1.3 Fonctions d’une variable r´ eelle : limites

Plan de r´evision - programme de premi`ere ann´ee ECS

Les d´emonstrations les plus importantes sont indiqu´ees par le sigle DAC (d´emonstration `a connaˆıtre). Pour chaque r´esultat, demandez vous si vous connaissez les hypoth`eses pr´ecises de validit´e. Pour chaque technique, demandez-vous si vous savez la mettre en œuvre.

1 Analyse

1.1 Suites de nombres r´ eels

• A savoir :`

Valeur absolue. In´egalit´e triangulaire.

Bornes sup´erieures et inf´erieures dansR. Th´eor`eme de la borne sup´erieure.

Partie enti`ere.

Factorielle.

Notion de limite (d´efinition parε, unicit´e. . . )

R`egles de calcul sur les limites, formes ind´etermin´ees, croissance compar´ee (Comparaisons des suites (n!), (n^a), (qⁿ), (ln(n)^b)).

Compatibilit´e du passage `a la limite avec la relation d’ordre ; th´eor`eme d’encadrement.

Th´eor`eme des suites monotones. Suites adjacentes, th´eor`eme des suites adjacentes.

Suites arithm´etico-g´eom´etrique (DAC) ; suites r´ecurrences lin´eaires.

n

X

k=0

q^k,

n

X

k=0

k^a, poura= 1,2,3 (DAC).

Sommes t´elescopiques (DAC).

Equivalents, r`´ egles sur les ´equivalents, ´equivalents classiques.

Petit-o, r`egles sur leso, expression d’un ´equivalent paro.

• M´ethodes classiques et techniques calculatoires `a maˆıtriser : Manipulation des in´egalit´es.

Equation faisant intervenir la partie enti`´ ere.

Explicitation des suites usuelles. Somme des premiers termes d’une suite arithm´etique ou g´eom´etrique.

Interversion de deux sommes.

Etude des suites d´´ efinies implicitement par une relation f_n(u_n) = 0. Faire le lien avec le th´eor`eme de la bijection.

Manipulation des ´equivalents eto.

Calculs d’´equivalents `a l’aide des ´equivalents classiques.

Utilisation des oet des d´eveloppements limit´es pour ´eviter les sommes d’´equivalents.

lim

n→+∞ 1 +_n^an .

Etude des suites´ un+1=f(un) avecf croissante.

1.2 S´ eries num´ eriques

• A savoir :`

Notion de s´erie ; convergence, divergence ; somme partielle, somme, reste.

Convergence absolue.CV A⇒CV.

Combinaisons lin´eaires de s´eries convergentes.

Th´eor`eme de convergence des s´eries `a termes positifs.

Th´eor`eme de comparaison par ´equivalents, paro.

S´eries usuelles : s´eries g´eom´etriques et leurs deux premi`eres d´eriv´ees, s´eries exponentielles, s´eries de Riemann.

• M´ethodes classiques et techniques calculatoires `a maˆıtriser : Si P

un converge, un →0 (HP, DAC). R´eciproque fausse (savoir donner des contre-exemples). Divergence grossi`ere.

Etude de la nature d’une s´´ erie par comparaison `a une s´erie de r´ef´erence (in´egalit´e, ´equivalent, petit-o).

Comparaison entre s´erie et int´egrale (DAC : encadrerf sur chaque [k;k+ 1], puis int´egrer ; m´ethode souvent redemand´ee).

S´eries altern´ees (HP, m´ethode `a connaˆıtre).

Etude de la convergence d’une suite (u´ n) par ´etude de la s´erie de terme g´en´eralun+1−un. Calculs de certaines sommes en se servant des sommes connues : P ´etant un polynˆome :

+∞

X

n=0

P(n)xⁿ (si le degr´e est plus petit que 2, avec les s´eries g´eom´etriques d´eriv´ees),

+∞

X

n=0

P(n)xⁿ

n! (avec s´eries exponentielles) ; s´eries t´elescopiques.

1.3 Fonctions d’une variable r´ eelle : limites

• A savoir :`

Notion de limite. Unicit´e, limite `a droite et `a gauche.

R`egles de calcul sur les limites. Formes ind´etermin´ees. Croissance compar´ee.

Limites et in´egalit´es ; Existence d’une limite par encadrement.

Limite d’une fonction compos´ee.

Si f admet une limite `en x0 et si (un) est une suite r´eelle d´efinie surI et tendant vers x0, alors (f(un)) tend vers`.

