FONCTION EXPONENTIELLE 4

FONCTION EXPONENTIELLE 4^ème MATHEMATIQUES

Exercice 1

A) Soit g la fonction définie sur IR par :g(x)=1+(1−x)e^−x 1) Montrer que ∀x∈IR on a :g′(x)=(x−2)e^−x

2) Etudier le sens de variation de g. Calculer g(2)

3) En déduire que ∀x∈IR on a :g(x)>0

B) Soit f la fonction définie sur IR par :f(x)=x−1+xe^−x et soit (C) sa courbe représentative 1) a) Montrer que ∀x∈IRon a :f′(x)=g(x)

b) Calculer lim f(x)

x→−∞ et limf(x)

x→+∞

c) Dresser le tableau de variation de f

2) Montrer que le point I de (C) d’abscisse 2 est un point d’inflexion de (C)

3) a) Montrer que la droite D:y=x−1 est une asymptote à (C) au voisinage de +∞

b) Etudier la position de (C) et D c) Montrer que =+∞

−∞

→ x

) x ( lim f

x

. Interpréter le résultat obtenu graphiquement 4) a) Montrer que f réalise une bijection de IR sur IR

b) En déduire que l’équation f(x)=0 admet dans IR une unique solution α et que

1 5

,

0 <α<

5) On note f⁻¹ la réciproque de f et soit (C’) sa courbe représentative.

a) Justifier que f⁻¹ est dérivable sur IR b) Calculer f(1)puis

( )

^{− ′}_^{ }_^

e f ¹ 1

d) Construire (C) et (C’) dans le même repère

5) Calculer l’aire Α de la partie du plan limitée par la courbe (C) la droite D et les droites

0

x= et x=1

Exercice 2

Soit f la fonction définie sur IR par :f(x)=e^2x −2e^x +2 et soit (C) sa courbe représentative 1) a) Calculer lim f(x)

x→−∞ et lim f(x)

x→+∞

b) Vérifier que ∀x∈IR on a : f′(x)=2e^x(e^x −1)

c) Dresser le tableau de variation de f d) Montrer que ∀x∈IR on a : f(x)≥1

2) a) Résoudre dans IR l’équation f(x)=2

b) Etudier alors la position de (C) par rapport à la droite ∆^:y=²

c) Etudier les branches infinies de (C) d) Tracer (C) et ∆

3) Soit g la restriction de f à l’intervalle

[

^{0 , +∞}

[

a) Montrer que g admet une fonction réciproque g⁻¹définie sur

[

^{1 , +∞}

[

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b) Construire dans le même repère la courbe (C’) de 4) Soit F la fonction définie sur I

a) Vérifier que F est une primitive de f sur IR b) Dresser le tableau de variation de F

c) Montrer que l’équation F(x)

Exercice 3

I ) On a représenté ci-dessous la courbe représentative (C) d’une fonction f définie, continue et dérivable sur IR.

On sait que la courbe (C) admet :

• Une asymptote d’équation

de direction(O ,j)au voisinage de

• Seulement deux tangentes horizontales

) 4e , 2 (

A ^-2 .

En utilisant le graphique : 1) Déterminer lim f(x)

x→+∞ , limf(x)

x→−∞

2) Déterminer, suivant la valeur du paramètre réel m, le nombre de solutions de l’équation

m ) x (

f = .

II ) On suppose que la fonction f et définie par de f.

1) Vérifier que, pour tout réel x , 2) Soit I=∫₀²xe^−xdx et J=∫₀²f(x)dx

a) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que b) En utilisant II-1 ), montrer que

c) En déduire la valeur de J et interpréter graphiquement le résultat.

b) Construire dans le même repère la courbe (C’) deg⁻¹ 4) Soit F la fonction définie sur IR par e 2e 2x

2 ) 1 x (

F = ^2x − ^x +

a) Vérifier que F est une primitive de f sur IR b) Dresser le tableau de variation de F

0

)= admet dans IR une unique solution

dessous la courbe représentative (C) d’une fonction f définie, continue

Une asymptote d’équation y=0 au voisinage de +∞ et une branche parabolique au voisinage de −∞.

