2.1 Matrice d’une application lin´ eaire de R

(1)

Chapitre VI

Applications lin´ eaires

Notations

• Kd´esigneRouC;

• E et F d´esignent deuxK-espaces vectoriels ;

• les éléments neutres deK,E,F pour l’addition sont respectivement désignés par 0_K, 0_E, 0_F.

1 D´ efinitions et propri´ et´ es ´ el´ ementaires.

• Soitϕ:E→F une application. On dit queϕest lin´eairesi et seulement si

(P) ∀u1, u2∈E ∀λ1, λ2∈K ϕ(λ1.u1+λ2.u2) =λ1.ϕ(u1) +λ2.ϕ(u2).

• Une application lin´eaire deE dansE est appel´eendomorphismedeE.

• Une application lin´eaire bijective deE dansF est appel´e unisomorphisme.

• L’ensemble de toutes les applications lin´eaires deE dansF est not´eL(E, F).

D´efinition 1 (Application lin´eaire, endomorphisme, isomorphisme)

I Remarque

Soitϕ:E→F une application. Siϕest lin´eaire, alorsϕv´erifie les conditions :







(A) ∀u1, u₂∈E ϕ(u₁+u₂) =ϕ(u₁) +ϕ(u₂) (Appliquer (P) avecλ₁=λ₂= 1.)

(H) ∀u∈E ∀λ∈K ϕ(λ.u) =λ.ϕ(u) (Appliquer (P) avecu₁=u,u₂= 0_E,λ₁=λetλ₂= 0_K.) .

La réciproque est également vraie, i.e. : siϕvérifie les conditions (A) et (H), alorsϕest linéaire.

I Exemple 1 :Les applications

ϕ1:R²→R, x

y

7→x−y et ϕ2:R³→R³,



 x y z



7→



 x+y y+z x−z



=





1 1 0

0 1 1

1 0 −1







 x y z





sont lin´eaires.

Siϕ:E→F est une application lin´eaire, alorsϕ(0_E) = 0_F. Proposition 1

Preuve

De 0E= 0E+ 0E, on déduit : (∗) ϕ(0E) =ϕ(0E+ 0E). Orϕest linéaire donc : (∗∗) ϕ(0E+ 0E) =ϕ(0E) +ϕ(0E).De (∗) et (∗∗), on déduit : (∗ ∗ ∗) ϕ(0E) =ϕ(0E) +ϕ(0E).En ajoutant l’opposé deϕ(0E) à chacun des deux membres de l’égalité (∗ ∗ ∗), on obtient

0F =ϕ(0E). Q.E.D.

1

(2)

• Soientϕ, ψ∈ L(E, F). Alors l’application

ϕ+ψ: E→F , u7→ϕ(u) +ψ(u) est lin´eaire, i.e.ϕ+ψ∈ L(E, F).

• Soientλ∈Ket soitϕ∈ L(E, F). Alors l’application

λ.ϕ: E→F , u7→λ.ϕ(u) est lin´eaire, i.e.λ.ϕ∈ L(E, F).

• SoitGunK-espace vectoriel, et soientϕ∈ L(E, F) etψ∈ L(F, G). Alors l’application ψ◦ϕ:E→G , u7→ψ(ϕ(u))

est lin´eaire, i.e.ψ◦ϕ∈ L(E, G).

• Soitϕ:E→F un isomorphisme. Alors sa bijection r´eciproque

ϕ⁻¹:F →E , v7→l’unique élémentudeEtel que ϕ(u) =v est linéaire, i.e.ϕ⁻¹∈ L(F, E).

Théorème 1 (Opérations sur les applications linéaires)

I Exemple 2

L’application

ϕ:R²→R², x

y

7→

2x+y 3x+ 2y

= 2 1

3 2 x y

est linéaire et bijective. Sa bijection réciproque est l’application linéaire :

ϕ⁻¹:R²→R², x

y

7→

2x−y

−3x+ 2y

=

2 −1

−3 2 x y

.

On définit une opération interne + sur L(E, F), en associant à (ϕ, ψ) ∈ L(E, F)² l’application linéaire (cf.

th´eor`eme 1) :

ϕ+ψ:E→F , u7→ϕ(u) +ψ(u)

et une opération externe.sur L(E, F) à opérateurs dansK, en associant à (λ, ϕ)∈K× L(E, F) l’application linéaire (cf. théorème 1) :

λ.ϕ:E→F , u7→λ.ϕ(u).

Alors (L(E, F),+, .) est unK-espace vectoriel.

Th´eor`eme 2 (Structure d’espace vectoriel de L(E, F))

I Exemple 3

1. (L(R²,R³),+, .) est unR-espace vectoriel.

