Tout vecteur x = (xi)1≤i≤n de Kn est identifi´e `a un ´el´ement X de Mn,1(K) tel que l’´el´ement de la i`eme ligne deXsoitxi

SESSION 2002

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNlQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1 Dur´ee : 4 heures

Les calculatrices sont interdites

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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance `a la clart´e, `a la pr´ecision et `a la concision de la r´edaction.

Si un candidat est amen´e `a rep´erer ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les ruisons des initiatives qu’il a ´et´e amen´e `a prendre.

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Notations

Soit n et p des entiers sup´erieurs ou ´egaux `a 1. K d´esignant le corps des r´eels ou celui des complexes, on noteM<sub>n,p</sub>(K) leK-espace vectoriel des matrices `a coefficients dansKayant nlignes etpcolonnes. Lorsque p=n,M_n,n(K) est not´e plus simplement M_n(K) et est muni de sa structure d’alg`ebre, I_n repr´esentant la matrice identit´e.

0_n,p d´esigne la matrice nulle deM_n,p(K) et 0_n la matrice nulle de M_n(K).

GL_n(K) d´esigne l’ensemble des matrices inversibles de M_n(K) et T_n(K) l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre ntriangulaires sup´erieures `a ´el´ements dansK.

Tout vecteur x = (x_i)_1≤i≤n de Kⁿ est identifi´e `a un ´el´ement X de M<sub>n,1</sub>(K) tel que l’´el´ement de la i`eme ligne deXsoitx_i. Dans toute la suite, nous noterons indiff´eremmentX = (x_i)_1≤i≤n un ´el´ement deM_n,1(K) aussi bien que le vecteur de Kⁿ qui lui est associ´e.

Pour A= (a_i,j)_1≤i≤n

1≤j≤p dansM_n,p(K) etX= (x_i)_1≤i≤p dansK^p, on note (AX)_i le coefficient de lai`eme ligne de AX.

Pour toute matriceAdeM_n(K), on note Sp (A) l’ensemble des valeurs propres complexes deAet on appelle rayon spectral de Ale r´eel ρ(A) d´efini par :

ρ(A) = max

λ∈Sp(A)|λ|.

Conform´ement `a l’usage, on noteN_∞ la norme d´efinie sur Cⁿpar :

∀X= (x_i)_1≤i≤n∈Cⁿ, N_∞(X) = max

1≤i≤n|x_i|.

On qualifie de norme matricielle toute norme ϕd´efinie surM_n(K) v´erifiant la propri´et´e :

∀(A, B)∈(M_n(K))², ϕ(AB)≤ϕ(A)·ϕ(B).

M_n(K) ´etant de dimension finie, on rappelle qu’une suite de matrices (A_k)_k∈NdeM_n(K) converge vers une matriceA de M_n(K) si et seulement si la convergence a lieu dansM_n(K) muni d’une norme quelconque.

Partie I

Une matrice Ade M_n(K) est dite trigonalisable si et seulement si il existeP ∈GL_n(K) etT ∈ T_n(K) tels que T =P⁻¹AP.

I.1 Pournfix´e, on suppose que toute matrice deM_n(C) est trigonalisable et on consid`ere une matrice M de M_n+1(C).

a) Montrer queM admet au moins une valeur propre.

b) Soit λ une valeur propre de M. Montrer qu’il existe Q ∈GL_n+1(C), L ∈ M_1,n(C) et N ∈ M_n(C) tels que :

Q⁻¹M Q=

µ λ L 0_n,1 N

¶ .

c) En d´eduire qu’il existeH ∈GL_n(C) et S∈ T_n(C) tels que : Q⁻¹M Q=

µ λ L 0_n,1 HSH⁻¹

¶ .

d) On poseR=

µ 1 0_1,n 0_n,1 H

¶

. Montrer que R est inversible et exprimerR⁻¹. e) CalculerR⁻¹Q⁻¹M QRet en d´eduire que M est trigonalisable.

I.2 D´eduire de la question pr´ec´edente que pour toutn entier sup´erieur ou ´egal `a 1, toute matrice de M_n(C) est trigonalisable.

