Lyc´ee Paul Constans, Montlu¸con, PTSI, 2017-2018 Programme de colle semaines 12 et 13 - du 18/12 au 12/01 1
Programme de colle semaines 12 et 13 - du 18/12 au 12/01
Questions de cours
• Enoncer la d´´ efinition de lim
x→af(x) = b pour a, b∈R∪ {−∞,+∞}avec des quantificateurs (un cas parmi neuf).
• Enoncer le th´´ eor`eme des valeurs interm´ediaires.
Chapitre 11. Suites (1).
Reprise du programme pr´ec´edent.
N Pas de calcul du terme g´en´eral d’une suite d´efinie par un+1 =aun+b.
N Pas de suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre deux.
Chapitre 12. Continuit´ e.
I) ´Etude locale : limites.
Cadre :f est une fonction d´efinie sur I intervalle deR `a valeurs r´eelles.
Propri´et´e vraie au voisinage dea, pour a∈R oua=+∞ oua =−∞.
1) Limites
D´efinitions : pour a∈I ou extr´emit´e de I, limite finie ou infinie d’une fonction en a. Limite finie ou infinie d’une fonction en +∞ ou−∞(9 cas).
Unicit´e de la limite.
Si f admet une limite finie en a, alors f est born´ee au voisinage de a.
Limite `a droite, `a gauche, pour une fonction d´efinie sur Ir{a}. Notation lim
x→a,x6=af(x) = b.
2) Op´erations sur les fonctions admettant une limite finie ou infinie ena (somme, produit par un r´eel, produit, quotient). Composition. Limite d’une suite de limite a par une fonction admettant une limite en a.
3) Stabilit´e des in´egalit´es larges par passage `a la limite.
Th´eor`emes d’encadrement (limite finie), de minoration (limite +∞) et de majoration (limite −∞).
Th´eor`eme de la limite monotone.
4) Continuit´e en a.
Continuit´e de f en una ∈I. Continuit´e `a droite et `a gauche.
Prolongement par continuit´e en a lorsque f est d´efinie sur Ir{a} et lim
x→a,x6=af(x) =` ∈R. Image d’une suite de limite a par une fonction continue en a.
Op´erations sur les fonctions continues en a : combinaisons lin´eaires, produit, quotient. Composi- tion g◦f de f continue en a et deg continue en f(a).
II) Continuit´e sur un intervalle (´etude «globale»)
D´efinition. Op´erations : combinaisons lin´eaires, produit, quotient. Compos´ee g◦f de f continue sur I et deg continue surf(I).
Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires : ´enonc´e et corollaire ´equivalent : l’image parf continue de I intervalle est un intervalle.
