1/3 - Chap.
Cours n°4 : Limites de la fonction exponentielle IV) Limites de la fonction exponentielle
Propriété n°8 1. lim
x
→ +∞ e
x=.... . et 2. lim
x
→−∞ e
x=.. .
Démonstration (R.O.C) : 1. Démonstration de lim
x
→+∞ e
x=.. . :
ASTUCE : Soit f(x) = e
x– x . f est définie, continue, et dérivable sur IR . Montrer que f est croissante sur [0;+ ∞[ :
...
...
...
...
En déduire que, pour x ∈ [0;+ ∞[ , e
x>x :
...
...
...
...
Conclure :
…...
...
2. Démonstration de lim
x
→−∞ e
x=.. . lim
x
→−∞ e
x= lim
x
→−∞
1
e
−x= lim
x
→+∞
1
e
x=.... .
Propriété n°9 1. lim
x
→+∞
e
xx =... . , 2. lim
x
→−∞ xe
x=.. . 3. lim
x
→ 0
e
x−1
x =.. . 4. lim
x
→+∞
x
e
x=... .
Démonstration : 1. Démonstration de lim
x
→+∞
e
xx =... . : Soit f(x) = e
x– x
22 .
Montrer que f est croissante sur [0;+ ∞[ :
...
...
...
...
1/3
2/3 - Chap.
En déduire que, pour x ∈ [0;+ ∞[ , e
x> x
22
...
...
...
...
Conclure :
…...
...
…...
...
…...
...
2. Démonstration de lim
x
→−∞ xe
x=.. . xe
x= x
e
−x= – ...
...
...
...
...
...
3. Démonstration de lim
x
→0
e
x−1 x =.. .
Le nombre dérivé en 0 de la fonction x → e
xvaut …... et
...
...
Propriété n°10 (tableau de variation et représentation graphique)
x – ∞ + ∞
f ' ( x ) ...
f ( x)
…..
…..
Exemple n°6
Calculer les limites en –∞ et en +∞ de la fonction f définie sur IR par
f (x)=e
x– x + 1 .
...
...
...
2/3
3/3 - Chap.
...
...
...
Exemple n°7 Calculer lim
x
→+∞
e
xx−1 =.. .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°8 Calculer lim
x
→+∞
e
x−1 e
x+1 =...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°9 Calculer lim
x