2. (L(R3[X],R⁴),+, .) unR-espace vectoriel.

3. (L(R²,M2(R)),+, .) est unR-espace vectoriel.

4. (L(F(N,R),R),+, .) est unR-espace vectoriel.

(3)

1. D ÉFINITIONS ET PROPRI ÉT ÉS ÉL ÉMENTAIRES. 3

Soitϕ :E→F une application lin´eaire.

• Le noyau deϕ, not´e Ker(ϕ), est d´efini par :

Ker(ϕ) =ϕ⁻¹({0F}) ={u∈E : ϕ(u) = 0F}.

C’est l’ensemble de tous les ant´ec´edents de 0F parϕ.

• L’image deϕ, not´ee Im(ϕ), est d´efinie par :

Im(ϕ) ={ϕ(u) : u∈E}.

C’est l’ensemble de toutes les images parϕdes vecteurs deE.

D´efinition 2 (Noyau et image d’une application lin´eaire)

I Exemple 4

On consid`ere les applications lin´eairesϕ1et ϕ2introduites dans l’exemple 1.

1. Ker(ϕ₁) = Vect 1

1

et Im(ϕ₁) =R.

2. Ker(ϕ2) = Vect







 1

−1 1







et Im(ϕ2) =









 x⁰ y⁰ z⁰



∈R³ : −x⁰+y⁰+z⁰= 0







= Vect







 1 1 0



,



 1 0 1







.

Soitϕ:E→F une application lin´eaire.

• Le noyau deϕ, Ker(ϕ), est un sous-espace vectoriel deE.

• L’image deϕ, Im(ϕ), est un sous-espace vectoriel deF. Proposition 2 (Structure de Ker(ϕ)et Im(ϕ))

Preuve

• On sait (cf. proposition 1) queϕ(0_E) = 0_F. Donc 0_E∈Ker(ϕ). En particulier : (∗) Ker(ϕ)6=∅.

Soientu₁, u₂∈Ker(ϕ) et soientλ₁, λ₂∈K. On veut prouver queλ₁.u₁+λ₂.u₂∈Ker(ϕ), i.e.ϕ(λ₁.u₁+λ₂.u₂) = 0_F. ϕ(λ₁.u₁+λ₂.u₂) = λ₁.ϕ(u₁) +λ₂.ϕ(u₂) (ϕest lin´eaire)

= λ1.0F+λ2.0F (u1, u2∈Ker(ϕ) doncϕ(u1) =ϕ(u2) = 0F)

= 0F (cf. axiomes de structure des espaces vectoriels) Ainsi a-t-on : (∗∗) ∀u1, u2∈Ker(ϕ) ∀λ1, λ2∈K λ1.u1+λ2.u2∈Ker(ϕ).

De (∗) et (∗∗), on d´eduit que Ker(ϕ) est un sous-espace vectoriel deE.

• Commeϕ(0E) = 0F (cf. proposition 1), 0F∈Im(ϕ). Par suite : (∗) Im(ϕ)6=∅.

Soientv1, v2∈Im(ϕ) et soientλ1, λ2∈K. On va démontrer queλ1.v1+λ2.v2∈Im(ϕ), i.e. queλ1.v1+λ2.v2est l’image d’un élément de Eparϕ. Commev1, v2∈Im(ϕ), il existeu1, u2∈Etels que : (∗∗) v1=ϕ(u1) etv2=ϕ(u2).

λ₁.v₁+λ₂.v₂ = λ₁.ϕ(u₁) +λ₂.ϕ(u₂) (cf. (∗∗))

= ϕ(λ1.u1+λ2.u2) (ϕest linéaire) Ainsiλ1.v1+λ2.v2est-il égal àϕ(λ1.u1+λ2.u2). Doncλ1.v1+λ2.v2∈Im(ϕ).

On a donc : (∗ ∗ ∗) ∀v1, v2∈Im(ϕ) ∀λ1, λ2∈K λ1.v1+λ2.v2∈Im(ϕ).

De (∗) et (∗ ∗ ∗), on d´eduit que Im(ϕ) est un sous-espace vectoriel deF.

(4)

Soitϕ:E→F une application lin´eaire.

• L’applicationϕest injective si et seulement si Ker(ϕ) ={0E}.

• L’applicationϕest surjective si et seulement si Im(ϕ) =F.

Proposition 3 (Noyau et injectivit´e, image et surjectivit´e)

Preuve

• Supposonsϕinjective et montrons Ker(ϕ) ={0E}.

Comme Ker(ϕ) est un sous-espace vectoriel deE, on a l’inclusion{0E} ⊂Ker(ϕ). Il reste `a prouver l’inclusion inverse, i.e. : Ker(ϕ)⊂ {0E}.

