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Comme (x2−1)2>0 pour toutx6= 1 etx6=−1, le signe deh′(x) est celui de −x2−4x−1

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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1S Correction Fiche TP 16 2014-2015

On considère la fonction

h:Dh−→R

x 7−→ x2+x+ 1 x2−1

1. Ensemble de définition Dh : R− {−1; 1}. En effet, x2−1 = 0⇔x= 1ou x=−1.

2. Toute fonction rationnellle est dérivable sur son ensemble de définition) donchest dérivable surDh. Pour toutxdeDh,h(x) =(2x+ 1)(x2−1)−2x(x2+x+ 1)

(x2−1)2 = −x2−4x−1 (x2−1)2 . 3. On commence par résoudre surDh l’équationh(x) = 0⇔ −x2−4x−1

(x2−1)2 = 0⇔ −x2−4x−1 = 0

x=−2−√

3 ou x=−2 +√ 3 .

Comme (x2−1)2>0 pour toutx6= 1 etx6=−1, le signe deh(x) est celui de −x2−4x−1. Ce trinôme est du signe de a=−1, à l’extérieur des racines.

Tableau de variations :

x Signe deh(x) Variations

deh

−∞ −2−√

3 −1 −2 +√

3 1 +∞

− 0 + + 0 − −

ts ts

√3 2

√3 2

ts

ts

√3

− 2

√3 2

ts ts

ts ts 4. On peut étudier le signe deh(x)−1 pourx >1 :

Pour toutx > 1, h(x)−1 = x2+x+ 1

x2−1 −1 = x+ 2

x2−1 et pour x > 1, x+ 2 >0 et x2−1 >0 ce qui rend le quotient x+ 2

x2−1 strictement positif ; et par suite,h(x)−1>0⇔ h(x)>1 . 5. L’intervalle

√3 2 ;

√3 2

ne contient aucune image parh, en effet :

√3

2 est un minimum local sur ]− ∞;−1[ donc h(x)>

√3

2 sur cet intervalle ;

• −√ 3

2 est un maximum local sur ]−1; 1[ donch(x)6 −√ 3

2 sur cet intervalle ;

• (cf Q.4)h(x)>1>

√3

2 sur ]1; +∞[.

c’est à dire, pour toutx∈ Dh,h(x)/

√3 2 ;

√3 2

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