1S Correction Fiche TP 16 2014-2015
On considère la fonction
h:Dh−→R
x 7−→ x2+x+ 1 x2−1
1. Ensemble de définition Dh : R− {−1; 1}. En effet, x2−1 = 0⇔x= 1ou x=−1.
2. Toute fonction rationnellle est dérivable sur son ensemble de définition) donchest dérivable surDh. Pour toutxdeDh,h′(x) =(2x+ 1)(x2−1)−2x(x2+x+ 1)
(x2−1)2 = −x2−4x−1 (x2−1)2 . 3. On commence par résoudre surDh l’équationh′(x) = 0⇔ −x2−4x−1
(x2−1)2 = 0⇔ −x2−4x−1 = 0
⇔ x=−2−√
3 ou x=−2 +√ 3 .
Comme (x2−1)2>0 pour toutx6= 1 etx6=−1, le signe deh′(x) est celui de −x2−4x−1. Ce trinôme est du signe de a=−1, à l’extérieur des racines.
Tableau de variations :
x Signe deh′(x) Variations
deh
−∞ −2−√
3 −1 −2 +√
3 1 +∞
− 0 + + 0 − −
ts ts
√3 2
√3 2
ts
ts
−
√3
− 2
√3 2
ts ts
ts ts 4. On peut étudier le signe deh(x)−1 pourx >1 :
Pour toutx > 1, h(x)−1 = x2+x+ 1
x2−1 −1 = x+ 2
x2−1 et pour x > 1, x+ 2 >0 et x2−1 >0 ce qui rend le quotient x+ 2
x2−1 strictement positif ; et par suite,h(x)−1>0⇔ h(x)>1 . 5. L’intervalle
−
√3 2 ;
√3 2
ne contient aucune image parh, en effet :
•
√3
2 est un minimum local sur ]− ∞;−1[ donc h(x)>
√3
2 sur cet intervalle ;
• −√ 3
2 est un maximum local sur ]−1; 1[ donch(x)6 −√ 3
2 sur cet intervalle ;
• (cf Q.4)h(x)>1>
√3
2 sur ]1; +∞[.
c’est à dire, pour toutx∈ Dh,h(x)∈/
−
√3 2 ;
√3 2
• • •
My Maths Space 1 sur 1