Exercice 1 : Une somme trigonom´ etrique.

DM 9 : facultatif

Exercice 1 : Une somme trigonom´ etrique.

1^◦) Soient n ∈ N et x ∈ R\πZ. Sans utiliser de d´emonstration par r´ecurrence,

´

etablir que

n

X

k=0

cos²(kx) = 2n+ 3

4 +sin ((2n+ 1)x) 4 sin(x) . 2^◦) Soit n∈N^∗. Calculer C_n=

n

X

k=0

cos² kπ 2n+ 1

.

Exercice 2 : Une somme de produits.

1^◦) Soit (a_j)j≥1 une suite de nombres r´eels.

Pour tout k∈N, on pose P_k =

k

Y

j=1

(1−a_j).

D´emontrer que, pour tout n ∈N, P_n+

n

X

k=1

a_kPk−1 = 1.

2^◦) D´eduire de la question pr´ec´edente que, pour toutn ∈N^∗,

n

X

k=1

n−1 k−1

k!

n^k = 1.

3^◦) Donner une seconde d´emonstration de cette derni`ere ´egalit´e en faisant intervenir une somme t´elescopique.

1

Exercice 3 : Proximal d’une famille de points du plan.

1^◦) Soient n un entier naturel non nul et z₁, . . . , z_n des nombres complexes non nuls. D´emontrer que |z₁ +· · ·+z_n|=|z₁|+· · ·+|z_n| si et seulement si les z_i ont tous le mˆeme argument.

2^◦) Soit n un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 3.

Soienta₁, . . . , a_ndes nombres complexes non nuls dont les images dans le plan complexe sont not´eesA₁, . . . , A_n. On suppose queA₁, . . . , A_n ne sont pas align´es.

On suppose de plus que a₁

|a1|+ a₂

|a2| +· · ·+ a_n

|an| = 0.

Pour tout nombre complexez, on poseS = a₁

|a₁|(a₁−z)+ a₂

|a₂|(a₂−z)+· · ·+ a_n

|a_n|(a_n−z).

a) V´erifier queS =|a₁|+|a₂|+· · ·+|a_n|.

b) En d´eduire que, pour tout nombre complexe z :

(∗) :|a₁|+|a₂|+· · ·+|a_n| ≤ |a₁−z|+|a₂ −z|+· · ·+|a_n−z|.

Traduire g´eom´etriquement cette in´egalit´e (c’est-`a-dire `a l’aide des pointsO, A1, . . . , An

et du point M d’affixe z) et interpr´eter.

c) D´emontrer qu’il y a ´egalit´e dans l’in´egalit´e (∗) si et seulement si z est nul.

Exercice 4.

Soient n, p∈N^∗. Quel est le nombre de suites strictement monotones constitu´ees de p nombres de l’ensemble d’entiers {1, . . . , n}?

2

Probl` eme : D´ enombrement par involution.

Principe d’involution.

1^◦) Soit E un ensemble fini. On suppose que E+ etE− sont deux parties disjointes deE dont la r´eunion est ´egale `a E. Ainsi, E₊∩E− =∅et E =E₊tE−.

Consid´erons f : E −→E une involution, c’est-`a-dire une application telle que f ◦f = IdE.

On note F_f = {x ∈ E / f(x) = x} l’ensemble des points fixes de f. On suppose que tous les points fixes def appartiennent `a E<sub>+</sub>, c’est-`a-direF_f ⊂E₊.

On suppose ´egalement que l’involution f est alternante, c’est-`a-dire que :

∀x∈E₊\F_f, f(x)∈E− et ∀x∈E−, f(x)∈E₊. D´emontrer que cardF_f = cardE₊−cardE−.

Chemins de Dyck.

On munit le plan d’un rep`ere orthonormal (O;−→ı ,−→). On rappelle que la notation M(a, b) signifie que le point M est de coordonn´ees (a, b) dans le rep`ere (O;−→ı ,−→).

