Chapitre 5
Limite de suite et de fonction
Soitf une fonction définie sur un intervalleIet Cf sa courbe représentative dans un repère (O;~i,~j) du plan.
5.1 Limite finie en + ∞
a. Définition
Soitf une fonction définie sur un intervalle de la forme [a; +∞[.
Définition 1
Dire que f(x) admet pour limite le réell lorque xtend vers+∞ signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeursf(x)pourxassez grand et on note lim
x→+∞f(x) =l.
Interprétation graphique :on dit alors que la droite d’équationy=l est asymptote horizontale àCf en+∞.
Remarque :
• certaines fonctions n’admettent pas de limite en +∞. Par exemple les fonctions cosinus et sinus.
b. Limite et ordre
Soitf etg deux fonctions définies sur un intervalle de la forme [a; +∞[.
Propriété 1 Si lim
x→+∞f(x) =l et lim
x→+∞g(x) =l′ etf 6galorsl6l′.
Théorème 1
Soitlun réel et f,gethtrois fonctions définies sur un intervalle de la forme[a; +∞[, telles que g6f 6havec lim
x→+∞g(x) =l et lim
x→+∞h(x) =l alors lim
x→+∞f(x) =l.
1
CHAPITRE 5. LIMITE DE SUITE ET DE FONCTION
■ Démonstration :
SoitJ un intervalle ouvert contenantl.
Comme lim
x→+∞g(x) =l, l’intervalleJ contient tous les réelsg(x) pourxsupérieur M1. Comme lim
x→+∞h(x) =l, l’intervalleJ contient tous les réelsh(x) pourxsupérieurM2.
On pose M = max(M1;M2), pour tout xsupérieur àM, l’intervalleJ contient tous les réelsg(x) et h(x), or g(x)6 f(x)6h(x) donc J contient tous les réelsf(x).
On en déduit que lim
x→+∞f(x) =l.
5.2 Limite infinie en + ∞
a. Limite égale à + ∞ en + ∞
Définition 2
Si lorsque le réelxprend des valeurs de plus en plus grandes vers+∞
• le réelf(x)devient de plus en plus grand et finit par dépasser n’importe quel réelM, on dit quef a pour limite+∞en +∞et on note lim
x→+∞f(x) = +∞.
• le réel−f(x)devient de plus en plus grand et finit par dépasser n’importe quel réel M, on dit quef a pour limite−∞
en +∞et on note lim
x→+∞f(x) =−∞.
Remarque :
On a le même type de définition pour la limite égale−∞en +∞, il suffit de considerer−f(x).
Propriété 2
Si une suiteude réels est croissante et non majorée, alors lim
n→+∞un= +∞.
b. Asymptote oblique
Définition 3
Dire qu’une droite d’équationy=ax+b est asymptote oblique àCf signifie que
x→+∞lim [f(x)−(ax+b)] = 0ou lim
x→−∞[f(x)−(ax+b)] = 0
Exemple :Soitf :x7→x−2 + 1
x+ 1 définie surR\ {−1}.
La droite d’équation y = x−2 est asymptote à Cf car
x→∞lim [f(x)−(x−2)] = lim
x→∞
1 x+ 1 = 0.
0
~j
~i
2
CHAPITRE 5. LIMITE DE SUITE ET DE FONCTION
c. Théorème de comparaison
Théorème 2
Soitf etg deux fonctions définies sur un intervalle de la forme[a; +∞[.
• Si pour toutxde[a; +∞[, f(x)>g(x)et lim
x→+∞g(x) = +∞alors lim
x→+∞f(x) = +∞.
• Si pour toutxde[a; +∞[, f(x)6g(x)et lim
x→+∞g(x) =−∞alors lim
x→+∞f(x) =−∞.
5.3 Limite en un réel a
Définition 4
On dit quef(x)tend vers+∞lorsquextend versaquand tout intervalle ouvert de la forme]A; +∞[, avecAréel, contient toutes les imagesf(x)pourxassez proche dea.
On écrit lim
x→af(x) = +∞.
Dans ce cas, la droite d’équationx=aestasymptoteàCf. On définit de façon analoguef a pour limite −∞ena.
Remarque :
Le théorème des gendarmes et les théorèmes de comparaison restent valables pour les limites en−∞ou en réela.
5.4 Limites et opérations
a. Somme, produit, quotient
Soit deux fonctions f etg, admettant des limites soit en−∞, +∞ou en un réela.
Limite d’une somme
limf l l +∞ −∞
limg l′ ±∞ +∞ −∞
lim(f+g) l+l′ ±∞ +∞ −∞
Dans le cas limf =−∞et limg= +∞on ne peut pas ti- rer de conclusion générale pourf+g, il s’agit d’uneforme indéterminée.
Limite d’un produit
limf l l6= 0 +∞ +∞ −∞
limg l′ ±∞ +∞ −∞ −∞
lim(f×g) l×l′ ∗∞ +∞ −∞ +∞
∗: + ou−appliquer la règle des signes.
Dans le cas limf = 0 et limg=±∞, on ne peut pas tirer de conclusion générale pour f×g , il s’agit d’uneforme indéterminée.
Limite d’un quotient
limf l l +∞ −∞
limg l′ 6= 0 ±∞ l′ 6= 0 l′6= 0 lim(f
g) l
l′ 0 ∗∞ ∗∞
∗: + ou−appliquer la règle des signes.
Dans les cas limf = ±∞ et limg = ±∞, limf = 0 et limg= 0, on ne peut pas tirer de conclusion générale pour
f
g, il s’agit de formes indéterminées.
Théorème 3
Limites de Fonctions rationnelles
En+∞et en −∞uniquement, la limite de la fonction rationnelle définie par anxn+. . .+a0
bpxp+. . .+b0
(avecan6= 0etbp6= 0est celle dex→ anxn
bpxp.
On dit qu’à l’infini un quotient de polynômes a même limite que le quotient simplifié de ses termes du plus haut degré.
3
CHAPITRE 5. LIMITE DE SUITE ET DE FONCTION
b. Composée de deux fonctions
c. Composée d’une suite et d’une fonction
4