Soitu∈Ker(ϕ). Alorsϕ(u) = 0_F. Maisϕ(0_E) = 0_F. Ainsiuet 0_E ont-ils la mˆeme image parϕ. L’applicationϕ´etant injective, ceci impliqueu= 0_E.

Supposons Ker(ϕ) ={0E}et montrons queϕest injective.

Soientu₁, u₂∈Etels queϕ(u₁) =ϕ(u₂). Alors (∗) ϕ(u₁)− ϕ(u₂) = 0_F. Mais (∗∗) ϕ(u₁)− ϕ(u₂) =ϕ(u₁−u₂) (linéarité def). De (∗) et (∗∗), on déduit queϕ(u₁−u₂) = 0_F. Doncu₁−u₂∈Ker(ϕ). Comme Ker(ϕ) ={0E},u₁−u₂= 0_E. Doncu₁=u₂.

• La deuxième assertion est en fait exactement la définition de la surjectivité. Il s’agit d’un rappel de la définition et il n’y a rien à montrer.

I Exemple 5 L’application

ϕ:R1[X]→R2[X], P 7→P(0) +P(1)X+P(2)X² est lin´eaire. Elle est de plus injective car son noyau est nul, i.e. Ker(ϕ) ={0}.

Preuve de l’assertion Ker(ϕ) ={0}

• L’inclusion (∗) Ker(ϕ)⊃ {0}est claire car Ker(ϕ) est un sous-espace vectoriel deR1[X].

• Montrons l’inclusion (∗∗) Ker(ϕ)⊂ {0}. SoitP =a0+a1X ∈Ker(ϕ), aveca0, a1∈R. Alorsϕ(P) = 0, i.e. a₀+ (a₀+a₁)X + (a₀+ 2a₁)X² = 0. On a donc a₀ =a₀+a₁ =a₀+ 2a₁ = 0. On montre que ces conditions impliquent a₀=a₁= 0. Ainsi a-t-onP = 0.

• De (∗) et (∗∗), on d´eduit que Ker(ϕ) ={0}.

2 Matrices et applications lin´ eaires : exemples

On noteE = (e1, e2, e3) la base canonique deR³ etF= (f1, f2) la base canonique deR².

2.1 Matrice d’une application lin´ eaire de R

²

dans R

³

, dans les bases E et F

Soit l’application lin´eaireϕ:R³→R²,



 x y z



7→

x+ 2y−z 2x−y+ 3z

. On calcule les coordonn´ees deϕ(e1),ϕ(e2), ϕ(e₃) dans la baseF comme suit.

ϕ(e₁) = 1

2

=f₁+ 2f₂; les coordonn´ees def(e₁) dans la baseF sont donc 1

2

.

ϕ(e2) = 2

−1

= 2f1−f2; les coordonn´ees def(e2) dans la baseF sont donc 2

−1

.

ϕ(e3) = −1

3

=−f1+ 3f2; les coordonn´ees def(e3) dans la baseF sont donc −1

3

.

(5)

2. MATRICES ET APPLICATIONS LIN ´EAIRES : EXEMPLES 5

La matrice de l’application ϕ dans les bases E et F, notée Mat(ϕ,E,F), est la matrice 2×3 dont la i-ème colonne est formée des coordonnées deϕ(e_i) dans la baseF, i.e. : Mat(ϕ,E,F) =

1 2 −1

2 −1 3

. D´efinition 3

Siu∈R³ a pour coordonn´ees



 x y z



dans la baseE deR³, alorsϕ(u) a pour coordonn´ees Mat(ϕ,E,F)×



 x y z



 dans la baseF deR².

Lemme 1

Preuve

Par hypoth`ese, on au=xe₁+ye₂+ze₃.

ϕ(u) = ϕ(xe₁+ye₂+ze₃)

= xϕ(e₁) +yϕ(e₂) +zϕ(e₃) (lin´earit´e deϕ)

= x(f₁+ 2f₂) +y(2f₁−f₂) +z(−f1+ 3f₂) (cf. calculs deϕ(e₁),ϕ(e₂),ϕ(e₃))

= (x+ 2y−z) f1+ (2x−y+ 3z) f2

Les coordonn´ees deϕ(u) sont donc

x+ 2y−z 2x−y+ 3z

dans la baseF. Enfin on v´erifie que

Mat(ϕ,E,F)×



 x y z



=

1 2 −1

2 −1 3

×



 x y z



=

x+ 2y−z 2x−y+ 3z

.

Q.E.D.

I Exemple 6

Les coordonn´ees deϕ(3e1+e2−e1) dans la baseF deR² sont

1 2 −1

2 −1 3



 3 1

−1



= 6

2

,i.e. :

ϕ(3e1+e2−e1) = 6f1+ 2f2= 6

2

.