Petit-o, ´equivalents. R`egles sur lesoet les ´equivalents. ´Equivalents classiques (DAC).

• M´ethodes classiques et techniques calculatoires `a maˆıtriser : Calculs d’´equivalents `a l’aide des ´equivalents classiques.

Calculs de limites par diverses techniques (r`egles usuelles, ´equivalents, croissance compar´ee, taux d’accrois- sement. . . )

Utilisation du petit-o et des d´eveloppements limit´es pour ´eviter de sommer des ´equivalents.

1.4 Fonctions d’une variable r´ eelle : continuit´ e

• A savoir :`

D´efinition de la continuit´e d’une fonction en un point par ε.

R`egles usuelles (sommes, produit. . . ), continuit´e des fonctions usuelles.

Prolongement par continuit´e en un point.

Th´eor`eme de limite monotone.

Fonction continue par morceaux.

Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires (2 versions `a connaˆıtre).

L’image d’un intervalle (respectivement un segment) par une fonction continue est un intervalle (respective- ment un segment).

Th´eor`eme de la bijection (DAC).

Repr´esentation graphique de la fonction r´eciproque.

• M´ethodes classiques et techniques calculatoires `a maˆıtriser :

Recherche de l’existence d’un minimum et d’un maximum, par restriction `a un segment.

Existence de la solution d’une ´equation par le TVI.

Unicit´e de la solution d’une ´equation par le th´eor`eme de la bijection.

Montrer la continuit´e des fonctions d´efinies sur un intervalle en particulier pour les fonctions d´efinies par morceaux (fonction de r´epartition par exemple).

1.5 Fonctions d’une variable r´ eelle : d´ erivation

• A savoir :`

D´eriv´ees `a gauche et `a droite. D´efinition par le taux d’accroissement.

Fonctionpfois d´erivable en un point. Fonctions de classeC^p, de classeC^∞ sur un intervalle.

D´erivation des polynˆomes.

R`egles de calcul : lin´earit´e de la d´erivation, d´eriv´ee d’un produit, th´eor`eme de composition. D´erivation des fonctions r´eciproques, cas de l’Arctan. Formule de Leibniz.

Th´eor`eme de Rolle.

Egalit´´ e et in´egalit´es des accroissements finis.

Signe def⁰ et sens de variation.

Formule de Taylor avec reste int´egral (DAC).

In´egalit´e de Taylor-Lagrange (DAC).

D´efinition d’un d´eveloppement limit´e. Somme et produit.

Formule de Taylor-Young.

D´eveloppement limit´e de fonctions usuelles (exponentielle, logarithme,x7→(1 +x)^α, sinus et cosinus).

D´efinition des fonctions convexes, fonctions concaves. In´egalit´e de convexit´e.

Caract´erisation des fonctions convexes de classeC¹. Caract´erisation des fonctions convexes et concaves de classeC².

Existence d’un extremum global d’une fonction continue sur un segment.

Condition n´ecessaire d’existence d’un extremum local sur un intervalle ouvert.

Condition suffisante d’existence d’un extremum local en un point critique pour une fonction de classeC²sur un intervalle ouvert.

• M´ethodes classiques et techniques calculatoires `a maˆıtriser :

Calculs de d´eriv´ee : entraˆınez-voussans relˆache, seul moyen d’´eviter les erreurs de calcul.

Etude d´´ etaill´ee d’une fonction (penser `a utiliser les sym´etries ´eventuelles), y compris le trac´e.

Avoir le r´eflexe convexit´e pour justifier des in´egalit´es du type ln(1 +x)6x, e^x61 +xou sin(x)> ^2xπ sur 0;^π₂

.

Manipulation de l’Arctan.

Utilisation du th´eor`eme de Rolle dans le cas d’un grand nombre de z´eros. Cas d’un polynˆome dont toutes les racines sont r´eelles.

Application des formules de Taylor `a la caract´erisation de la multiplicit´e d’une racinead’un polynˆomeP de R[X] par l’´etude des d´eriv´eesP^(k)(a).

pratique du d´eveloppement limit´e : entraˆınez-vous, beaucoup !

1.6 Fonctions d’une variable r´ eelle : int´ egration

• A savoir :`

Primitive d’une fonction continue sur un intervalle.

Int´egrale d’une fonction continue sur un segment, sur un intervalle semi-ouvert, ouvert.

