Chapitre 14 : Limites et composée de la fonction exponentielle 1 Limites et variations

Chapitre 14 : Limites et composée de la fonction exponentielle 1 Limites et variations

x−→+∞lim e^x=. . . et lim

x−→−∞e^x=. . . . Théorème

Démonstration

On considère la fonctionf définie sur[0; +∞[parf(x) =e^x−x.

Tableau de variation et représentation graphique

On construit le tableau de variation à l’aide des résultats précédents.

La courbe passe par les points de coordonnées(0; 1)et(1;e).

La tangente à la courbe au point d’abscisse0a pour coefficient directeur e⁰ = 1.

Puisque lim

x−→−∞e^x= 0, la courbe représentative de la fonction exponentielle admet en−∞une asymptote d’équation y = 0, soit l’axe des abscisses.

x f^′(x) = expx

f(x) = expx

−∞ +∞

+

0 0

+∞ +∞

2 Limites et comparaisons

x−→+∞lim e^x

x =. . . et lim

x−→−∞xe^x =. . . Théorème

Démonstration

On considère la fonctiongdéfinie sur[0; +∞[parg(x) =e^x−^x2².

x−→−∞lim xe^x= lim

x−→−∞

x

e^−x = lim

X−→+∞−X

e^X = 0 (par inverse en utilisant le résultat précédent.)

x−→0lim e^x−1

x =. . . Théorème

Démonstration e^0+x−e⁰

x est le . . . .

Sa limite quandxtend vers 0 est le . . . . . . . .

Donc lim

x→0

e^x−1

x =. . . ..

3 Calcul de dérivées

Nous savons que sif est une fonction dérivable surR,(f(ax+b))^′ =a×f^′(ax+b).

En appliquant ce résultat à la fonction exponentielle, (aveca=−ketb= 0), on obtient : (exp(−kx))^′ =. . . .

Plus généralement, on montre que :

siuest une fonction dérivable sur un intervalleI deR, alors la fonction e^uest dérivable surIet (e^u)^′ =. . . .

Remarque

e^uétant strictement positif, le signe de(e^u)^′ est le même que celui deu^′. Nous avons vu dans un chapitre précédent que :(√u)^′= u^′

2√u et(uⁿ)^′ =nu^′uⁿ⁻¹ On constate que ces dérivées satisfont toutes à la formule générale :

(f(u(x))^′ =u^′(x)×f^′(u(x))

Exemple :(exp(−kx²))^′ =. . . .