Sup PCSI 2 — Colle n◦ 9 et 10 — Quinzaine du 28/11 au 9/12
Les points marqu´es d’un •peuvent faire l’objet de questions de cours avec d´emonstrations d´etaill´ees. Les points marqu´es d’unI se prˆetent particuli`erement `a des exercices.
1 Lois de composition
•D´efinition d’une loi de composition, de l’associativit´e, de la commutativit´e ; ´el´ement neutre, sym´etrique d’un ´el´ement.
•Unicit´e de l’´el´ement neutre, unicit´e du sym´etrique.
•Notion d’´el´ement r´egulier ; exemples ; tout ´el´ement sym´etrisable est r´egulier.
•Notions de partie stable et de loi induite ; exemples.
2 Groupes
•D´efinition d’un groupe ; exemples.
•Sous-groupes : d´efinition, exemples. Intersection de deux sous-groupes.
•Morphismes de groupes, isomorphismes, automorphismes : d´efinition, exemples.
•Noyau d’un morphisme de groupes ; c’est un sous-groupe ; CNS pour qu’un morphisme de groupes soit injectif.
3 D´ eriv´ ees successives
• Les notions de fonction d´erivable et de d´eriv´ee ont ´et´e d´efinies sans recours `a la notion de limite : on a simplement ´enum´er´e une famille de fonctions d´erivables hhde baseii, explicit´e leurs d´eriv´ees respectives, et donn´e des r`egles de d´erivation (somme, produit, quotient, compos´ee).
• D´efinition des d´eriv´ees successives, notation f(n); par d´efinition, f(n+1) est la d´eriv´ee n-i`eme de f0. D´emonstration des formules f(n+1) = (f(n))0 et (f(p))(q) = f(p+q). Fonctions de classe Dn, D∞ sur un intervalleI; exemples.
•Somme, produit (formule deLeibniz), quotient, composition de fonctions de classeDn ou de classeD∞:
´enonc´e et d´emonstration des th´eor`emes.
IExemples de calcul explicite de la d´eriv´ee n-i`eme d’une fonction, utilisant ´eventuellement la formule de Leibniz. Ont ´et´e vus en classe les calculs de dk
dxk(xn), dn dxn
1
x
et dn dxn
√x .
•On admet le th´eor`eme d’inversion des fonctions continues et strictement monotones sur un intervalle, ainsi que le th´eor`eme d’existence de la d´eriv´ee def−1. On prouve la formule donnant cette d´eriv´ee.
•Une bijection de classeDn dont la d´eriv´ee ne s’annule pas poss`ede une bijection r´eciproque de classeDn.
N’oubliez pas d’indiquer sur la fiche de colle votre nom, et surtout le num´ero de la semaine en cours !
MPB : AC : 15 CP : 130 FT : 23