Int´egrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment.

Fonction d´efinie par une int´egrale.

Lin´earit´e, relation de Chasles, positivit´e et croissance. Sif est continue sur [a, b],

Z b

a

f(t)dt

6 Z b

a

|f(t)|dt.

Int´egrale d’une fonction continue positive et d’int´egrale nulle.

Int´egration par parties et changement de variable dans le cas d’une int´egrale de fonction continue sur un segment.

Changement de variable affine.

Sommes de Riemann `a pas constant.

Th´eor`emes de convergence pourf etg positives au voisinage deb, dans les cas o`u f 6g etf ∼bg.

D´efinition de la convergence absolue. La convergence absolue implique la convergence.

Th´eor`emes de convergence dans le casf =o(g) avecg positive au voisinage deb.

Convergence des int´egrales Z +∞

1

dt t^α,

Z b

a

dt (t−a)^α et

Z +∞

0

e^−αtdt(DAC).

• M´ethodes classiques et techniques calculatoires `a maˆıtriser :

Primitivation : entraˆınez-vous. Pour cela, bien connaˆıtre les formules de d´erivation des fonctions usuelles et la formule de d´erivation d’une fonction compos´ee, `a reconnaˆıtre dans une expression donn´ee.

Pratique de l’IPP et des changements de variable.

Int´egrales de fractions rationnelles simples par d´ecomposition en ´el´ements simples par exempleR 1 (x−a)(x−b). Etude de la nature d’une int´´ egrale ; penser `a la comparaison par petit-o avec une int´egrale de Riemann

lorsqu’on a une exponentielle.

Utilisation de la convergence absolue.

D´erivation d’une fonction d´efinie par une int´egrale fonction de sa borne sup´erieure.

Utilisation des moments des lois classiques pour calculer certaines int´egrales.

2 Alg` ebre

2.1 Fondements des math´ ematiques

• A savoir :`

Raisonnements par ´equivalence, implication, l’absurde, analyse-synth`ese, . . . Connecteurs : et, ou, non, implication, r´eciproque, contrapos´ee.

Quantificateurs :∀,∃. . .

Langage ensembliste : appartenance, inclusion, compl´ementaire, union, intersection.

Distributivit´e, lois de Morgan.

EnsembleP(E) des parties deE.

D´efinition des applications, restriction, prolongement.

Applications injectives, surjectives, bijectives.

• M´ethodes classiques et techniques calculatoires `a maˆıtriser :

Savoir r´ediger correctement une r´ecurrence, y compris une r´ecurrence double ou g´en´eralis´ee.

Bonne r´edaction g´en´erale d’un texte math´ematique, notamment la d´efinition de toutes les variables utilis´ees, soit en les posant, soit par l’utilisation du quantificateur idoine.

Maˆıtrise du langage ensembliste et des manipulations sur les ensembles.

Maˆıtriser la r´edaction de la preuve par inclusion.

Savoir prouver injectivit´e et surjectivit´e. Dans le cas bijectif, savoir d´eterminer l’application r´eciproque.

2.2 Polynˆ omes et complexes

• A savoir :`

Notation alg´ebrique d’un nombre complexe, partie r´eelle et partie imaginaire. Conjugu´e.

Notation exponentielle. Module, argument. Formules d’Euler et de Moivre.

EnsembleK[X] des polynˆomes `a coefficients dansK. Op´erations alg´ebriques. Degr´e.

D´eriv´ees d’un polynˆome.

EnsemblesKn[X] des polynˆomes `a coefficients dansKde degr´e au plusn.

Division euclidienne. Multiples et diviseurs.

Racines, ordre de multiplicit´e d’une racine.

Th´eor`eme de d’Alembert-Gauss.

Les racines complexes d’un polynˆome r´eel sont deux `a deux conjugu´ees.

• M´ethodes classiques et techniques calculatoires `a maˆıtriser :

Connaˆıtre et savoir retrouver les formules du type cos(a+b) et sin(a+b).

Connaˆıtre les r´esultats concernant les racinesn-`emes de l’unit´e (HP, m´ethode `a connaˆıtre).

Savoir caract´eriser la multiplicit´e d’une racineadeP par factorisation d’une puissance de (X−a).

Savoir caract´eriser la multiplicit´e d’une racineadeP par les d´eriv´ees successives.

Formule de Taylor pour les polynˆomes.

