MPSIA 2012/2013 Programme de colles de math´ematiques, semaine 14 (du lundi 21 au vendredi 25 janvier) lyc´ee Chaptal
R´ evision : Fonctions d’une variable r´ eelle ` a valeurs r´ eelles et fonctions usuelles
Revoir les propri´et´es g´en´erales des fonctions deRdansR(parit´e, p´eriodicit´e, monotonie, major´ee/minor´ee, etc...).
Il faut connaˆıtre les domaine de d´efinition, de d´erivation, les d´eriv´ees et les variations des fonctions exponentielles, logarithmes et puissances ; des fonctions hyperboliques et hyperboliques r´eciproques et aussi des fonctions circulaires r´eciproques
Limites d’une fonction de R dans R
I. Limites: d´efinition d’une limite finie ena∈R; unicit´e ; exemples. Limites infinies.
Propri´et´e v´erifi´ee par une fonction au voisinage de a. Caract`ere local de la notion de limite. Application au propri´et´es locales d’une fonction ayant une limite finie.
Limites `a gauche et `a droite en a ∈ I : d´efinitions ; f admet une limite en a si et seulement si elle admet une limite `a droite et une limite `a gauche enaet si ces limites co¨ıncident.
II. Op´erations et limites: somme, produit, quotient de fonctions admettant une limite dansR.
Composition : limite de la compos´ee d’une fonction et d’une suite. Caract´erisation s´e- quentielle de la limite. Limite et composition de fonctions.
III. Limites et relations d’ordre sur R: sif(x)6 g(x) au voisinage dea, relation entre les limites -si elles existent- defetg. Th´eor`emes d’ encadrement. Limite aux bornes de fonctions monotones.
IV. Limites de r´ef´erences : limites compar´ees des fonctions usuelles (vues en d´e- but d’ann´ee). Autres limites `a connaˆıtre : (entre autres) lim
x→0
sin(x) x
, lim
x→0
1−cos(x)
x2
,
x→0lim ex−1
x
, lim
x→0
ln(1+x) x
, lim
x→0
(1+x)α−1 x
...
Relations de comparaison
I. Domination: d´efinitions defdomin´ee pargau voisinage dea∈R. Traductions quan- tifi´ees, ´equivalence avechhau voisinage dea,f=B×gavecBborn´eeii. Caract´erisation
`
a l’aide du quotientf /g. Notations de Landau. Propri´et´es des op´erations sur les fonctions.
II. N´egligeabilit´e : d´efinitions de f n´egligeable devant g au voisinage de a ∈ R. Traductions quantifi´ees, ´equivalence avechhau voisinage dea,f=ε×gavec lim
x→aε(x) = 0
ii . Caract´erisation `a l’aide du quotient f /g. Notations de Landau. Propri´et´es des
op´erations sur les fonctions.
III. Relation d’´equivalence:
1.D´efinition, traduction quantifi´ee ;hhau voisinage dea,f=α×gavec lim
x→aα(x) =Aii. Caract´erisation `a l’aide du quotient f /g. Notationf(x) ∼
x→ag(x). Signification surf du cas g= 0.
2.Op´erations sur les ´equivalents.
3. Obtention d’´equivalents : cas o`u f est d´erivable en a; formule de Taylor-Young `a l’ordre 2. Exemples : ´equivalents classiques des fonctions usuelles en 0.
4.Substitution : si lim
t→αu(t) =aetf(x) ∼
x→ag(x), alorsf(u(t)) ∼
t→αg(u(t)) ; applications.
Attention : ne pas composer une relation d’´equivalence ! 5.Application `a la recherche de limites : exemples.
Continuit´ e et d´ ecidabilit´ e ponctuelles
Juste les d´efinitions...
Questions de cours
Pour les questions avec a, `∈R, etc... faire un cas, au choix de l’interrogateur : Q.1 Limite de la somme de deux fonctions ayant une limite finie ena.
Q.2 Limite d’un produit de fonctions ayant une limites finies ena.
Q.3 Limite enadu produitf(x)×g(x) dans le cas o`ugest major´ee par un r´eelm <0 au voisinage deaetf tend vers +∞ena.
Q.4 Limite de la compos´ee de deux fonctions.
Q.5 Caract´erisation s´equentielle de la limite d’une fonction.
Q.6 D´emontrer quef(x) = O
x→a(g(x)) si, et seulement si, sur un voisinage dea,f(x) = b(x)g(x) avec ...
Q.7 D´emontrer quef(x) = o
x→a(g(x)) si, et seulement si, sur un voisinage dea,f(x) = ε(x)g(x) avec ...
Q.8 D´emontrer que f(x) ∼
x→a g(x) si, et seulement si, sur un voisinage dea,f(x) = m(x)g(x) avec ...
Q.9 Limites aux bornes d’une fonction monotone sur un intervalle ]a;b[.
A venir (dans 15 jours, la mpsiA part `` a la montagne la semaine du 28 janvier au 1 f´evrier) : continuit´e et d´erivabilit´e sur un intervalle.
