LIMITES ET CONTINUITE I) LIMITES A L'INFINI 1) Limite infinie à l'infini Définition :

LIMITES ET CONTINUITE

I) LIMITES A L'INFINI 1) Limite infinie à l'infini Définition :

Si tout intervalle ]A;+∞[ contient tous les f(x) pour x assez grand , on dit que f a pour limite +∞ en +∞.

on écrit lim_{x ∞}fx=∞

lim

x ∞

fx=∞ ⇔∀ A > 0 , a > 0 tel que si x > a alors f(x) > A∃ propriété :

Pour n ℕ∈ ^* lim_x∞xⁿ=∞ ; lim_x∞



x=∞

Définition :

Si tout intervalle ]-∞; A[ contient tous les f(x) pour x assez grand, on dit que f a pour limite –∞en +∞.

On écrit lim_{x ∞}fx=−∞

lim

x∞

fx=−∞ ⇔∀ A < 0 , a > 0 tel que si x > a alors f(x) <A∃ propriété :

Pour n ℕ∈ ^* lim_{x ∞}−xⁿ=−∞ ; lim

x ∞

–



x=–∞

Définition :

Si tout intervalle ]A;+∞[ contient tous les f(x) pour x assez petit, on dit que f a pour limite +∞ en -∞. On écrit lim_{x −∞}fx=∞

lim

x−∞

fx=∞ ⇔∀ A > 0 , a < 0 tel que si x < a alors f(x) > A∃ propriété :

Pour n entier naturel pair lim_x–∞xⁿ=∞

Définition :

Si tout intervalle ]-∞; A[ contient tous les f(x) pour x assez petit, on dit que f a pour limite –∞en -∞. On écrit lim_x−∞fx=−∞

lim

x−∞

fx=−∞ ⇔∀ A < 0 , a < 0 tel que si x < a alors f(x) <A∃ propriété :

Pour n entier naturel impair lim_x–∞xⁿ=–∞

2) Limite finie en l'infini

Définition :

Si tout intervalle ouvert contenant

l

contient tous les f(x) pour x assez grand, on dit que f a pour limite

l

en +∞.

On écrit lim_{x ∞}fx =

l

lim

x∞

fx = L ⇔∀> 0 , a > 0 tel que si x > a alors ∃ L -  < f(x) < L +  ⇔∀> 0 , a > 0 tel que si x > a alors ∃

∣

fx−L

∣

<  propriété :

Pour n ℕ∈ ^* lim

x ∞

1

xⁿ=0 ; lim

x ∞

1



x=0 Définition :

Si tout intervalle ouvert contenant

l

contient tous les f(x) pour x assez petit, on dit que f a pour limite

l

en -∞. On écrit lim_{x −∞}fx =

l

xlim −∞fx=L ⇔∀ > 0 , a < 0 tel que si x < a alors ∃

∣

^fx−L

∣

<  propriété :

Pour n ℕ∈ ^* lim

x −∞

1 xⁿ=0 propriété :

Lorsque lim_{x ∞}fx=

l

(resp lim_x–∞fx) , on dit que, dans un repère, la droite d'équation y =

l

est asymptote à la courbe représentative de f en +∞ (resp -∞ )

II) LIMITE INFINIE EN UN POINT

Définition :

Soit a un réel.

Dire que lim_xa fx = +∞ signifie que tout intervalle ]A;+∞[

( A ℝ ) contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez ∈ proche de a.

Définition :

Soit a un réel. Dire que lim_xafx = -∞ signifie que tout intervalle ]-∞; A[ ( A ℝ ) contient ∈ toutes les valeurs de f(x) pour x assez proche de a.

propriété :

Si n est pair lim_x0

x0

1

xⁿ = +∞ et lim_x0

x0

1

xⁿ = +∞

propriété :

Si n est impair lim_x0

x0

1

xⁿ = +∞ et lim_x0

x0

1

xⁿ = -∞

propriété :

Lorsqu'une fonction f a pour limite +∞ ou -∞ en un nombre réel a (éventuellement à droite ou à gauche de a), on dit que la droite d'équation x = a est asymptote à la courbe représentative de f.

III) LIMITES ET OPERATIONS

Dans tout ce chapitre a désigne un réel ou +∞ ou -∞ , l et l' désignent des réels.

Somme de fonctions : lim

xafx l l l ∞ –∞ ∞

lim

xagx l' ∞ –∞ ∞ –∞ –∞

lim

xafxgx l + l' ∞ –∞ ∞ –∞ ONPC

Produit de fonctions : lim

xafx l l>0 ou ∞ l<0 ou –∞ l>0 ou ∞ l<0 ou –∞ 0 lim

xagx l' ^{∞ ∞} –∞ –∞ ∞ ou –∞

lim

xafx×gx l+l' ∞ –∞ –∞ ∞ ONPC

Quotient de fonctions : lim

xafx l l 0 l>0 ou

∞

l>0 ou

∞ ∞ l<0 ou

–∞

l<0 ou

–∞ –∞ ∞

lim

xagx l'≠0 ∞ 0 0 avec

f > 0

0 avec

f < 0 l'≠0 0 avec f > 0

0 avec

f < 0 l'≠0 ∞

lim

xa

fx gx

l

l ' 0 ONPC ∞ –∞

∞ si l'>0

–∞ ∞

–∞ si l'>0 –∞ si ONPC

l'<0

∞ si l'<0 Exercices: ex 1 (feuille)

Composée de deux fonctions

Propriété :

a, b et c désignent des réels ou +∞ ou -∞, f et g des fonctions.