Savoir d´eterminer les degr´es, coefficients dominants, de polynˆomes d’une suite d´efinie par une r´ecurrence simple.

Maˆıtriser l’algorithme de la division euclidienne. Utiliser les racines d’un polynˆome pour trouver le reste d’une division euclidienne.

Formule d’Euler et du binˆome pour lin´eariser des puissances de cosinus et sinus.

2.3 Espaces vectoriels

• A savoir :`

Structure d’espace vectoriel. Sous-espaces vectoriels.

Exemples : espacesKⁿ, espaces de polynˆomes, espaces de matrices, espaces de suites, espace de fonctions.

Combinaisons lin´eaires de familles finies ; Sous-espace engendr´e.

D´efinition d’une famille libre, d’une famille g´en´eratrice, d’une base.

Bases canoniques de Kⁿ, deKn[X], deMn,p(K).

D´efinition d’un espace vectoriel de dimension finie. Existence de bases.

Dimension d’un espace vectoriel en dimension finie.

Caract´erisation des bases en dimension finie.

Rang d’une famille finie de vecteurs et th´eor`eme de la base incompl`ete en dimension finie.

Somme et somme directe deksous-espaces vectoriels.

Existence d’un suppl´ementaire en dimension finie. Dimension d’un suppl´ementaire.

Dimension d’une somme directe de kespaces vectoriels de dimensions finies.

Concat´enation de bases de sous espaces vectoriels.

• M´ethodes classiques et techniques calculatoires `a maˆıtriser : Prouver qu’un ensemble est un espace-vectoriel.

Prouver la libert´e ou la non-libert´e d’une famille, concr`ete (vecteurs de Rⁿ, famille de fonctions ou de matrices).

Prouver le caract`ere g´en´erateur d’une famille, concr`ete.

Prouver une ´egalit´e de sous-espace vectoriel du type A+B =C par analyse-synth`ese, ou en intuitant une d´ecomposition.

Prouver que deux sous-espaces sont en somme directe, sont suppl´ementaires. Simplification en dimension finie par un argument de dimension si possible.

Famille ´echelonn´ee en degr´e deKn[X].

2.4 Applications lin´ eaires et matrices

• A savoir :`

D´efinition d’une application lin´eaire de E dansF. Espace vectoriel L(E, F) des applications lin´eaires d’un espace vectorielE dans un espace vectorielF.

Isomorphismes.

Endomorphismes, espace vectorielL(E) des endomorphismes deE.

Puissances d’un endomorphisme.

Noyau et image d’une application lin´eaire.

Projecteurs associ´es `a deux espaces suppl´ementaires. Caract´erisation.

Cas de la dimension finie : Rang d’une application lin´eaire, th´eor`eme du rang (DAC) ; Formes lin´eaires et hyperplans.

Matrice d’une application lin´eaire dans des bases.

Interpr´etation matricielle de l’image d’un vecteur par une application lin´eaire.

Rang d’une matrice. Une matrice et sa transpos´ee ont mˆeme rang.

Matrice d’un endomorphismef deEdans la baseB.

Formule du binˆome pour deux endomorphismes ou deux matrices carr´ees qui commutent.

Automorphismes. Ensemble GL(E) des automorphismes deE.

Matrices inversibles, inverse d’une matrice. EnsembleGL_n(K).

Polynˆome d’endomorphisme, polynˆome de matrice carr´ee. Polynˆome annulateur.

• M´ethodes classiques et techniques calculatoires `a maˆıtriser : Calcul matriciel, notamment le produit.

D´eterminer le rang d’une matrice dans des cas pas trop compliqu´es par simple consid´eration des colonnes et d’´eventuelles relations entre ces colonnes.

Savoir d´eterminer explicitement le rang, l’image et le noyau (d´ecrits par une base ou par des ´equations) d’une application canoniquement associ´ee `a une matrice explicite.

Ecriture de la matrice d’une application lin´´ eaire dans une base donn´ee.

Montrer qu’une application lin´eaire est injective, surjective ou bijective, notamment en dimension finie.

Calcul d’automorphismes r´eciproques ou d’inverses de matrices par utilisation d’un polynˆome annulateur.

Calcul de puissancek-`eme de matrice de la forme A=I+B avec la formule du binˆome.

Connaˆıtre la matrice J dont tous les termes valent 1, ses puissances et un polynˆome annulateur.

Calcul de puissancek-`eme de matrice en utilisant la division euclidienne par un polynˆome annulateur.