Seulement deux tangentes horizontales ; l’une au point O et l’autre au point

et x

) x ( lim f

x→−∞ .

2) Déterminer, suivant la valeur du paramètre réel m, le nombre de solutions de l’équation a fonction f et définie par :f(x)=x²e^−x. On note f

1) Vérifier que, pour tout réel x , f′(x)=2xe^−x −f(x).

dx.

e d’une intégration par parties, que I=1−3e⁻². 1 ), montrer que J=2I−∫₀²f′(x)dx.

c) En déduire la valeur de J et interpréter graphiquement le résultat.

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admet dans IR une unique solution α et que 0<α<ln4

dessous la courbe représentative (C) d’une fonction f définie, continue

et une branche parabolique

; l’une au point O et l’autre au point

2) Déterminer, suivant la valeur du paramètre réel m, le nombre de solutions de l’équation

′ la fonction dérivée

Exercice 4

Soit la suite réelle Udéfinie sur N par : ^∗ n ⁼

∫

1⁰ ₊ x dx e n

U x .

1) a) Montrer que : ∀n∈IN^∗ on a U_n =≤0. b) Montrer que la suite U est monotone.

c) Montrer que : ∀n∈IN^∗ , ∀^x∈

[

^{0 , 1}

]

on a :

1 n

x e

n x 3

n x

x ≤ +

≤ +

+

d) En déduire que : ∀n∈IN^∗ on a

) 3 n ( 2

1 U x

) 1 n ( 2

1

n +

≤ − + ≤

− .

e) Déterminer la limite de la suite U . 2) Soit la suite V définie sur N par : ^∗

∑

=

= ⁿ

1 k

k

n U

V .

a) Montrer que ∀k∈IN^∗ on a :

k 1 t dt

1 k

k ≤

∫

^{+ .}

b) En déduire que ∀n∈IN^∗ on a : ln(n 4) ln4 k

1

3 n

4 k

− +

∑

⁺ ≥

=

. c) En déduire que ∀n∈IN^∗ on a :

(

^{ln(n 4)-ln4}

)

2

V_n ≥ 1 + .

d) Déterminer alors la limite de la suite V . Exercice 5

Pour tout entier naturel non nul , on considère la fonction définie sur 0 , 1 ^{par :}

= −

1) Etudier les variations de .

2) Montrer que pour tout entier naturel non nul , l’équation = 0 admet une unique solution et que ∈ 0 , 1 ^.

On définie ainsi sur ^∗, une suite .

3) a) Soit un entier naturel non nul et un réel de l’intervalle 0 , 1 . Comparer les réels et .

b) Montrer que pour tout ∈ ^∗, < 0^.

c) Montrer que la suite est croissante et en déduire qu’elle est convergente.

4) a) Montrer que pour ≥ 1^, ln = − b) Calculer la limite de suite .

Exercice 6

Soit la fonction définie sur par = + − 1 ^{et soit} C sa courbe représentative (unité graphique 2 #$ ^).

1) a) Montrer que lim _{→ (} = +∞

b) Montrer que la droite ∆: , = est une asymptote à C au voisinage de +∞

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c) Déterminer la position relative de C et ∆

2) On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction 0 +∞

- 3 +

+∞

−1

a) Montrer que l’équation = 0 admet, dans une seule solution / et vérifier que 0 < / <

b) Tracer la droite ∆ et la courbe C (On précisera la demi tangente à C au point d’abscisse 0 et on prendra / ≃ 0,4)

3) On désigne par la suite définie sur ^∗ par = 2 |₅ | 4 a) Calculer . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

b) Montrer que pour tout entier naturel non nul , 0 ≤ ≤ c) En déduire la limite de la suite .