I.3 Soit la matriceG=



1 1 0 1 −1 1 2 −5 3



. a) La matriceGest-elle diagonalisable ?

b) On note B= (e₁, e₂, e₃) la base canonique de C³. Montrer que G admet un unique vecteur propre u dont la premi`ere composante dans la base B est ´egale `a 1 et v´erifier que B₁ = (u, e₂, e₃) est une base de C³.

c) On noteQla matrice de passage deB`aB<sub>1</sub>. CalculerQ<sup>−1</sup>GQet en d´eduire, en s’inspirant de la m´ethode d´ecrite aux questionsI.1etI.2,P ∈GL<sub>3</sub>(C) etT ∈ T<sub>3</sub>(C) telles queP<sup>−1</sup>GP =T. I.4 Soit A ∈ M<sub>n</sub>(C). Si T est une matrice triangulaire sup´erieure semblable `a A, que repr´esentent

les ´el´ements diagonaux deT?

I.5 Soit S= (s_i,j) et T = (t_i,j) deux matrices triangulaires sup´erieures de M_n(C).

a) Montrer queST est une matrice triangulaire sup´erieure dont les coefficients diagonaux sont s_1,1t_1,1,s_2,2t_2,2, . . .,s_n,nt_n,n.

b) Pour k∈N^∗, quels sont les ´el´ements diagonaux de T^k? I.6 Montrer que pour toute matrice A deM_n(C),ρ¡

A^k¢

= [ρ(A)]^k. I.7 Montrer que l’application ψ:M_n(C) →R, A= (a_i,j)7→ max

1≤i,j≤n|a_i,j| est une norme surM_n(C), mais n’est pas en g´en´eral une norme matricielle surM_n(C).

I.8 En admettant l’existence de normes matricielles sur M_n(C) (la suite du probl`eme montrera effectivement cette existence), montrer que pour toute normeN d´efinie surM_n(C), il existe une constanteC r´eelle positive telle que :

∀(A, B)∈(M_n(C))², N(AB)≤CN(A)N(B).

I.9 Soit (A_k)_k∈N une suite de matrices deM_n(C),A∈ M_n(C) etP ∈GL_n(C). Montrer que la suite (A_k)_k∈N converge vers Asi et seulement si la suite ¡

P⁻¹AP¢

k∈N converge versP⁻¹AP. I.10 a) SoitT =

µλ µ 0 λ

¶

un ´el´ement deM₂(C). Pour tout k∈N^∗, calculerT^k et en d´eduire que la suite¡

T^k¢

k∈N^∗ converge si et seulement si (|λ|<1) ou (λ= 1 etµ= 0).

b) SoitA∈ M₂(C) diagonalisable. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur les valeurs propres deA pour que la suite (A^k)_k∈N soit convergente.

c) Soit A ∈ M₂(C) non diagonalisable. Montrer que la suite (A^k)_k∈N est convergente si et seulement siρ(A)<1. Dans ce cas, pr´eciser lim

k→+∞A^k.

d) Soit A ∈ M₂(C). Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur ρ(A) pour que la suite (A^k)_k∈N converge vers la matrice nulle.

Partie II

Soit A= (a_i,j) une matrice de M_n(C) et N une norme quelconque surCⁿ. On pose : M_A= max

1≤i≤n

Xn

j=1

|a_i,j|.

II.1 a) Montrer que pour toutX∈Cⁿ :N_∞(AX)≤M_AN_∞(X).

b) Montrer qu’il existe une constante r´eelleC_A telle que :

∀X∈Cⁿ, N(AX)≤C_AN(X).

c) Montrer que l’ensemble

½N(AX)

N(X) | X ∈Cⁿ\ {0}

¾

poss`ede une borne sup´erieure dansR.

On notera dans la suite :

N˜(A) = sup

X∈Cⁿ\{0}

N(AX) N(X) . d) Montrer que :Ng_∞(A)≤M_A.

e) On reprend dans cette question la matriceGintroduite enI.3. D´eterminer un vecteurX₀ de C³ tel queN_∞(X₀) = 1 et N_∞(GX₀) = 10. En d´eduire la valeur deNg_∞(G).

II.2 Soiti₀ un entier compris entre 1 etntel que Pⁿ

j=1

|a_i0,j|=M_A. En consid´erant le vecteur Y deCⁿ de composantes y_j d´efinies par :

y_j = a_i0,j

|a_i0,j| si a_i0,j6=0 et y_j = 1 sia_i0,j = 0 montrer que M_A≤Ng_∞(A) et en d´eduireNg_∞(A) =M_A.

II.3 Montrer :

a) N˜(A) = 0⇔A= 0_n. b) ∀λ∈C,N˜(λA)≤ |λ|N˜(A).

c) En d´eduire : ∀λ∈C,N˜(λA) =|λ|N˜(A).

d) ∀B ∈ M_n(C),N˜(A+B)≤N˜(A) + ˜N(B).

e) ∀X∈Cⁿ, N(AX)≤N˜(A)N(X).

f ) D´eduire de ces r´esultats que ˜N est une norme matricielle sur M_n(C). On lui donne le nom de norme matricielle subordonn´ee `a la normeN.

