I. Opérations sur les limites.
Dans toute la suite a désigne soit un réel ,soit + , soit – . L et L’ désignent deux réels . 1) Limite d’une somme.
Si lim
x → a f(x) = L L L + – +
Si lim
x → a g(x) = L’ + – + – –
Alors lim
x → a f(x) + g(x) =
L + L’ + – + – Forme
indéterminée 2) Limite d’un produit.
Si lim
x → a f(x) = L L ≠ 0 0
Si lim
x → a g(x) = L’
Alors lim
x → a f(x) × g(x) = L × L ’ Forme
indéterminée Remarque :
Pour les colonnes 2 et 3 le signe n’est pas indiqué : il se détermine en appliquant les règles de signe d’un produit.
3) Limite d’un quotient.
Si lim
x → a f(x) = L L≠ 0 L 0
Si lim
x → a g(x) = L’ ≠ 0 0 L’ 0
Alors lim
x → a
f(x) g(x) =
L
L’ 0 Forme
indéterminée
Forme indéterminée Remarque :
Pour les colonnes 2,3 et 4 le signe n’est pas indiqué : il se détermine en appliquant les règles de signe d’un quotient
En résumé les 4 formes indéterminées à retenir sont du type suivant :
« – » , « 0 ×××× », «
» et « 0000 0000 » Exemples :
a) lim
x → +
x ² + 1
x −1 = +car lim
x → +
x² = + , lim
x → +
1
x = 0 et lim
x → +
– 1 = – 1 b) lim
x → −
7 x – 3 x ² = – car lim
x → −
7 x = – et lim
x → −
– 3x² = – c) lim
x → +
x – x ² = ? car il s’agit d’une forme indéterminée en effet lim
x → +
x = + et lim
x → +
– x² = – d) lim
x → 4 x ( x +3) = 2× 7 = 14 car lim
x → 4 x = 2 , lim
x → 4 x + 3 = 7.
e) lim
x → 0+ 2x –3
x = – car lim
x → 0+ 2x –3 = – 3 et lim
x → 0+ x = 0+ (cela signifie que x tend vers 0 tout en restant supérieur à 0)
f) lim
x → 1− x−2
x−1 = + car lim
x → 1− x – 2 = – 1 et lim
x → 1− x – 1 = 0 – Dans certains cas il est utile de faire un tableau de signes.
Exercices : 21-22 page 67
14-16-17-18-20 page 66
