Limites en 0. Limites en - ∞. Limites en + ∞. I) LIMITES DE REFERENCE : LIMITES

LIMITES

I) LIMITES DE REFERENCE :

Limites en + ∞.

propriété :

Pour n ∈ ℕ^* lim_{x ∞}xⁿ=∞ ; lim_{x ∞}



Pour n ∈ ℕ^* lim

x ∞

1

xⁿ=0 ; lim

x ∞

1



xlim ∞e^x=∞ lim

x→+∞

e^x

xⁿ=+∞ lim_{x ∞}lnx=∞ lim

x→+∞

ln(x) xⁿ =0

Limites en - ∞.

propriété :

Pour n entier naturel pair lim_x–∞xⁿ=∞

Pour n entier naturel impair lim_x–∞xⁿ=–∞

Pour n ∈ ℕ^* lim

x −∞

1 xⁿ=0

xlim–∞e^x=0 lim

x→–∞xⁿ. e^x=0

Limites en 0.

propriété :

Si n est pair lim_x0

x0

1

xⁿ = +∞ et lim_x0

x0

1

xⁿ = +∞

Si n est impair lim_x0

x0

1

xⁿ = +∞ et lim_x0

x0

1 xⁿ = -∞

limx→0

e^x– 1 x =1

limx→0 xⁿln(x)=0 lim

h0

ln1h

h =1 ( même que lim

x1

lnx x – 1=1 )

II) LIMITES ET OPERATIONS:

Dans tout ce chapitre a désigne un réel ou +∞ ou -∞ , l et l' désignent des réels.

Somme de fonctions : lim

xafx l l l ^∞ –∞ ∞

lim

xagx l' ∞ –∞ ∞ –∞ –∞

lim

xafxgx l + l' ∞ –∞ ∞ –∞ ONPC

Produit de fonctions : lim

xafx l l>0 ou ∞ l<0 ou –∞ l>0 ou ∞ l<0 ou –∞ 0 lim

xagx l' ∞ ∞ –∞ –∞ ∞ ou –∞

lim

xafx×gx l+l' ^∞ –∞ –∞ ∞ ONPC

Quotient de fonctions : lim

xafx l l 0 l>0 ou

∞

l>0 ou

∞ ∞ l<0 ou

–∞

l<0 ou

–∞ –∞ ∞

lim

xagx l'≠0 ∞ 0 0 avec

f > 0

0 avec

f < 0 l'≠0 0 avec f > 0

0 avec

f < 0 l'≠0 ∞

lim

xa

fx gx

l

l ' 0 ONPC ∞ –∞

∞ si l'>0

–∞ ∞

–∞ si l'>0 –∞ si ONPC

l'<0

∞ si l'<0 Exercices: ex 1 (feuille)

Composée de deux fonctions

Propriété :

a, b et c désignent des réels ou +∞ ou -∞, f et g des fonctions.

Si lim_xafx=b et lim_XbgX=c alors lim_xag[fx]=c

Exercices: ex 2 (feuille)

III) LIMITES ET COMPARAISON

- si on cherche la limite en a, on appelle voisinage de a tout intervalle de la forme ] a - r ; a + r[ avec r>0 - si on cherche la limite en a⁺, on appelle voisinage de a tout intervalle de la forme ] a ; a + r[ avec r>0 - si on cherche la limite en a^-, on appelle voisinage de a tout intervalle de la forme ] a - r ; a [ avec r>0 - si a = + ∞ on appelle voisinage de a tout intervalle de la forme ]A,+∞[

- si a = - ∞ on appelle voisinage de a tout intervalle de la forme ]–∞;A[

Propriété :

Soient f, g et h trois fonctions définies au voisinage de a et L un réel.

Si au voisinage de a , f(x) g(x) et  lim

xagx=–∞ alors lim

xa fx=–∞ Si au voisinage de a , f(x) g(x) et  lim

xagx=∞ alors lim

xafx=∞

Si au voisinage de a , h(x) f(x) g(x) et   lim

xagx=lim

x=ahx=L alors lim_xafx=L Exercices: ex 3 (feuille)

IV) LIMITES ET COURBE

propriété :

Lorsque lim_{x ∞}fx=

l

l

propriété :

Lorsqu'une fonction f a pour limite +∞ ou -∞ en un nombre réel a (éventuellement à droite ou à gauche de a), on dit que la droite d'équation x = a est asymptote à la courbe représentative de f.

ASYMPTOTE OBLQUE

propriété :

Soit f une fonction et C sa courbe représentative.

La droite d'équation y = a x + b est asymptote à C au voisinage de + ∞ ⇔ lim

x→+∞

(f(x)−(ax+b))=0

La droite d'équation y = a x + b est asymptote à C au voisinage de - ∞ ⇔ lim

x→−∞

(f(x)−(ax+b))=0

ex 4 (feuille)

EXERCICES

EX 1 : Déterminer les limites des fonctions suivantes : f(x)=2 x³+5 x²−8 x+3 en + ∞ et - ∞

g(x)=2 x²+3 x+2

−2 x+4 en + ∞ ; - ∞ et 2 . j(x)= x

x²−4 en 2 et -2.

h(x)=e^{2 x}+1

4−2 e^x en + ∞ ; - ∞ et ln(2) .

EX 2 : Déterminer les limites des fonctions suivantes :

f(x)=

√

g(x)=

√

h(x)=(−3e^{−2 x}+3)⁷ en - ∞.

Ex 3 : a) Déterminer la limite de la fonctions définie par f(x)=sin(x)

x en – ∞.

b) Déterminer les limites en + ∞ et - ∞ de la fonction g définie par g(x)=x³+3 cos(x). EX 4 : soit la fonction f définie sur -{1} par ℝ f(x)=2 x²−5 x+6

x−1 et C sa courbe représentative.

a) Montrer que la droite D d'équation y = 2 x – 3 est asymptote à C.

b) Etudier la position relative de C par rapport à D.