7.13 1) On a déjà déterminé le polynôme de Taylor de la fonction f(x) = ex au voisinage de0 à l’exercice 7.10 1).
Aussi peut-on directement écrire la série de Taylor correspondante : f(x) =ex = 1 +x+ x2
2! +x3
3! +. . .+ xk
k! +. . .=
+∞
X
k=0
xk k!
2) Étudions son domaine de convergence en appliquant le critère du quotient à la série de terme généraluk=
xk k!
= |xk|!k :
k→+∞lim uk+1
uk
= lim
k→+∞
|x|k+1 (k+1)!
|x|k k!
= lim
k→+∞
|x|k+1
|x|k · k!
(k+ 1)! = lim
k→+∞|x| · 1 k+ 1
=|x| lim
k→+∞
1
k+ 1 =|x| ·0 = 0<1
On constate que la série de Taylor converge, quel que soit x ∈ R. En d’autres termes, le domaine de convergence estR.
Analyse : développement en série d’une fonction Corrigé 7.13
