conjugu´es : A⁰ :

√3−i

2 =e^{−i π6} ; B⁰ :

√2

2 (1−i) = e^{−i π4} ; C⁰ : 1−i√ 3

2 =e^{−i π3} ; D⁰ : −i=eⁱ

−π 2

E⁰ : −1−i√ 3 2 =e⁻ⁱ

2π

3 ; F⁰ :

√2

2 (−1−i) =e⁻ⁱ

3π

4 ; G⁰ : −√

3−i 2 =e⁻ⁱ

5π 6

2) Formes alg´ ebriques et exponentielles

Ecrire chaque nombre sous forme alg´´ ebrique ou exponentielle selon le cas : 1 = e⁰ ; −1 =e^iπ ; i=e^{i π2} ; −i=e^{−i π2} ; 1 +i=√

2e^{i π4} ; 1−i=√ 2e^{−i π4} e^iπ =−1 ; e^iπ2 =i ; e^iπ3 = 1

2(1 +i√

3) ; e^−iπ2 =−i ; e^i4π3 =−1

2(1 +i√ 3) Curiosit´e : iⁱ = e^{i π2}i

=e⁻

π

2 ; iⁱ ∈R ; iⁱ '0,207879576351 1 +i√

3 = 2e^iπ3 ; 3−i√

3 = 2√

3e^−iπ6 ; √

3 +i√ 3 =√

6e^iπ4 cos(θ)−isin(θ) =e^−iθ ; sin(θ) +icos(θ) = e^i(π2−θ)

3) Simplifier les expressions suivantes

8 + 12i 5 +i

6

=

(8 + 12i)(5−i) (5 +i)(5−i)

6

=

52 + 52i 26

6

= (2 + 2i)⁶ = 2√

2e^{i π4}6

= 2⁹eⁱ

3π

2 = −512i

1−i 2

7

×(2√

3 + 2i)³ =

√2 2 e^{−i π4}

!7

×

4e^{i π6}3

=

√2 2⁴ e⁻ⁱ

7π

4 ×2⁶e^{i π2}

= 2²√ 2e⁻ⁱ

5π4

= 4√ 2eⁱ

3π4

= −4 + 4i 1 +i

i√ 3

8

=

√2e^{i π4}

√3e^{i π2}

!8

= 2⁴e^2iπ

3⁴e^4iπ = 16 81 3−i√

3 3−3i

!6

= 2√ 3e^{−i π6} 3√

2e^{−i π4}

!6

= 2⁶3³e^−iπ 3⁶2³e^−i3π2

= 2³

3³ e^{i π2} = 8i 27

4) Calcul des arguments

a) Pour quelles valeurs den ∈N le nombre : (1−i)ⁿ est-il r´eel ? Un r´eel est un complexe d’argument 0 s’il est positif ouπ s’il est n´egatif.

Or (1−i)ⁿ =√

2e^{i π4}n

= √

2n

e^{i nπ4} donc : (1−i)ⁿest r´eel si et seulement si nπ

4 =kπ c’est `a dire sin est un multiple de 4 (n = 4k) b) Pour quelles valeurs den ∈N le nombre : 1 +i√

3n

est-il imaginaire ? Un imaginaire est un complexe d’argument π

2 ou −π 2 . Or 1 +i√

3ⁿ

=

2e^{i π3} n

= 2ⁿe^{i nπ3} donc : 1 +i√

3ⁿ

est imaginaire si et seulement si nπ 3 = π

2+kπ ce qui est impossible n= 3k+3 car n et k sont des entiers. 2

5) Lin´ eariser les expressions suivantes :

sin³(t)×cos²(2t) =

e^it−e^−it 2i

3

e^2it+e^−2it 2

2

= 1

−2⁵i e^it−e^−it3

e^2it+e^−2it2

sin³(t)×cos²(2t) = 1

−2⁵i e^it−e^−it3

e^2it+e^−2it2

= 1

−2⁵i e^3it−3e^it+ 3e^−it+e^−3it

e^4it+ 2 +e^−4it

= 1

−2⁵i e^7it−3e^5it+ 5e^3it−7e^it+ 7e^−it−5e^−3it+ 3e^−5it−e^−7it

= 1

−2⁴

e^7it−e^−7it

2i −3e^5it−e^−5it

2i + 5e^3it−e^−3it

2i −7e^it−e^−it 2i

= 1

−2⁴

sin(7t)−3 sin(5t) + 5 sin(3t)−7 sin(t)