Exercice 7

Soit f la fonction définie sur IR par : _x

e 1 x 1 ) x (

f = − + et soit (C) sa courbe représentative 1) a) Vérifier que pour tout réel x on a : f′(x)>0

b) Dresser le tableau de variation de f

2) a) Montrer que la droite ∆₁:y=x et la droite ∆₂ : y = x−1 sont asymptotes à la courbe (C)

b) Préciser les positions de (C) par rapport à ∆₁ et ∆₂

3) a) Montrer que f réalise une bijection de IR sur IR et en déduire que l’équation f(x)=0

admet dans IR une unique solution α et que 0,4<α<1

b) Vérifier que

= α +

α 1

1 e

4) a) Montrer que 



 



 −

2 , 1 0

I est un point d’inflexion de la courbe (C)

b) Donner une équation cartésienne de la tangente T à la courbe (C) au point I c) Montrer que la tangente T coupe l’axe des abscisses au point A d’abscisse 0,4 5) Tracer ∆₁ , ∆₂ , T et (C). (On prendra α≈0,45)

6) Pour tout n∈IN^∗ on considère la suite réelle (U_n)_n∈IN définie par : ^=∫( ⁻ )

α n

n x f(x)dx

U

a) Donner une interprétation de U_n

b) Calculer U_n en fonction deα et n (On pourra vérifier que∀x∈IRon a :

1 e 1 e ) x ( f

x _x

x

− +

=

− http://mathematiques.tk/

c) Montrer que lim Un (

n

+ α

−

+∞ =

→

Exercice 8

Dans le graphique ci-contre

ζ et Γ sont les courbes représentatives , dans un repère orthogonal (O ,i ,j)

f dérivable sur IR et de sa fonction dérivée Chacune des deux courbes ζ et Γ

* une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de +∞.

* une asymptote d’équation y=0

1) Par une lecture graphique : a) Déterminer, parmi les courbes b) Déterminer f(0) ,f′(0)et f′(1).

c) Dresser le tableau de variation de f.

2) On admet que la fonction f est définie sur par a) Calculer f′(x), pour x∈IR.

b) Montrer que pour tout x∈IR

c) En déduire les coordonnées du point d’i d) Montrer que pour tout x≥−

3) Soit t un réel supérieur ou égale à 1. On désigne par A(t) l’aire de la partie du plan li par les deux courbes ζ et Γ et les droites

a) Montrer que ≥ ln(1 e 3 ) 4 t ( A

b) En déduire limA(t)

t→+∞ .

Exercice 9

1) On considère la suite(U_n)définie sur a) Montrer que ∀n∈IN^∗ on a :

b) Calculer alors _n

n

lim U

+∞

→ et

2) On considère la suite(V_n)définie sur a) Montrer que ∀x≥0 on a : 2

)

lnα ( On pourra utiliser 3)b) )

sont les courbes représentatives ,

), d’une fonction able sur IR et de sa fonction dérivée f′.

3

e

Γ possède : ζ

* une branche parabolique de direction l’axe des au voisinage de −∞

a) Déterminer, parmi les courbes ζ et Γ celle qui représente la fonction .

c) Dresser le tableau de variation de f.

onction f est définie sur par : ₂

x

x x 1 ) e x (

f = + + .

IR on a : ₂

x x 1

1 x ) 2 x ( f ) x ( f ) x (

f + +

= +

− ′ .

c) En déduire les coordonnées du point d’intersection des deux courbes

2

−1 on a : ₂

x x 1

1 x 2 e 3 ) 4 x ( f ) x (

f + +

≥ +

− ′ .

3) Soit t un réel supérieur ou égale à 1. On désigne par A(t) l’aire de la partie du plan li et les droites :

2

x =−1 et x =t



 



−  +

+ 4

ln 3 e 3 ) 4 t

t ² .

définie sur IN^∗ par =¹∫ ⁻

0 nx

n e dx

U

: n

e U 1

nx n

− −

=

n n

limnU

+∞

→

définie sur IN^∗ par ∫

=^{1 −}+

0 x nx

n dx

1 e V e

x

x 1 2e

e

2≤ + ≤ http://mathematiques.tk/

_Γ

celle qui représente la fonctionf′.

ntersection des deux courbes ζ et Γ.

