I.U.T. de Brest D´epartement GMP
Connaissances de base
Limites
1. Fonctions de r´ ef´ erence
x→+∞ x→ −∞ x→0 x→0
x >0 x <0
xn tend vers +∞ +∞ si n pair 0 0
(n∈N∗) −∞ sin impair
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x tend vers 0 0 +∞ −∞
√xtend vers +∞ non d´efinie 0 non d´efinie
2. Op´ erations sur les limites
Dans le tableau ci-dessous, a et b sont des r´eels.
f(x) tend vers a +∞ a +∞ −∞ +∞
g(x) tend vers b b +∞ +∞ −∞ −∞
f(x) +g(x) tend vers a+b +∞ +∞ +∞ −∞ fi
f(x) tend vers a a6= 0 ∞ ∞ 0 ∞
g(x) tend vers b ∞ b6= 0 0 ∞ ∞
f(x)×g(x) tend vers a×b ∞ ∞ fi fi ∞
f(x) tend vers a a a6= 0 ∞ ∞ 0
g(x) tend vers b 6= 0 ∞ 0 b ∞ 0
f(x)
g(x) tend vers a
b 0 ∞ ∞ fi fi
Dans les tableaux pr´ec´edents, lorsque le r´esultat est ∞, cela signifie qu’il faut faire une r`egle des signes pour d´ecider si le r´esultat est +∞ ou−∞.
Les tableaux montrent quatre types de formes ind´etermin´ees (not´ees fi dans les tableaux) :
«(+∞) + (−∞)», «0× ∞», « ∞
∞ », « 0 0 ».
Cela correspond `a des situations o`u les th´eor`emes usuels ne permettent pas de conclure directement. Pour y parvenir, une ´etude sp´ecifique est n´ecessaire.
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3. Quelques limites particuli` eres
Logarithme : lim
x→+∞ lnx= +∞ lim
x→0+ lnx=−∞
Exponentielle : lim
x→+∞ ex= +∞ lim
x→−∞ ex = 0 Croissances compar´ees : lim
x→+∞
lnx
xa = 0 lim
x→+∞
ex
xa = +∞
(a >0)
x→0lim+ xalnx= 0
Remarque.Compte tenu des croissances compar´ees, on dit parfois qu’en +∞, l’exponentielle l’emporte sur les puissances et que les puissances l’emportent sur le logarithme.
Exemple. Calcul de lim
x→+∞(ex−x2).
Comme lim
x→+∞ ex= +∞ et lim
x→+∞ x2 = +∞, on est face `a la forme ind´etermin´ee «(+∞) + (−∞)». Cependant, pour x6= 0, on peut ´ecrire ex−x2 =x2×
ex x2 −1
. Or par croissances compar´ees, lim
x→+∞
ex
x2 = +∞(prendre a= 2 dans la formule).
Donc par somme, lim
x→+∞
ex x2 −1
= +∞. Ainsi, puisque lim
x→+∞ x2 = +∞, on obtient par produit lim
x→+∞ x2 × ex
x2 −1
= +∞. D’o`u lim
x→+∞(ex−x2) = +∞.
4. Limite d’une fonction compos´ ee
Rappelons la d´efinition de la compos´ee de deux fonctions.
Consid´erons une fonction u d´efinie sur un ensemble I contenu dans R;
supposons que pour tout x∈I, u(x) prend ses valeurs dans un certain ensemble J; et consid´erons une fonction g d´efinie surJ.
La compos´ee g◦u est d´efinie sur I par (g◦u)(x) =g(u(x)).
Exemple. Siu est d´efinie par u(x) =x2 −2 sur I =R et si g est d´efinie par g(x) =x+ 1 sur J =R, alors g◦u est d´efinie sur R par
(g◦u)(x) =g(u(x)) =g(x2−2) =x2−2 + 1 =x2−1.
Attention, on peut aussi d´efinir la compos´ee u◦g qui, elle, est d´efinie sur Rpar (u◦g)(x) =u(g(x)) =u(x+ 1) = (x+ 1)2−2 =x2+ 2x−1.
Remarque.D´esormais on noterau(I) l’ensemble des r´eelsyqui s’´ecrivent sous la formey=u(x) avecx∈I. Le seul r´esultat `a connaˆıtre pour ce qui concerne les limites d’une fonction compos´ee est le suivant :
Soit u une fonction d´efinie sur un intervalle I et g une fonction d´efinie sur un intervalle J contenant u(I) (ce qui assure l’existence de g◦u sur I).
Si lim
x→a u(x) = b et si lim
t→b g(t) =c, alors lim
x→a(g◦u)(x) = lim
x→a g((u(x)) =c.
Remarque. Dans le th´eor`eme pr´ec´edent, les nombres r´eels a etb peuvent appartenir `a I et J, ou ˆetre des extr´emit´es de ces intervalles en ne leur appartenant pas et, dans ce dernier cas, ils peuvent ˆetre remplac´es par +∞ ou−∞ (le nombre r´eel c´egalement).
Exemple. Calcul de lim
x→+∞ ln
1 + 1 x
. On a ln
1 + 1
x
=g(u(x)),en posant u(x) = 1 + 1
x etg(x) = ln(x).
Or par somme lim
x→+∞u(x) = 1 + 0 = 1.
De plus, lim
t→1g(t) = lim
t→1ln(t) = ln(1) = 0.
D’apr`es le r´esultat pr´ec´edent, on en d´eduit que lim
x→+∞ ln
1 + 1 x
= 0.
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5. Limite d’une fonction polynˆ ome ou rationnelle
Quand la variable tend vers l’infini (+∞ ou−∞), une fonction polynˆome a mˆeme limite que son monˆome de plus haut degr´e.
Exemples.
x→−∞lim (7x2+ 5x−2) = lim
x→−∞(7x2) = +∞.
x→−∞lim (2x3+x2−3x+ 4) = lim
x→−∞ (2x3) = −∞.
x→+∞lim (−2x5+ 25x3−7x+ 1) = lim
x→+∞(−2x5) =−∞.
Quand la variable tend vers l’infini (+∞ou −∞), une fonction rationnelle a mˆeme limite que le rapport des monˆomes de plus haut degr´e.
Exemples.
x→+∞lim
3x2−5x+ 1
4−x2 = lim
x→+∞
3x2
−x2 = lim
x→+∞
3
−1 =−3.
x→−∞lim
4x3−6x2+x−1
2x2+x+ 1 = lim
x→−∞
4x3
2x2 = lim
x→−∞ 2x=−∞.
x→+∞lim
8x4−15x+ 11
3x5+ 7x4+ 2 = lim
x→+∞
8x4
3x5 = lim
x→+∞
8 3x = 0.