= −sin(7t) + 3 sin(5t)−5 sin(3t) + 7 sin(t) 16

(sin(t)×cos(t))² =

e^it−e^−it

2i ×e^it+e^−it 2

2

= 1

−2⁴ e^2it−e^−2it2

= 1

−2⁴ e^4it−2 +e^−4it

= 1

−2³ (cos(4t)−1) = 1−cos(4t) 8

cos⁴(t)×sin(4t) =

e^it+e^−it 2

4

e^4it−e^−4it 2i

= 1

2⁵i e^4it+ 4e^2it+ 6 + 4e^−2it+e^−4it

e^4it−e^−4it

= 1

2⁵i e^8it+ 4e^6it+ 6e^4it+ 4e^2it−4e^−2it−6e^−4it−4e^−6it−e^−8it

= sin(8t) + 4 sin(6t) + 6 sin(4t) + 4 sin(2t) 16

6) Soit la fonction f : z 7→ Z = f (z) = z + 1 − iz

Soient les points : A d’affixe −1, B d’affixe i etC d’affixe 1 a) Pr´eciser la nature de la transformation complexe f On a f : z 7→ Z =f(z) =z+ 1−iz = (1−i)z+ 1 Le point fixe, solution de f(z) =z est : z =−i Donc f est une similitude :

– de centre Ω d’affixe (−i) – de raport √

2 =|1−i|

– d’angle −π

4 = arg(1−i)

b) On fera une figure sur laquelle on repr´esentera le triangleABC, son transform´eA⁰B⁰C⁰ par f et le transform´e de son transform´e : A⁰⁰B⁰⁰C⁰⁰.

A•

B =• A⁰

B⁰ =• A⁰⁰

•B⁰⁰

• C⁰⁰

C⁰•

•C

Les transform´es des points A, B et C sont les points :

A⁰ d’affixe (i), B⁰ d’affixe (2 +i) et C⁰ d’affixe (2−i) A⁰⁰ d’affixe (2 +i), B⁰⁰ d’affixe (4−i) et C⁰⁰ d’affixe (2−3i)

7) Soit la transformation

f : z 7→ Z =f(z) = (i−1)z+ 5 a) Pr´eciser la nature de la transformation complexe f Le point fixe, solution de (i−1)z+ 5 =z est : z = 2 +i Donc f est une similitude :

– de centre Ω d’affixe (2 +i) – de raport √

2 =| −1 +i|

– d’angle 3π

4 = arg(−1 +i)

b) Faire une figure sur laquelle on repr´esentera le triangle ABC et le triangle A⁰B⁰C⁰ son transform´e par f sachant que les affixes respectives de A_a , B_b et C_c sont :

a =−1 , b=−2 +i et c= 3i On fera de mˆeme une figure Les transform´es des points A, B et C sont les points :

8) Soit la transformation

f : z 7→ Z =f(z) = i z+i a) Pr´eciser la nature de la transformation complexe f

D´ecomposition en transformations ´el´ementaires : Attention aux notations z 7−→^f1 z₁ =z+i7−→^f2 z₂ = 1

z1 f3

7−→Z =f(z) =i z₂

Ce qui signifie quef est la compos´ee de f₁,f₂ etf₃ successivement dans cet ordre.

z 7−→ Z =f(z) =f₃

f₂ f₁(z) Avec :

f1 Translation de vecteur d’affixe (i) f₂ Inversion Complexe

f₃ Rotation de centre O d’angle π

2 = arg(i) b) Indiquer quelle est l’image par f du cercle trigonom´etrique.

