Fonction exponentielle 4

1

Fonction exponentielle

4^ème math B.H.Hammouda Fethi

I / Définition et propriété :

Définition :

On appelle fonction exponentielle la fonction réciproque de la fonction logarithme Népérien noté xe^x.

Conséquence1 :

 Pour tout réel x et pour tout réel strictement positif y , ye^x  x lny .

 Pour tout réel x , ^ln ^{ex x}

 lne1.

 e⁰ 1 Conséquence2 :

En utilisant la définition on peut constater que :

 La fonction ^x^ex est définie continue et strictement croissante sur IR .

 La fonction ^x^ex est bijective de IR sur ^*_ , et pour tout ^x on a e^x 0.

 On sait que lim

x Lnx

   alors lim ^x

x e

   .

 On sait que lim0 x _lnx

   alors lim ^x 0

x e

  .

D’où la courbe de la fonction ^xex.

Remarque :

 la courbe de la fonction ^xex admet une branche infinie parabolique de direction (yy’) alors lim ^x

x

e

 x  .

2

 la courbe de la fonction :f xe^x admet une tangente au point d’abscisse 0 de coefficient directeur 1 alors la fonction :f xe^x est dérivable en 0 et

  ₀ ⁰ ₀ ¹

' 0 lim lim 1

0

x x

x x

e e e

f ^ x ^ x

 

  

 .

II / Limites usuelles :

* lim ^x

x e

  .

* _x^lim_^{ex 0}.

* _x^lim_^{xex 0}.

* lim ^x

x

e

 x  .

* lim₀ ^{x 1} 1

x

e

 x

  .

Soit m et n deux entiers naturels non nuls , lim ^nx_m

x

e

 x   et _x^lim_^{x em nx 0} . Propriétés algébriques :

Soit deux réels a et b , ^n .

* e^{a b} e e^a. ^b , ^{ea b ea}_b e

  , e ^{a 1}a

e

  , ^{ena } ^{ea n .}

 Pour tout entier naturel q2 ,

a q a

eq  e .

 Pour tout entier naturel q2 et pour tout entier p ,

pa

q pa

eq  e . Activité5 page 160 :

Théorème :

La fonction :f xe^x est dérivable sur IR et pour tout ^x on a f ' x e^x . Théorème :

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I .

L fonction h x: e^{u x} est dérivable sur I et h x' u x e'  ^{u x} pour ^xI . Théorème :

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I .

Les primitives sur I de la fonction ^{g x} ^{u x e'}  ^{u x} sont les fonctions G x: e^{u x} k où ^k . Activités 2,3,4,6 page 164 :

III/ Exponentielle de base a :

Soit un réel a 0 , pour tout réel b , on pose ^{ab eblna} Propriétés :

Pour tout nombres réels strictement positifs a et b et tous réels c et d , .

c d c d

a ^ a a ,  ^{ac d acd , c d c}d

a a a

  , a b^c. ^c  ab ^c ,

c c c

a a

b b

     . Définition :

Soit un réel a 0 . On appelle fonction exponentielle de base a la fonction ^{xax exlna}.

3 Conséquence :

* Soit un réel a 0. La fonction ^xax est dérivable sur IR et sa fonction dérivée est la fonction

 ln ^x x a a .

 Si a 1 alors lim ^x

x a

   et _x^lim_^{ax 0} .

 Si 0 a 1 alors lim ^x 0

x a

  et _x^lim_^{ax  } .

Activité6 page 168 :

IV/ Fonctions puissances :

Soit r un rationnel . On appelle fonction puissance r la fonction ^x^erlnx , x 0. Conséquence :

 Si r 0 alors lim ^r

x x

   et ^lim₀ ^{r 0}

x _x

  .

 Si r 0 alors lim ^r 0

x x

  et ^lim₀ ^r

x _x

   .

Théorème :

Soit r un rationnel . La fonction ^xxr est dérivable sur ^*_ et sa fonction dérivée est la fonction

1

xrxr^ . Théorème :

Soit r un rationnel différent de –1 . les primitives sur ^*_ de la fonction ^xxr sont les fonctions 1 1

1

x xr

r

 

 où ^k . Théorème :

Soit r un rationnel strictement positif . lim ^ln_r 0

x

x

 x  , ^{lim ln}₀ ^{r 0}

x

x x

   , lim ^x_r

x

e

x  .