2.2 Application lin´ eaire associ´ ee ` a une matrice, relativement aux bases E et F

Soit la matrice

A=

0 5 −1

4 −3 0

.

L’application App(A,E,F) :R³ → R² qui associe `a u∈ R³ de coordonn´ees



 x y z



, dans la base E de R³, le

vecteur App(A,E,F)(u)∈ R² dont les coordonn´ees, dans la baseF deR², sontA



 x y z



est lin´eaire.

Lemme 2

(6)

Preuve

Soientu1, u2∈R³, soitλ1, λ2∈R. On note



 x1

y₁ z₁



et



 x2

y₂ z₂



les coordonn´ees respectives deu1etu2, dans la baseE deR³.

• Les coordonn´ees respectives de App(A,E,F)(u1) et App(A,E,F)(u2), dans la baseFdeR², sont :

A



 x1

y₁ z₁



=

5y₁−z₁ 4x₁−3y₁

et A



 x2

y₂ z₂



=

5y₂−z₂ 4x₂−3y₂

.

Ainsi

App(A,E,F)(u1) = (5y₁−z₁)f₁+ (4x₁−3y₁)f₂ et App(A,E,F)(u2) = (5y₂−z₂)f₁+ (4x₂−3y₂)f₂. On a donc : (∗) λ₁.App(A,E,F)(u1) +λ₂.App(A,E,F)(u2) ´egale

(λ₁(5y₁−z₁) +λ₂(5y₂−z₂)) f₁+ (λ₁(4x₁−3y₁) +λ₂(4x₂−3y₂)) f₂.

• Par d´efinition des coordonn´ees dans une base, on a :

u₁=x₁e₁+y₁e₂+z₁e₃ et u₂=x₂e₁+y₂e₂+z₂e₃. On a donc

λ₁.u₁+λ₂.u₂= (λ₁x₁+λ₂x₂) e₁+ (λ₁y₁+λ₂y₂) e₂+ (λ₁z₁+λ₂z₂) e₃.

Les coordonn´ees deλ₁.u₁+λ₂.u₂, dans la baseEdeR³sont donc :





λ1x1+λ2x2

λ1y1+λ2y2

λ1z1+λ2z2



. Les coordonn´ees de App(A,E,F)(λ₁.u₁+λ₂.u₂), dans la baseFdeR², sont donc :

A





λ1x1+λ2x2

λ1y1+λ2y2

λ1z1+λ2z2



=

5(λ1y1+λ2y2)−(λ1z1+λ2z2) 4(λ1x1+λ2x2)−3(λ1y1+λ2y2)

=

λ1(5y1−z1) +λ2(5y2−z2) λ1(4x1−3y1) +λ2(4x2−3y2)

.

Par suite, on a : (∗∗) App(A,E,F)(λ1.u₁+λ₂.u₂) ´egale

(λ₁(5y₁−z₁) +λ₂(5y₂−z₂)) f₁+ (λ₁(4x₁−3y₁) +λ₂(4x₂−3y₂)) f₂.

• En comparant (∗) et (∗∗), on observe :

App(A,E,F)(λ1.u₁+λ₂.u₂) =λ₁.App(A,E,F)(u1) +λ₂.App(A,E,F)(u2).

Q.E.D.

L’application linéaire App(A,E,F) :R³ → R² définie ci-dessus est appelée application linéaire associée à la matriceArelativement aux bases E etF.

D´efinition 4

I Exemple 7

Les coordonn´ees de App(A,E,F)(e1−2e2+ 3e3) dans la baseFdeR³sont

0 5 −1

4 −3 0



 1

−2 3



= −13

10

, i.e. App(A,E,F)(e₁−2e₂+ 3e₃) =−13f₁+ 10f₂=

−13 10

.

I Remarque

Apr`es avoir fix´e des basesE etFrespectivement deR³etR², on a :

• associé à une application linéaireϕ:R³→R²une matrice Mat(ϕ,E,F) de taille 2×3 (cf. 2.1) ;

• associé à une matriceAde taille 2×3 une application linéaire App(A,E,F) :R³→R²(cf. ci-dessus).

On va voir dans la partie suivante, que ces deux constructions ϕ Mat(ϕ,E,F) et A App(A,E,F) se g´en´eralisent et sont des constructionsinverses l’une de l’autre.