T 7−→^f1 T₁ 7−→^f2 T₂ 7−→^f3 T⁰ =f(T)

R iR

1 i

0

T T₁

T2

T⁰ =f(T)

L’image T⁰ du cercle trigonom´etrique T par f est la droite verticale d’´equation : X = 1 2

c) D´eterminer l’ensemble (D) dont l’image par cette transformation est le cercle de centre Ω(1,0) et de rayon 1.

D7−→^f1 D₁ 7−→^f2 D₂ 7−→^f3 D⁰ =f(D) cercle de centre Ω de rayon 1 Il suffit de faire la transformation f⁻¹ r´eciproque «`a l’envers»

R iR

1 i

0

D D₁

D₂

D⁰ =f(D)

L’ensemble (D) est la droite horizontale d’´equation : Y =−1 2

d) D´eterminer l’ensemble (C) dont l’image par f est la droite d’´equation : X+Y + 1 = 0

.

C 7−→^f1 C₁ 7−→^f2 C₂ 7−→^f3 C⁰ =f(C)

R iR

1 i

0 C

C₁ =C⁰ =f(C)

C2

9) Soit la transformation

f : z 7→ Z = (1−2i)z−3 + 3i z−3−i a) Ecrire´ Z sous forme : Z =α+ β

z−3−i o`u α etβ sont des complexes.

On a Z = (1−2i)z−3 + 3i

z−3−i = (2−2i)

z−3−i + 1−2i avec : α= 1−2i et β = 2−2i D´ecomposition en transformations ´el´ementaires :

z 7−→^f1 z₁ =z−3−i7−→^f2 z₂ = 1 z₁

f3

7−→z₃ = (2−2i)z₂ 7−→^f4 Z =f(z) =z₃+ 1−2i f =f₄◦f₃ ◦f₂◦f₁ c’est `a dire : z 7−→ Z =f(z) = f₄

f₃

f₂ f₁(z) Avec :

f₁ Translation de vecteur d’affixe (−3−i) f₂ Inversion Complexe

f₃ Similitude de centreO de rapport 2√

2 =|2−2i| et d’angle −π

4 = arg(2−2i) f4 Translation de vecteur d’affixe (1−2i)

b) D´eterminer, `a l’aide des transformations ´el´ementaires, l’image du cercle C suivant : C de centre Ω d’affixe 2 + 2i et de rayon R=√

2

C 7−→^f1 C₁ 7−→^f2 C₂ 7−→^f3 C₃ 7−→^f4 C⁰ =f(C)

R iR

1 i

0

•Ω C

C₁ C₂

C3 C⁰ =f(C) L’ensemble C⁰ est l’axe des imaginaires.

10) Etudier les transformations complexes suivante : ´

a) z 7→Z = iz z+i

f : z 7−→Z = iz

z+i = 1 z+i +i D´ecomposition en transformations ´el´ementaires :

z7−→^f1 z₁ =z+i7−→^f2 z₂ = 1 z₁

f3

7−→Z =f(z) = z₂+i f =f₃◦f₂◦f₁ c’est `a dire : z 7−→ Z =f(z) =f₃

f₂ f₁(z) Avec :

f₁ Translation de vecteur d’affixe (i) f₂ Inversion Complexe

f₃ =f₁ Translation de vecteur d’affixe (i)

b) z 7→Z = (1−i)z+ 2i z−i

f : z 7−→Z = (1−i)z+ 2i

z−i = 1 + 3i

z−i + 1−i D´ecomposition en transformations ´el´ementaires :

z 7−→^f1 z₁ =z−i7−→^f2 z₂ = 1 z₁

f3

7−→z₃ = (1 + 3i)z₂ 7−→^f4 Z =f(z) =z₃+ 1−i f =f₄◦f₃ ◦f₂◦f₁ c’est `a dire : z 7−→ Z =f(z) = f₄

f₃

f₂ f₁(z) Avec :

f₁ Translation de vecteur d’affixe (−i) f₂ Inversion Complexe

f₃ Similitude de centreO de rapport √

10 =|1 + 3i| d’angle arctan(3) = arg(1 + 3i) f₄ Translation de vecteur d’affixe (1−i)