3) Soit t un réel supérieur ou égale à 1. On désigne par A(t) l’aire de la partie du plan limité

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b) En déduire que ∀n∈IN^∗on a : _{n 1 n} U_n 2 V 1 2U

1 ₊ ≤ ≤

c) En déduire alors _n

n

lim V

+∞

→ et _n

n

lim nV

+∞

→

Exercice 10

Soit f la fonction définie sur IR par : _2x

x 2

e 1 ) e x (

f = + et soit (C) sa courbe représentative 1) a) Calculer lim f(x)

x→−∞ et lim f(x)

x→+∞

b) Montrer que pour tout réel x on a :

(

^2x

)

²

x 2

e 1

e ) 2

x (

f′ = +

c) Montrer que le point 



 



 2 1 , 0

I est un centre de symétrie de (C) d) Donner une équation cartésienne de la tangente T à (C) au point I 2) a) Montrer que pour tout réel t on a :

2 ) 1 t ( f′ ≤

b) En intégrant les deux membres de l’inégalité précédente, montrer que pour x≥0 on a :

) 1 x 2( ) 1 x (

f ≤ +

c) Déterminer alors la position de (C) par rapport à T 3) Tracer (C) et T

4) On considère la suite (In)n∈IN∗ définie pour tout entier naturel n non nul par : ∫

= +

− 0

1 2t

nt 2

n dt

e 1 I e

a) Montrer que la suite (In)n∈IN∗ est décroissante et positive b) En déduire que la suite (In)n∈IN∗ est convergente

c) Montrer que pour tout entier naturel n non nul on a :

n 2 I_n ≤ 1

d) En déduire _n

n

lim I

+∞

→

Exercice 11

A) Soit g la fonction définie sur

[

^{0 , +∞}

[

^{par :g(x)=ex −x−2}

1) Dresser le tableau de variation de g

2) a) En déduire qu’il existe un seul réel α tel que g(α)=0 et tel que

2 1<α< 3

b) Déterminer suivant les valeurs de x le signe de g(x)

B) Soit f la fonction définie sur

[

^{0 , +∞}

[

^par

1 xe

1 ) e

x (

f _x

x

+

= − et soit (C) sa courbe représentative

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1) a) Calculer f′(x)et vérifier que pour tout réel positif x on a : g(x) )

xe 1 ( ) e x (

f _{x 2}

x ×

− +

′ =

b) Vérifier que _x

x

e x

e ) 1 x (

f ₋

−

+

= − ; en déduire lim f(x)

x→+∞

c) Vérifier que

1 ) 1

(

f α = α+

d) Dresser le tableau de variation de f

2) a) Préciser une équation cartésienne de la demi-tangente T à la courbe (C) au point O b) Tracer (C) et T ( On prendra α≈1,1 )

3) Soit =∫¹

0

dx ) x ( f I

a) Montrer que I=ln(1+e)−1 7On pourra utiliser l’expression x x

e x

e ) 1 x (

f ₋

−

+

= − C b) En déduire l’aire Αdu domaine du plan limité par la courbe (C) et les droites d’équations respectives

0

x= et ^x=¹

4) Pour tout entier naturel non nul on pose =∫ⁿ

0

n f(x)dx U

Calculer U_n en fonction de n et en déduire _n

n

lim U

+∞

→

Exercice 12

A) Soit f la fonction définie sur IR par :f(x)=1−ln(1+e^−x). On désigne par (C) sa courbe (unit graph 2cm)

1) a) Montrer que lim f(x) 1

x +∞ =

→ . Interpréter géométriquement le résultat b) Montrer que =−∞

−∞

→ f(x)

xlim

2) a) Montrer que pour tout réel x on a :f(x)=x+1−ln(1+e^x) (On pourra écrire :

) e 1 ( e e

1+ ^−x = ^−x + ^x

b) En déduire que la droite D :y=x+1 est une asymptote oblique à (C)au voisinage de−∞

c) Déterminer la position de (C) et D

3) a) Montrer que pour tout réel x on a : _x

e 1 ) 1 x (

f′ = +

b) Etudier les variations de f

c) Montrer que l’équation f(x)=0 , admet une seule solution x₀ et que x₀ =−ln(e−1)