(7)

3. MATRICES ET APPLICATIONS LIN ÉAIRES : ÉTUDE G ÉN ÉRALE 7

3 Matrices et applications lin´ eaires : ´ etude g´ en´ erale

Notations

• E et F sont deux K-espaces vectoriels de dimension finie ;

• E = (e₁, . . . , e_p) d´esigne une base deE etF= (f₁, . . . , f_n) une base deF;

• pour toutn∈N^∗, on noteCan_Rn (resp.Can_R_n_[X]) la base canonique deRⁿ (resp.Rn[X]).

Soit ϕ: E → F une application linéaire. La matrice de l’application linéaire ϕ dans les bases E et F est la matricen×p, notée Mat(ϕ,E,F), dont la i-ème colonne est formée des coordonnées deϕ(e_i) dans la baseF deF.

D´efinition 5 (Matrice d’une application lin´eaire dans une base)

I Exemple 8

1. Dans l’exemple 1 :

Mat(ϕ1, Can_R2, Can_R) = (1 −1) et Mat(ϕ2, Can_R3, Can_R3) =





1 1 0

0 1 1

1 0 −1



.

2. Soit ϕ:R²[X]→R²[X], P 7→2P + 3P⁰, où P⁰ désigne le polynôme dérivé de P. Cette application est linéaire. On calcule les coordonnées des images des éléments de Can_R₂_[X] parϕ, dans la baseCan_R₂_[X].

ϕ(1) = 2 =

2 1 +

0 X +

0 X²

; ϕ(X) = 2X+ 3 =

3 1 +

2 X +

0 X²

; ϕ(X²) = 2X²+ 6X =

0 1 +

6 X +

2 X²

On a donc Mat(ϕ, Can_R₂[X], Can_R₂[X]) =





2 3 0 0 2 6 0 0 2



.

Soitϕ:E→F une application lin´eaire. Siu∈E a pour coordonn´ees





 x₁

... xp





dans la baseE deE, alorsϕ(u) a

pour coordonn´ees Mat(ϕ,E,F)×





 x1

... x_p





 dans la baseF deF.

Lemme 3 (Retrouver l’application lin´eaire `a partir de sa matrice dans des bases.)

Preuve

La d´emonstration est analogue `a celle du lemme 1.

(8)

SoitAune matricen×p`a coefficients dansK. Alors l’application App(A,E,F) :E→F d´efinie par :

ude coordonn´ees





 x1

... x_p





 dansE 7→ App(A,E,F)(u) de coordonn´eesA





 x1

... x_p





 dansF est linéaire ; on la nommeapplication linéaire associée à la matrice Arelativement aux basesE etF.

Proposition 4 (Application linéaire associée à une matrice relativement à des bases)

Preuve

La d´emonstration est analogue `a celle du lemme 2.

I Exemple 9 Soit A la matrice

1 2 1 3

. On consid`ere l’application lin´eaire App(A, Can_R₁_[X], Can_R2) :R1[X] → R². On calcule :

App(A, Can_R₁_[X], Can_R2)(1) = 1

1

et App(A, Can_R₁_[X], Can_R2)(X) = 2

3

et plus g´en´eralement

App(A, Can_R₁_[X], Can_R2)(a0+a1X) =

a0+ 2a1

a0+ 3a1

pour touta₀, a₁∈R. On remarque que pour toutP ∈R1[X], App(A, Can_R₁_[X], Can_R2) = P(2)

P(3)

.

On a les deux propri´et´es :

∀ϕ∈ L(E, F) App(Mat(ϕ,E,F),E,F) =ϕ et ∀A∈ Mn,p(K) Mat(App(A,E,F),E,F) =A.

Par suite les deux applications :

Mat(·,E,F) :L(E, F)→ Mn,p(K), ϕ7→Mat(ϕ,E,F) App(·,E,F) :Mn,p(K)→ L(E, F), A7→App(A,E,F) sont des bijections, r´eciproques l’une de l’autre.

Proposition 5 (ϕ Mat(ϕ,E,F)et A App(A,E,F) : des constructions inverses l’une de l’autre)

I Remarque

La proposition précédente, nous apprend qu’il y a un lien très étroit entre applications linéaires et matrices, en tant qu’éléments. On dispose en effet de deux bijections réciproques l’une de l’autre explicites qui nous permettent de passer deL(E, F) àM_n,p(K) et réciproquement.

Nous allons voir souvent dans la suite que ce lien entreL(E, F) etMn,p(K) est extrêment fécond, il permet de transformer nombre de problèmes sur les applications linéaires en des problèmes sur les matrices et réciproquement. Une des clés pour cela est que les applications Mat(·,E,F) et App(·,E,F) sont non seulement bijectives mais encore linéaires ; ce sont donc des isomorphismes (cf. théorème suivant).