Pour tout entier naturel s, on appelle chemin de longueur s la donn´ee d’une liste (M₀, . . . , M_s) de s+ 1 points `a coordonn´ees enti`eres tels que −−−−−→

Mk−1M_k ∈ {−→ı ,−→ }pour tout k ∈ {1, . . . , s}. On dit alors que les M_k sont les sommets du chemin joignant le point de d´epart M0 au point d’arriv´ee Ms.

2^◦) Soient a, b, c, d quatre entiers relatifs tels que a ≤ c et b ≤ d. D´enombrer les chemins joignant les points de coordonn´ees (a, b) et (c, d).

Pour tout entier natureln, on appelle chemin de Dyck d’ordrenun chemin (M₀, . . . , M_2n) de longueur 2n joignant les points M₀(0,0) et M_2n(n, n) tel que tous les sommets ont une abscisse sup´erieure ou ´egale `a l’ordonn´ee. Cela revient `a dire que le chemin reste en dessous de la premi`ere diagonale du plan.

On veut d´eterminer, pour toutn ∈N, le nombre C_n de chemins de Dyck d’ordre n.

3^◦) D´eterminer C₀, C₁, C₂ etC₃.On fera des dessins.

On fixe n∈N.

On noteE₊l’ensemble des chemins joignant les points de coordonn´ees (1,0) et (n+1, n).

On noteE−l’ensemble des chemins joignant les points de coordonn´ees (0,1) et (n+1, n).

On pose E =E₊tE₋.

Pour tout point M de coordonn´ees (x, y), on note Mfle point de coordonn´ees (y, x).

On d´efinit l’application f : E −→E qui, `a un chemin (M0, . . . , M2n), associe

— le chemin (M₀, . . . , M_2n) lorsque tous les sommets ont une abscisse strictement sup´erieure `a l’ordonn´ee ;

— le chemin de sommets (Mf0, . . . ,Mfk, Mk+1, . . . , M2n) avec k le premier indice d’un sommet o`u l’abscisse est ´egale `a l’ordonn´ee, sinon.

3

4^◦) V´erifier quef est une involution alternante et pr´eciser F_f. 5^◦) En d´eduire que C_n= 1

n+ 1 2n

n

.

3 : Formule du crible.

Soient A₁, . . . , A_n des ensembles finis. On pose U =A₁∪ · · · ∪A_n. On d´efinit les ensembles suivants :

— E =n

(x, I)∈U × P({1, . . . , n}) / x∈ \

k∈I

A_ko

;

— E₊={(x, I)∈E / card(I) pair};

— E−={(x, I)∈E / card(I) impair}.

On convient que, lorsque I =∅, \

k∈∅

Ak =U.

Pour tout ´el´ement xde U, on posem(x) = max{k∈ {1, . . . , n} / x∈A_k}.

On consid`ere l’application f : E −→ E qui, `a tout ´el´ement (x, I) de E, lui associe f((x, I)) =

(x, I∪ {m(x)}) si m(x)∈/I (x, I\ {m(x)}) si m(x)∈I

6^◦) V´erifier quef est une involution alternante et pr´eciser F_f. 7^◦) En d´eduire la formule du crible.

4 : Bijection de Garcia-Milne.

Soient A et B deux ensembles finis.

On suppose que A₊ et A− sont deux parties disjointes de A dont la r´eunion est ´egale

`

a A et que B+ etB− sont deux parties disjointes deB dont la r´eunion est ´egale `a B.

On consid`ere f : A −→ A et g : B −→ B deux involutions alternantes telles que F_f ⊂A₊ et F_g ⊂B₊.

On suppose ´egalement l’existence d’une bijectionϕ : A−→B quiconserve les signes, c’est-`a-dire ∀x∈A₊, ϕ(x)∈B₊ et ∀x∈A−, ϕ(x)∈B−.

8^◦) D´emontrer que cardF_f = cardF_g.

9^◦) D´emontrer que, pour tout ´el´ement x de Ff, il existe un entier naturel α(x) tel que ϕ◦(f ◦ϕ⁻¹◦g◦ϕ)^α(x)(x)∈F_g. La puissance d´esigne une it´eration pour la loi ◦.

10^◦) Exhiber une bijection entre F_f et F_g.

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