4) Tracer la courbe (C) et ses asymptotes B) Soit U la suite définie sur IN par :

2

U₀ = 1 et ^U_n+1 =^f(U_n⁾

1) Montrer que l’on a :f(x)≥x si et seulement si x≤−x₀[On pourra utiliser le résultat de A)2)a) ]

2) a) Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel n on a :0≤U_n ≤−x₀ http://mathematiques.tk/

b) Montrer que la suite U est décroissante

c) En déduire que la suite U est convergente et calculer sa limite Exercice 13

Soit la suite (I_n)définie sur IN par =∫^{1 −}

0 x 2 n

n x e dx

I

1) a) Calculer I₀ et I₁

b) Montrer à l’aide d’une intégration par partie que ∀n∈IN on a : 2I_n+1 =(n+1)I_n −e⁻²

c) En déduire que (1 5e ) 4

I₂ = 1 − ⁻²

2) On pose =∫¹ + − ⁻

0

x 2

2 x 3)e dx

x 5 (

J . Calculer J

3) a) Montrer que ∀^x∈

[

^{0 ,1}

]

et ∀n∈IN on a : 0≤xne^−2x ≤xⁿ

b) En déduire que ∀n∈IN on a :

n 1 I 1

0 _n

≤ +

≤

c) Calculer alors n n

lim I

+∞

→

Exercice 14

A) On considère la fonction f définie sur IR par :





>

=

≤ +

−

=

0 x si lnx x - x f(x)

0 x si e 1 x ) x (

f ^x

Soit (C) sa courbe représentative (unité graphique 2cm) 1) a) Montrer que f est continue en 0

b) Montrer que f est dérivable à gauche en 0 est que le nombre dérivé à gauche en 0 est 2 c) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0

2) a) Etudier les variations de f sur

]

^{-∞ , 0}

]

puis sur

]

^{0 , +∞}

[

b) En déduire le tableau de variation de f sur IR

3) a) Montrer que la droite ∆:y=x−1 est une asymptote à (C) au voisinage de −∞

b) Préciser pourx≤0, la position de (C) par rapport à ∆

c) Préciser pourx >0, la position de (C) par rapport à ∆′:y=x

d) Déterminer une équation cartésienne de la tangente T à la courbe (C) au point A(e , 0)

4) Tracer ∆, ∆′, T et (C)

B) Soit g la restriction de f à l’intervalle

[

^{1 , +∞}

[

1) a) Montrer que g admet une fonction réciproque g⁻¹ définie sur un intervalle J que l’on précisera. On désigne par ^(C′⁾la courbe représentative de g⁻¹

b) Vérifier que la droite T définie dans A)3)d) est tangente à la courbe (C′)au point

e) , 0 ( B

c) Tracer (C′)

2) Soit I(1 , 1). Calculer en cm², l’aire du domaine plan limité par les axes de coordonnées l’arc

[

^IA

]

de la courbe (C) et l’arc

[

^IB

]

de la courbe (C′)

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Exercice 15

Soit f la fonction définie sur

] [

^{0 , 1 par : }



 





= −

x 1 ln x ) x ( f

1) a) Dresser le tableau de variation de f

b) Montrer que f possède une fonction réciproque définie sur IR par _x

x

e 1 ) e x (

g = +

2) On désigne par (C) la courbe de g ( Unité graphique 4cm ) a) Montrer que (C) est symétrique par rapport au point 



 



 2 1 , 0 I

b) Calculer g′(x) pour tout x ∈ IR et dresser le tableau de variation de g

c) Vérifier que I ∈ (C) et montrer que la tangente T à (C) en I a pour équation :

2 x 1 4 y=1 +

d) Montrer que pour tout x ∈ IR

4 ) 1 x ( g′ ≤

3) Soit h la fonction définie sur IR par

2 x 1 4 ) 1 x ( g ) x (

h = − −

a) Etudier le sens de variation de h

b) Calculer h(0)et en déduire le signe de h(x) sur IR 4) Etudier la position de (C) et T