(9)

3. MATRICES ET APPLICATIONS LIN ÉAIRES : ÉTUDE G ÉN ÉRALE 9

• Mat(·,E,F) et App(·,E,F) et l’addition

∀ϕ, ψ∈ L(E, F) Mat(ϕ+ψ,E,F) = Mat(ϕ,E,F) + Mat(ψ,E,F)

∀A, B∈ Mn,p(K) App(A+B,E,F) = App(A,E,F) + App(B,E,F)

• Mat(·,E,F) et App(·,E,F) et la multiplication par un scalaire

∀ϕ∈ L(E, F) ∀λ∈K Mat(λ.ϕ,E,F) =λ.Mat(ϕ,E,F)

∀A∈ M_n,p(K) ∀λ∈K App(λ.A,E,F) =λ.App(A,E,F)

• Composition d’applications lin´eaires versus multiplication de matrices

SoitGunK-espace vectoriel de dimension finie et soit G= (g₁, . . . , g_m) une base deG.

∀ϕ∈ L(E, F) ∀ψ∈ L(F, G) Mat(ψ◦ϕ,E,G) = Mat(ψ,F,G)×Mat(ϕ,E,F)

∀A∈ M_n,p(K) ∀B∈ M_m,n(K) App(B×A,E,G) = App(B,F,G)◦App(A,E,F)

• Isomorphismes versus matrices inversibles

Siϕ:E→F est un isomorphisme, alors Mat(ϕ,E,F) est inversible et : Mat(ϕ,E,F)⁻¹= Mat(ϕ⁻¹,E,F).

Sip=net siA∈ Mn(K) est inversible, alors App(A,E,F) :E →F est un isomorphisme et : App(A,E,F)⁻¹= App(A⁻¹,E,F).

Théorème 3 (Matrices, applications linéaires et opérations sur icelles)

I Exemple 10

1. Les applications ϕ: R³→R²,



 x y z



7→

x+ 5y+ 2z x−4y−z

et ψ:R²→R³, x

y

7→



 2x−y

x x−4y





sont lin´eaires et l’on a :

Mat(ϕ, Can_R3, Can_R2) =

1 5 2

1 −4 −1

et Mat(ψ, Can_R2, Can_R3) =



 2 −1

1 0

1 −4



.

On a donc :

Mat(ψ◦ϕ, Can_R3, Can_R3) = Mat(ψ, Can_R2, Can_R3)×Mat(ϕ, Can_R3, Can_R2)

=



 2 −1

1 0

1 −4



×

1 5 2

1 −4 −1

=





1 14 5

1 5 2

−3 21 6



.

2. On considère à nouveau l’isomorphisme ϕet sa réciproque ϕ⁻¹ introduits dans l’exemple 2. D’après les calculs déjà effectués pour cet exemple, on a :

Mat(ϕ, Can_R2, Can_R2) = 2 1

3 2

et Mat(ϕ⁻¹, Can_R2, Can_R2) =

2 −1

−3 2

.

On v´erifie que l’on a bien 2 1

3 2

×

2 −1

−3 2

=I₂, o`uI₂ est la matrice identit´e 2×2.

(10)

4 Applications lin´ eaires et th´ eorie de la dimension

On suppose dans cette partie queE est de dimension finie.

Soitϕ:E→F une application lin´eaire. Alors on a : dim(Ker(ϕ)) + dim(Im(ϕ)) = dim(E).

Théorème 4 (Théorème noyau-image)

I Exemple 11

Soitϕ:R2[X]→R³, P 7→



 P(1) P(2) P(3)



. On d´emontre que cette application est lin´eaire. De plus Ker(ϕ) ={0}et doncϕest injective (cf. proposition 2).

En effet soitP=a₀+a₁X+a₂X²∈Ker(ϕ). Alorsϕ(P) =



 0 0 0



, i.e. : P(1) =P(2) =P(3) = 0. On a donc

(S)







a0 + a1 + a2 = 0 a0 + 2a1 + 4a2 = 0 a0 + 3a1 + 9a2 = 0

On résout le système (S) par la méthode du pivot de Gauß pour trouver qu’il ne possède qu’une solution a0=a1=a2= 0. Le polynômeP est donc le polynôme nul.

En appliquant le théorème noyau-image, on a donc : dim(Im(ϕ)) = dim(R2[X]). Comme dim(R2[X]) = 3, on a donc : (∗) dim(Im(ϕ)) = dim(R³). Or : (∗∗) Im(ϕ) est un sous-espace vectoriel de R³. De (∗) et (∗∗), on déduit que Im(ϕ) =R³, i.e. :ϕest surjective.

On a donc démontré l’assertion : Pour tout y₁, y₂, y₃∈ R, il existe un unique polynôme de degré inférieur ou

´

egal à 2 dont la courbe représentative dans un repère du plan passe par les trois points de coordonnées (1, y₁), (2, y2), (3, y3).