Si lim_xafx=b et lim_XbgX=c alors lim_xag[fx]=c

Exercices: ex 2 (feuille)

IV) LIMITES ET COMPARAISON

Dans tout ce chapitre a désigne un réel ou +∞ ou -∞ , Si a est un réel :

- si on cherche la limite en a, on appelle voisinage de a tout intervalle de la forme ] a - r ; a + r[ avec r>0 - si on cherche la limite en a⁺, on appelle voisinage de a tout intervalle de la forme ] a ; a + r[ avec r>0 - si on cherche la limite en a^-, on appelle voisinage de a tout intervalle de la forme ] a - r ; a [ avec r>0 - si a = + ∞ on appelle voisinage de a tout intervalle de la forme ]A,+∞[

- si a = - ∞ on appelle voisinage de a tout intervalle de la forme ]–∞;A[

Propriété :

Soient f, g et h trois fonctions définies au voisinage de a et L un réel.

Si au voisinage de a , f(x) g(x) et  lim

xagx=–∞ alors lim

xa fx=–∞ Si au voisinage de a , f(x) g(x) et  lim

xagx=∞ alors lim

xafx=∞

Si au voisinage de a , h(x) f(x) g(x) et   lim

xagx=lim

x=ahx=L alors lim_xafx=L Exercices: ex 3 (feuille)

V) ASYMPTOTE OBLQUE

propriété :

Soit f une fonction et C sa courbe représentative.

La droite d'équation y = a x + b est asymptote à C au voisinage de + ∞ ⇔ lim

x→+∞

(f(x)−(ax+b))=0 La droite d'équation y = a x + b est asymptote à C au voisinage de - ∞ ⇔ lim

x→−∞

(f(x)−(ax+b))=0 ex 4 (feuille)

VI) CONTINUITE

Définition :

Soit f définie sur I = ] a – r ; a + r [ avec r > 0 et a I ∈ f continue en a ⇔lim

xa xa

fx

= lim

xa xa

fx = f(a) f continue sur I si elle l’est en tout a de I.

Remarque : Si I = [a;a+r[ f continue en a ⇔ lim

xa xa

fx

= f(a) Si I = ]a-r;a] f continue en a ⇔lim

xa xa

fx = f(a)

Graphiquement, la continuité sur I se traduit par le fait que la courbe peut se tracer sans lever le crayon.

Propriété :

Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I

Attention la réciproque est fausse :

la fonction racine carrée est continue en 0 mais pas dérivable en 0.

Propreté :

Si f et g continues sur I alors f + g ; k.f (k un réel) et fg sont continues sur I..

Si f et g continues sur I et g ne s’annule pas sur I alors f

g est continue sur I..

.

Conséquences : Les fonctions polynômes sont continues sur ℝ.

Les fonctions rationnelles sont continues sur les intervalles leur ensemble de définition.

La fonction racine est continue sur ℝ⁺

La fonction valeur absolue est continue sur ℝ Exercices: 77 p 76 - 79 p 76 – 81 p 76

Th des valeurs intermédiaires

Si f est continue sur I et a, b deux réels de I alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) , il existe au moins un réel c entre a et b tel que f(c) = k Donc l'équation f(x) = k admet au moins une solution dans [a;b]

Exercice : 90 1) p 77

Corollaire :

Soit 2 réels a et b avec a < b.

Si f est continue et strictement monotone sur [a;b], pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) , il existe un et un seul réel c dans [a;b] tel que f(c) = k.

Donc l'équation f(x) = k admet une et une seule solution dans [a;b]

Corollaire :

a et b désignent des réels ou +∞ ou -∞.

Si f est continue et strictement monotone sur ]a;b[, pour tout réel k compris entre lim_xafx et lim

xbfx , il existe un et un seul réel c dans ]a;b[ tel que f(c) = k.

Exercices: ex 5 (feuille) + 88 p 77 – 91 p 77 – 95 p 78

1) Déterminer les limites des fonctions suivantes : f(x)=2 x³+5 x²−8 x+3 en + ∞ et - ∞

g(x)=2 x²+3 x+2

−2 x+4 en + ∞ ; - ∞ et 2 . j(x)= 1

x²−4 en 2 et -2.

h(x)=e^{2 x}+1

4−2 e^x en + ∞ ; - ∞ et ln(2) .

2) Déterminer les limites des fonctions suivantes :

f(x)=

√

^{2 x2+1 en - ∞.}

g(x)=

√

^{−x+1x+2 en 1−}

h(x)=(−3e^{−2 x}+3)⁷ en - ∞.

3) a) Déterminer la limite de la fonctions définie par f(x)=sin(x)

x en – ∞.

b) Déterminer les limites en + ∞ et - ∞ de la fonction g définie par g(x)=x³+3 cos(x). 4) soit la fonction f définie sur ℝ-{1} par f(x)=2 x²−5 x+6

x−1 et C sa courbe représentative.

a) Montrer que la droite D d'équation y = 2 x – 3 est asymptote à C.

b) Etudier la position relative de C par rapport à D.

5) a) Déterminer le nombre de solution de l'équation e^x−2 x=7 .

b) Faire un algorithme qui calcule à 10⁻³ près la solution de cette équation.