2.5 Syst` emes lin´ eaires

• A savoir :`

D´efinition d’un syst`eme lin´eaire. ´Ecriture matricielle d’un syst`eme lin´eaire.

Syst`eme homog`ene. Syst`eme de Cramer.

R´esolution d’un syst`eme lin´eaire par la m´ethode du pivot de Gauss.

Calcul de l’inverse de la matriceApar la r´esolution du syst`emeAX=Y. Inversibilit´e des matrices triangulaires, diagonales.

• M´ethodes classiques et techniques calculatoires `a maˆıtriser : La m´ethode du pivot.

Inversibilit´e et calcul de l’inverse d’une matrice par la m´ethode du pivot (pour les matrices carr´ees d’ordre 2, pr´ef´erez le d´eterminant).

R´esolution de syst`emes.

3 Probabilit´ es

3.1 Combinatoire

• A savoir :`

Nombre de parties d’un ensemble `a n´el´ements.

Nombre de parties `ap´el´ements d’un ensemble `a n´el´ements.

Nombre de p-listes d’un ensemble `a n´el´ements.

Nombre de p-listes d’´el´ements distincts d’un ensemble `an´el´ements.

Nombre de permutations d’un ensemble `an´el´ements.

Coefficients binomiaux, d´efinition, expression avec des factorielles, sym´etrie.

Formule du triangle de Pascal, formule du binˆome de Newton, n

p

= n p

n−1 p−1

.

• M´ethodes classiques et techniques calculatoires `a maˆıtriser :

D´enombrer des tirages suivants diff´erentes modalit´es ; utiliser ces d´enombrements dans des calculs de proba- bilit´e.

Obtenir des ´egalit´es par des m´ethodes combinatoires :

n

X

k=0

n k

= 2ⁿ,

k

X

i=0

n i

m k−i

=

n+m k

(HP : formule de Vandermonde).

Formule de sommation des colonnes :

n

X

i=k

i k

= n+ 1

k+ 1

.

Sommes usuelles du type

n

X

k=0

k^a n

k

o`u a= 1,2,3.

3.2 Espaces probabilis´ es

• A savoir :`

Terminologie ´ev´enementielle.

σ-alg`ebre (ou tribu), tribus engendr´ees.

D´efinition d’une probabilit´e, d’un espace probabilis´e.

Syst`eme complet d’´ev´enements.

Formule de Poincar´e ou du crible pour deux et trois ´ev´enements.

Probabilit´e conditionnelle, ind´ependance.

Formule des probabilit´es totales (DAC).

Formule des probabilit´es compos´ees (DAC).

Formule de Bayes.

Ev´´ enement n´egligeable, ´ev´enement presque sˆur.

Th´eor`eme de la limite monotone.

• M´ethodes classiques et techniques calculatoires `a maˆıtriser : Donner des noms aux ´ev´enements n´ecessaires pour les calculs.

Savoir identifier les cas o`u il y a ind´ependance ; reconnaˆıtre les situations de non-ind´ependance en particulier lorsque l’exp´erience peut s’arrˆeter.

Savoir exprimer l’´ev´enement dont on cherche la probabilit´e de mani`ere ensembliste `a l’aide d’´ev´enements

´

el´ementaires, afin d’exploiter cette structure ensembliste dans les calculs par les m´ethodes ci-dessous.

Savoir calculer la probabilit´e d’une intersection : – en cas d’ind´ependance.

– en cas de chaˆıne d´ecroissante infinie d’inclusion.

– dans le cas g´en´eral avec les probabilit´es conditionnelles.

Savoir calculer la probabilit´e d’une union – en cas d’union incompatible.

– en cas d’union infinie d’´ev´enements inclus les uns dans les autres.

– par compl´ementaire en se ramenant `a une intersection.

– avec la formule du crible.

Utiliser la formule des probabilit´es totales `a bon escient ; cette formule donne de la rigueur `a tous les arguments de type arbre des possibilit´es ; elle est notamment `a utiliser lorsque dans une succession d’´ev´enements, la probabilit´e d’un ´ev´enement d´epend d’un r´esultat obtenu pr´ec´edemment.

R´eussir `a utiliser la formule des probabilit´es totales pour trouver des relations de r´ecurrence.

3.3 Variables al´ eatoires r´ eelles discr` etes

• A savoir :`

D´efinition d’une variable al´eatoire r´eelle discr`ete. Syst`eme complet associ´e `a une variable al´eatoire.