On suppose ici que E et F sont de dimension finie et que dim(E) = dim(F) et on consid`ere une application lin´eaireϕ:E→F.

L’applicationϕest injective si et seulement si elle est surjective.

Théorème 5 (En dimensions finies égales, l’injectivité équivaut à la surjectivité)

Preuve

• Comme dim(E) = dim(F), l’égalité donnée par le théorème noyau-image se réécrit : (∗) dim(Ker(ϕ)) + dim(Im(ϕ)) = dim(F).

• Supposonsϕinjective. Alors Ker(ϕ) ={0E}(cf. proposition 3) et donc (∗) donne dim(Im(ϕ)) = dim(F). Comme Im(ϕ) est un sous-espace vectoriel deF, cela implique que : Im(ϕ) =F. L’applicationϕest donc surjective.

• Supposonsϕsurjective. Alors Im(ϕ) =Fet donc dim(Im(ϕ)) = dim(F). L’´egalit´e (∗) implique alors dim(Ker(ϕ)) = 0, i.e. Ker(ϕ) ={0E}.

L’applicationϕest donc injective (cf. proposition 3).

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et soit E = (e1, . . . , ep) une base de E. Soit F un K-espace vectoriel.

Une application lin´eaire ϕ: E →F est un isomorphisme si et seulement si (ϕ(e1), . . . , ϕ(ep)) est une base de F.

Théorème 6 (Critère d’isomorphie)

(11)

5. RANG D’UNE APPLICATION LIN ´EAIRE ET RANG D’UNE MATRICE 11 Preuve

• On suppose queϕest un isomorphisme. On va montrer que la famille (ϕ(e₁), . . . , ϕ(e_p)) est une base deF.

Commeϕest un isomorphisme, Ker(ϕ) ={0E}et Im(ϕ) =F (proposition 3). Ainsi dim(F) = dim(E) =p(théorème 4). Il suffit donc de montrer que la famille (ϕ(e₁), . . . , ϕ(e_p)) est libre. En effet (ϕ(e₁), . . . , ϕ(e_p)) est une famille de vecteurs deF àpéléments etFest de dimensionp.

Soitλ₁, . . . , λ_p∈Ktels que

p

X

i=1

λ_iϕ(e_i) = 0_F.

p

X

i=1

λiϕ(ei) = 0F ⇒ ϕ

p

X

i=1

λiei

!

= 0F (lin´earit´e deϕ)

⇒

p

X

i=1

λ_ie_i∈ Ker(ϕ) (d´efinition du noyau deϕ)

⇒

p

X

i=1

λ_ie_i= 0_E (ϕinjective donc Ker(ϕ) ={0E}(proposition 3))

⇒ λ1=λ2=. . .=λp= 0 ((e1, . . . , ep) est une base, donc une famille libre.)

• On suppose `a pr´esent que (ϕ(e₁), . . . , ϕ(e_p)) est une base deF. On a donc : (∗) Vect(ϕ(e₁), . . . , ϕ(e_p)) = F. Montrons queϕest un isomorphisme.

On aϕ(e₁), . . . , ϕ(e_p)∈Im(ϕ) par d´efinition mˆeme de l’image deϕ. Or Im(ϕ) est un sous-espace vectoriel deF(proposition 2), donc : (∗∗) Im(ϕ)⊂F et Vect(ϕ(e₁), . . . , ϕ(e_p))⊂Im(ϕ).

De (∗) et (∗∗), on d´eduit que Im(ϕ) =F. On a donc : (∗ ∗ ∗) l’applicationϕest surjective.

Comme (ϕ(e₁), . . . , ϕ(e_p)) est une base deF, on a : (∗ ∗ ∗∗) dim(F) =p= dim(E). De (∗ ∗ ∗), (∗ ∗ ∗∗) et du théorème 5, on déduit alors queϕest bijective ; c’est donc un isomorphisme deEsurF.

Q.E.D.

I Exemple 12

L’applicationϕ:R2[X]→R³, P 7→



 P(0) P⁰(0) P⁰⁰(0)



, oùP⁰ (resp.P⁰⁰) est le polynôme dérivé (resp. dérivé seconde) deP, est linéaire. C’est de plus un isomorphisme, car les images des vecteurs de la base canonique (1, X, X²) deR2[X] parϕsont :

ϕ(1) =



 1 0 0



 ; ϕ(X) =



 0 1 0



 ; ϕ(X²) =



 0 0 2





et







 1 0 0



,



 0 1 0



,



 0 0 2







est une base deR³.