II.4 a) En consid´erant une valeur propreλde Atelle que |λ|=ρ(A), montrer que : ρ(A)≤N(A).˜

b) Donner un exemple simple de matrice Anon nulle v´erifiantρ(A) =Ng_∞(A).

c) Montrer que siA est nilpotente non nulle, on a l’in´egalit´e stricte : ρ(A)<N˜(A).

II.5 Montrer que si lim

k→+∞A^k= 0_n, alorsρ(A)<1.

Dans toute la suite du probl`eme, on admettra que, r´eciproquement, si ρ(A)<1, alors

k→+∞lim A^k = 0_n.

II.6 a) Montrer que pour toutk entier naturel non nul :ρ(A)≤

hN˜¡ A^k¢i_k¹

. b) Montrer que pour toutα∈C,ρ(αA) =|α|ρ(A).

c) Soit ε > 0 et A_ε = A

ρ(A) +ε. V´erifier que ρ(A_ε) < 1 et en d´eduire l’existence d’un entier naturelk_ε tel que :

∀k∈N,

³

k≥k_ε⇒N˜

³ A^k

´

≤(ρ(A) +ε)^k

´ . d) En d´eduire lim

k→+∞

hN˜¡ A^k¢i_k¹

=ρ(A).

Partie III

Une matrice Ade M_n,p(R) est dite positive (resp. strictement positive) et on noteA≥0 (resp. A >0) si et seulement si tous ses coefficients sont positifs ou nuls (resp. strictement positifs). SiA etB sont deux matrices de M_n,p(R), on noteA≥B (resp. A≤B, A > B, A < B) si et seulement si A−B≥0 (resp. B−A≥0,A−B >0, B−A >0).

Notons que grˆace `a l’identification de Rⁿ et M_n,1(R), on pourra parler de vecteur de Rⁿ positif ou strictement positif.

III.1 Donner un exemple de matrice A montrant que les conditions A≥0 et A6=0 n’impliquent pas n´ecessairement A >0.

III.2 A,B,A⁰,B⁰ d´esignent des matrices deM_n(R).

a) Montrer que si 0≤A≤B et 0≤A⁰≤B⁰, alors 0≤AA⁰≤BB⁰. b) Montrer que si 0≤A≤B, alors pour toutk∈N^∗, 0≤A^k≤B^k.

c) Montrer que si 0≤A≤B, alorsNg_∞(A)≤Ng_∞(B).

d) Montrer que si 0≤A≤B, alorsρ(A)≤ρ(B).

e) Montrer que si 0≤A < B, il existec∈]0,1[ tel queA≤cBet en d´eduireρ(A)< ρ(B).

III.3 SoitAune matrice positive deM_n(R) telle que la somme des termes de chaque ligne soit constante

´egale `aα. Montrer queα est valeur propre deA et que : ρ(A) =α=Ng_∞(A).

III.4 SoitA une matrice positive deM_n(R). Pour touti∈ {1, . . ., n}, on noteα_i la somme des termes de la i`eme ligne deA etα = min

1≤i≤nα_i. On d´efinit la matrice B = (b_i,j) par B = 0_n si α = 0 et b_i,j = α

α_ia_i,j si α >0. Montrer `a l’aide de la matriceB ainsi construite que :

1≤i≤nmin



 Xn

j=1

a_i,j



≤ρ(A)≤ max

1≤i≤n



 Xn

j=1

a_i,j



.

III.5 Soit Aune matrice positive de M_n(R) et X= (x_i) un vecteur strictement positif deRⁿ.

On noteD_x la matrice diagonale deM_n(R) ayant pour termes diagonauxx₁,x₂, . . .,x_n. Calculer les ´el´ements de la matrice D_x⁻¹AD_x et en d´eduire :

1≤i≤nmin (AX)_i

x_i ≤ρ(A)≤ max

1≤i≤n

(AX)_i x_i .

III.6 Soit A une matrice positive de M_n(R). Montrer que si A admet un vecteur propre strictement positif, alors la valeur propre associ´ee est ρ(A) et :

ρ(A) = sup

X>0

µ

1≤i≤nmin (AX)_i

x_i

¶

= inf

X>0

µ

1≤i≤nmax (AX)_i

x_i

¶ .

Fin de l’´enonc´e