Tribu associ´ee, fonction de r´epartition, propri´et´es, loi de probabilit´e.

Esp´erance, variance, conditions d’existence.

Lin´earit´e de l’esp´erance, propri´et´e de la variance, cas d’une variance nulle.

Moments, moments centr´es. Formule d’Huygens.

VariableY =f(X) : loi, th´eor`eme de transfert.

Loi certaine. Loi de Bernoulli. Loi binomiale. Loi uniforme sur [[1, n]]. Loi g´eom´etrique. Loi de Poisson.

Esp´erance et variance.

Exp´erience type associ´ee, loi, esp´erance, variance (DAC) ; `a connaˆıtre par cœur.

Etude de la loi uniforme sur [[a, b]], o`´ u (a, b)∈Z².

• M´ethodes classiques et techniques calculatoires `a maˆıtriser : Savoir d´eterminer si une suite est une loi de probabilit´e.

Savoir v´erifier les conditions d’existence de l’esp´erance et de la variance.

Calculs classiques d’esp´erance en utilisant les techniques de calculs sur les s´eries.

Calculs de variance avec Huygens.

Passer par le calcul deE(X(X−1)) ou autre pour simplifier certains calculs de variance.

Savoir identifier les situations d’utilisation du th´eor`eme de transfert qui permet le calcul deE(f(X)) sans connaˆıtre la loi def(X).

Maˆıtriser les calculs de somme intervenant dans les calculs des moments des lois usuelles.

Savoir introduire une variable al´eatoire quand l’´enonc´e est donn´e en fran¸cais.

Savoir reconnaˆıtre une exp´erience type d’une loi classique.

Savoir reconnaˆıtre, dans une certaine expression, une loi usuelle.

Exprimer la loi du temps d’attente dur-`eme succ`es lors de tirages avec remise (HP : loi de Pascal), savoir calculer esp´erance et variance.

Exprimer la loi du temps d’attente du premier succ`es lors de tirages sans remise. Esp´erance.

Exprimer la loi du temps d’attente du r-`eme succ`es lors de tirages sans remise.

3.4 Variables al´ eatoires ` a densit´ e

• A savoir :`

D´efinition d’une variable al´eatoire `a densit´e. D´efinition d’une densit´e d’une variable al´eatoire r´eelle `a densit´e.

Caract´erisation de la loi d’une variable al´eatoire `a densit´e par la donn´ee d’une densit´efX. Transformation affine d’une variable `a densit´e.

Esp´erance d’une variable `a densit´e. Lin´earit´e de l’esp´erance.

Loi uniforme sur un intervalle. Esp´erance. Stabilit´e par combinaison lin´eaire.

Loi exponentielle. Caract´erisation par l’absence de m´emoire. Esp´erance. Produit par un r´eel strictement positif.

Loi normale centr´ee r´eduite, loi normale (ou de Laplace-Gauss). Esp´erance. Stabilit´e par combinaison lin´eaire.

Propri´et´es de la r´epartition d’une loi normale centr´ee r´eduite.

• M´ethodes classiques et techniques calculatoires `a maˆıtriser :

D´eterminer qu’une fonction est une fonction de r´epartition d’une variable `a densit´e.

Savoir montrer qu’une fonction donn´ee peut-ˆetre consid´er´ee comme une densit´e de probabilit´e.

Savoir calculer la fonction de r´epartition et la densit´e deaX+b(a6= 0).

Exemple de la loi de Cauchy qui n’admet pas d’esp´erance

x7→ 1 π(1 +x²)

. Utiliser la fonction de r´epartition deX pour ´etudier la loi d’une variableY =g(X).

3.5 Convergences et approximations

• A savoir :`

In´egalit´es de Markov et de Bienaym´e-Tchebychev pour les variables al´eatoires discr`etes (DAC).

Convergence en probabilit´e.

Loi faible des grands nombres pour la loi binomiale (DAC).

Convergence en loi.

Convergence en loi : cas o`u lesXn etX sont `a valeurs dansN.

Th´eor`eme limite central pour la loi binomiale et pour la loi de Poisson.

• M´ethodes classiques et techniques calculatoires `a maˆıtriser :

Savoir d´emontrer une convergence en probabilit´e avec Markov ou Bienaym´e-Tchebychev.

Savoir d´emontrer une convergence en loi.