5 Rang d’une application lin´ eaire et rang d’une matrice

SoitE unK-espace vectoriel et soitF unK-espace vectoriel de dimension finie. Soitϕ:E→F une application linéaire. Lerang de ϕ, noté rang(ϕ), est défini par : rang(ϕ) = dim(Im(ϕ)).

D´efinition 6 (Rang d’une application lin´eaire)

I Remarque

Les notations sont celles de la définition ci-dessus. D’après le théorème noyau-image, si l’on connaˆıt la dimension deEet la dimension du noyau deϕ, alors on connaˆıt le rang deϕ: rang(ϕ) = dim(E)−dim(Ker(ϕ)).

(12)

Soient n, p ∈ N^∗ et soit A ∈ Mn,p(K). Alors le rang de la matrice A, noté rang(A), est le rang du système linéaire homogène :

(SA) : A





 x1

... x_p





=





 0 ... 0







canoniquement associ´e `a A.

D´efinition 7 (Rang d’une matrice)

I Remarque

Pour déterminer le rang d’un système linéaire (S), on commence par le transformer en un système linéaire échelonné (S⁰) équivalent, en appliquant l’algorithme du pivot de Gauß. Le rang du système (S) est par définition le nombre de lignes de (S⁰) dont le membre de gauche n’est pas nul.

Ce dernier est ind´ependant du choix de (S⁰). En particulier le second membre du syst`eme (S) n’influe pas sur le rang de (S).

On peut donc´echelonner la matriceAelle-mˆeme, au moyen de l’algorithme du pivot de Gauß, pour calculer son rang.

I Exemple 13 Soit A =





−1 2 −1 2 1 −3 1 1 −2



. Montrons que rang(A) = 2, en utilisant la méthode expliquée dans la remarque précédente.

rang(A) = rang





−1 2 −1 0 5 −5 0 3 −3



 (L₂←L₂+ 2L₁ etL₃←L₃+L₁)

= rang





−1 2 −1 0 5 −5

0 0 0



 (L3←L3−3 5L2)

= 2 (La matrice ci-dessus est ´echelonn´ee.)

Soientn, p∈N^∗ et soit

A= (aij)₁_≤_i_≤_n

1≤j≤p

∈ Mn,p(K).

On lui associe sa matrice transpos´ee

tA= (a_ji)₁_≤_j_≤_p

1≤i≤n

∈ M_p,n(K).

On a : rang(A) = rang(^tA).

Théorème 7 (Le rang d’une matrice est égal à celui de sa transposée.)

I Exemple 14

Soit A =







1 2 2

2 2 −2

2 1 2

1 2 3

−1 2 0







. Alors ^tA =





1 2 2 1 −1

2 2 1 2 2

2 −2 2 3 0



. On souhaite déterminer le rang de A qui, d’après le théorème ci-dessus, est aussi le rang de ^tA. Deux stratégies s’offrent à nous : échelonner A ou

´

echelonner ^tA.

Il est plus rapide d’échelonner la matrice ^tAque la matrice A, avec l’algorithme du pivot de Gauß , vu aupa- ravant. En effet, dans la version de l’algorithme donnée, les opérations élémentaires que l’on applique portent sur les lignes :a priorimoins il y a de lignes, moins il y a de calculs.

(13)

5. RANG D’UNE APPLICATION LIN ´EAIRE ET RANG D’UNE MATRICE 13

rang(A) = rang(^tA)

= rang





1 2 2 1 −1

0 −2 −3 0 4

0 −6 −2 1 2



 (L₂←L₂−2L₁ etL₃←L₃−2L₁)

= rang





1 2 2 1 −1

0 −2 −3 0 4

0 0 7 1 −10



 (L3←L3−3L2)

= 3 (La matrice ci-dessus est ´echelonn´ee.)

Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, E = (e1, . . . , ep) d´esigne une base de E et F= (f1, . . . , fn) une base deF.

• Soitϕ:E→F une application lin´eaire. Alors on a : rang(ϕ) = rang(Mat(ϕ,E,F)).

• SoitA∈ Mn,p. Alors on a : rang(A) = rang(App(A,E,F)).

Théorème 8 (Rang d’une application linéaire versus rang d’une matrice)

I Exemple 15 Soitϕ:R³→R³,



 x y z



7→





−x+ 2y−z 2x+y−3z x+y−2z



. Cette application est lin´eaire et

Mat(ϕ, Can_R3, Can_R3)) =





−1 2 −1 2 1 −3 1 1 −2



.

On reconnaˆıt la matriceAde l’exemple 13 dont on a calcul´e le rang. Celui-ci vaut 2. On a donc : rang(ϕ) = rang(Mat(ϕ, Can_R3, Can_R3)) = 2.

On en déduit queϕn’est ni surjective, ni injective (théorème 4).