5) a) Montrer que l’équation f(x)=x possède une seule solution α et que 0,5<α<0,75

b) Tracer (C) et T et la courbe (C’) de f

6) Soit G la primitive de g tel que G(0)=ln2 et ^F:xaln

[ ]

^g(x)

a) Montrer que pour tout x ∈ IR F(x)=x−G(x)

b) Dresser le tableau de variation de F

c) Montrer que la courbe Γ de F est asymptote à la droite D:y=x au voisinage de −∞

d) Préciser la position de Γ par rapport à D. Tracer Γ Exercice 16

A) Soit f la fonction définie par f(x)=−x+ln(2x+3) et soit (C) sa courbe représentative 1) a) Montrer que _^ , +∞_^

2

-3 est le domaine de définition de la fonction f b) Vérifier que ^∀x∈

]

^{0 , +∞}

[

^{on a : }



 



 +

+ +

−

= x

2 3 ln x ln x ) x ( f

2) a) Dresser le tableau de variation de f

b) Montrer que l’équation f(x)=0 admet exactement deux solutions αet β telles que :

3 , 1 4

,

1 <α<−

− et 1,9<β<2

c) En déduire le signe de f(x)lorsque x décrit _^ , +∞_^ 2

-3

3) a) Etudier la position relative de (C) par rapport à la droite D:y=−x

b) Construire la courbe (C) et la droite D ( unité graphique 2cm ) http://mathematiques.tk/

B) Soit la fonction g définie sur

[

^{-1 , +∞}

[

^{par :g(x)=ef(x) . Soit Cg} sa courbe représentative 1) a) Montrer que ∀x∈

[

^{-1 , +∞}

[

^{on a :g(x)=(2x+3)e−x}

b) Vérifier que ∀x∈

[

^{-1 , +∞}

[

^{on a : g′(x)=e−x(−2x−1)}

c) Dresser le tableau de variation de g

d) Donner une équation de la tangente T à Cg au point d’abscisse O 2) Construire C_g et T dans un autre repère ( unité graphique 2cm ) Exercice 17

A) Soit g la fonction définie sur IR par :g(x)=e^x −x−1 1) a) Etudier les variations de g

b) Déduire que ∀x∈IR on a :g(x)≥0

B) Soit f la fonction définie sur IR par :f(x)=xe^x −2e^x +x et soit (C) sa courbe représentative 1) Montrer que =+∞

+∞

→ f(x) lim

x

et que _=+∞

+∞

→ x

) x ( lim f

x

. Interpréter les résultats

2) a) Montrer que la droite ∆^:y=^x est une asymptote oblique à la courbe (C) au voisinage de −∞

b) Préciser la position de (C) par rapport à la droite ∆

3) a) Montrer que pour tout réel x on a :f′(x)=e^xg(−x)

b) En déduire que la fonction f est strictement croissante sur IR c) Dresser le tableau de variation de f

4) Tracer la courbe (C) en précisant la tangente au point d’abscisse 0

5) Soit α un réel de l’intervalle

]

^{-∞ , 2}

[

. on désigne par Α(α)la mesure de l’aire du domaine plan limité par la courbe (C), la droite ∆ et les droites d’équations x=α et x =2

a) A l’aide d’une intégration par partie exprimer Α(α) en fonction de α

b) Déterminer lim Α(α)

−∞

→ α

Exercice 18

Soit f la fonction définie sur IR par

1 e

e ) 2 x (

f _x

x

= + et soit (C) sa courbe représentative ( Unité 2cm )

1) a) Calculer limf(x)

x→+∞ et lim f(x)

x→−∞

b) Montrer que ∀^x∈^IRon a : _{x 2}

x

) 1 e (

e ) 2

x (

f′ = +

c) Dresser le tableau de variation de f

2) a) Montrer que le point I de (C) d’abscisse 0 est un centre de symétrie de (C) b) Donner une équation cartésienne de la tangente T à (C) au point I

3) On pose pour tout x∈IR, g(x)=f(x)−x

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a) Etudier les variations de g

b) Montrer que l’équation g(x)=0admet dans IR une unique solution α et que 1,6<α<1,7

c) Etudier alors les position relatives de (C) et la droite ∆:y=x

4) Construire (C) , T et ∆

5) a) Montrer que f réalise une bijection de IR sur

]

^{0 , 2}

[

b) Calculer f⁻¹(x) ∀x∈

]

^{0 , 2}

[

c) Construire la courbe (C’) représentative de f⁻¹ dans le même repère

6) calculer en cm² et en fonction de α, l’aire A de la partie du plan limitée par les courbes (C) et (C’) l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées

7) Soit la suite (U_n)définie sur IN par :

2

U₀ =1 et U_n+1 =f(U_n)

a) Montrer que ∀n∈IN on a :U_n <α

b) Montrer que la suite (U_n)est croissante

c) En déduire que la suite (U_n)est convergente. Déterminer _n

n

lim U

+∞

→

Exercice 19

Dans tout le problème n désigne un entier naturel non nul A/

1) Soit D la fonction définie sur par :D = + 1 + . a) Dresser le tableau de variation de D .

b) Montrer que l’équation D = 0 admet dans une unique solution / . c) Prouver que −2 < / < −1.

d) En déduire le signe de D suivant les valeurs de .

2) Soit la fonction définie sur par = ^E_E^F_F on désigne par C_n la courbe représentative de .

a) Calculer lim _{→ (} , lim _{→ (} et lim _{→ (} − . En déduire que la courbe C_n admet deux asymptotes que l’on précisera.

b) Montrer que pour tout de , ^- =^EFG_EF H c) Montrer que / = 1 + /

d) Donner le tableau de variation de

3) a) Etudier la position relative de la courbe C_n et la droite I: , = b) Etudier la position relative des courbe C_n et C_n+1

c) Tracer les courbes C₁ et C₂ ( On prendra 2 #$ pour unité de longueur ; on donne / ≃ −1,4 et / ≃ −1,2 )

B/

Soient = 2^J 4 et = 2^J 4 1) Calculer

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2) Montrer que pour tout de l’intervalle

3) Montrer que la suite est convergente et calculer sa limite.

4) On pose K = ∑_{MN M}

a) Montrer que pour tout entier naturel non nul b) En déduire que ∑_{M M} ≥

c) Montrer alors que lim _{→ (} Exercice 20

On a représenté ci-contre, la courbe

définie, dérivable et strictement croissante sur Les droites (∆)et (∆′)d’équation

respectives x=−1 et x=1 sont les asymptotes à La droite (T) est la tangente à (ζ)

1) En utilisant le graphique déterminer 2) Soit g la fonction réciproque de f et représentative

a) Déterminer g(0)et g′(0)

b) Tracer la courbe (ζ′)

3) Sachant que l’expression de g est de la forme

b e

a ) e

x (

g _x

x

+

= + , pour tout^x∈^IR, montrer en utilisant ce qui précède que

1 e

1 ) e

x (

g _x

x

+

= − , pour tout 4) a) Vérifier que

1 e

e 1 e

1

x x

x = +

+ ⁻

−

, pour tout b) Calculer alors ∫₀¹g(x)dx

5) Soit A l’aire de la partie du plan limitée les courbes

1

x= et y=1

a) Montrer que A=1−2∫₀¹g(x)dx

b) En déduire A.

de l’intervalle 1 , 0 ^E

F 6 ^EF

E^F 6 ^EF est convergente et calculer sa limite.

Montrer que pour tout entier naturel non nul O, 2

P M

M 4Q 6

M ln ! 2 ln 2

K ∞

contre, la courbe (ζ)d’une fonction f ∆ ∆′

définie, dérivable et strictement croissante sur

]

^{−1, 1}

[

. sont les asymptotes à(ζ).

)en O.

1) En utilisant le graphique déterminer ^f(0)et ^f′⁽⁰⁾. 2) Soit g la fonction réciproque de f et (ζ′)sa courbe

ant que l’expression de g est de la forme , montrer en utilisant ce , pour tout ^x∈^IR.

, pour tout x∈IR.

5) Soit A l’aire de la partie du plan limitée les courbes (ζ) et (ζ′) les droites d’équations

dx.

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S

les droites d’équations