1 Limites d’une fonction

(1)

Chapitre n^◦1

Fonctions de la variable r´ eelle

Table des mati` eres

1 Limites d’une fonction 1

1.1 Distance entre deux r´eels . . . 1

1.2 Limite en a . . . 2

1.3 Limites et comparaisons . . . 3

1.4 Relations de comparaison . . . 5

2 Continuité, dérivabilité et classesCⁿ 7 2.1 Continuité d’une fonction . . . 7

2.2 D´erivabilit´e d’une fonction . . . 9

2.3 Fonctions de classe Cⁿ . . . 11

2.4 D´eveloppements limit´es . . . 13

Pour tout le chapitre, on considère une fonction f :I →R, oùI est un intervalle de R (non vide et non réduit à un point) et a, un élément deI ou une extrémité deI (finie ou infinie).

1 Limites d’une fonction

1.1 Distance entre deux r´eels

D´efinition 1. (valeur absolue) ∀x∈R, |x|=

√ x² =

x six≥0

−x six <0 .

Remarque :Pour tous réelsx, x⁰, on a : 1. |x| ≥0, avec égalité ssi x= 0 ; 2. | −x|=|x|, x≤ |x|, |x|² =x²; 3. |x|=|x⁰| ⇐⇒x=x⁰ oux=−x⁰.

Propriété 1. (règles de calcul) Pour tous réels x et y, on a :

|xy|=|x| × |y|; x y

= |x|

|y|, siy6= 0; |xⁿ|=|x|ⁿ, sin∈N.

(2)

Propriété 2. (distance entre deux réels) Soit ε >0, a∈R et x∈R. On a :

|x−a| ≤ε ⇐⇒ −ε≤x−a≤ε ⇐⇒ a−ε≤x≤a+ε ⇐⇒ x∈[a−ε, a+ε].

Remarque : Si|x−a| ≤ε, on dit que x et une valeur approchée de aà εprès.

Théorème 1. (inégalité triangulaire) ∀(x, y)∈R², |x±y| ≤ |x|+|y|.

Plus g´en´eralement, sin∈N^∗, on a : ∀(x₁, . . . , x_n)∈Rⁿ,

n

X

k=1

x_k

≤

n

X

k=1

|x_k|.

Propriété 3. La fonctionf est bornée sur I ssi la fonction|f|est majorée sur I.

Exercice 1. Pour n∈N^∗, la fonction fn est d´efinie surR parfn(x) =

n

X

k=1

(−1)^k+1sin(kx) k²+n² . 1. Expliciter f₂(x) puis montrer que ∀x∈R, |f₂(x)| ≤ 13

40. Que peut-on en d´eduire pour la courbe repr´esentative def₂? 2. Montrer que ∀x∈R, |f_n(x)| ≤ 1

n.

Que peut-on en d´eduire pour la courbe repr´esentative defn lorsquen−→+∞?

1.2 Limite en a

D´efinition 2. On dit que f admet pour limite` ena si

i) `∈R, a∈R et on a : ∀ε >0, ∃α >0, ∀x∈I, |x−a| ≤α=⇒ |f(x)−`| ≤ε; ii) `= +∞, a∈R et on a : ∀A∈R, ∃α >0, ∀x∈I, |x−a| ≤α=⇒f(x)≥A; iii) `∈R, a= +∞ et on a : ∀ε >0, ∃α >0, ∀x∈I, x≥α=⇒ |f(x)−`| ≤ε.

Dans tous les cas, on note f(x)−→

x→a`.

Remarque : Un calcul de limite ena∈R ou en±∞ peut se ramener `a un calcul de limite en 0 : f(x)−→

x→a`⇐⇒f(a+h)−→

h→0` et f(x) −→

x→+∞`⇐⇒f 1

t

−→t→

>0 `.

(3)

Propri´et´e 4. Si f admet une limite en a alors cette limite est unique. On la note lim

x→af(x).

Si, de plus,f est d´efinie en a(a∈I) alors lim

x→af(x) =f(a).

Notations : Les limites à droite et à gauche def en asont notées lim

x→>af(x) et lim

x→<af(x).

Propri´et´e 5. (composition d’une fonction avec une suite) Soit (u_n)∈I^N et `∈R∪ {±∞}.

Si un −→

n→+∞a et f(x)−→

x→a` alors f(un) −→

n→+∞`.

Application : (`a savoir) les fonctions cos et sin n’admettent pas de limite en±∞.

Exercice 2. En utilisant des suites bien choisies, d´emontrer que les fonctions cos et sin n’admettent pas de limite en ±∞.

Exercice 3. Dans chaque cas, étudier les limites à droite et à gauche de f en 0, et dire si f admet une limite en 0 :

1. f(x) =bxc (fonction partie enti`ere) ; 2. f(x) =1_R^∗(x) (fonction indicatrice de R^∗) ; 3. f(x) = e⁻^x¹² ;

4. f(x) = cos 1

x

.

1.3 Limites et comparaisons

D´efinition 3. (voisinage) Soit a∈R∪ {±∞}.

1. Sia∈R, on appelle voisinage de a tout intervalle de la forme ]a−α, a+α[, avec α >0.

2. Sia= +∞, on appelle voisinage de a tout intervalle de la forme ]α,+∞[, avecα∈R. 3. Sia=−∞, on appelle voisinage de a tout intervalle de la forme ]− ∞, α[, avec α∈R. Une propriété portant sur f :I →R est dite vraie au voisinage de assi il existe un voisinage V de atel que cette propriété est vraie sur I∩V.

(4)

Th´eor`eme 2. (d’encadrement) Soit `∈R.

Si g(x)≤f(x)≤h(x) au voisinage de aet si g(x)−→

x→a` et h(x)−→

x→a`, alors f(x)−→

x→a`.

Th´eor`eme 3. (de minoration ou de majoration) Soit a∈R∪ {±∞}.

1. Si f(x)≤g(x) au voisinage de a et f(x)−→

x→a+∞ alors g(x)−→

x→a+∞ (minoration).

2. Si f(x)≤g(x) au voisinage de a et g(x)−→

x→a−∞ alors f(x)−→

x→a−∞ (majoration).

Théorème 4. (passage à la limite dans une inégalité large) Soit (`, `⁰)∈R². Si f(x)≤g(x) au voisinage de a, et si f(x)−→

x→a` et g(x)−→

x→a`⁰, alors `≤`⁰.

! Par passage à la limite, une inégalité stricte devient une inégalité large.

Théorème 5. (croissances comparées) ∀α, β >0,

x→0lim⁺x^α|ln(x)|^β = 0, lim

x→+∞

[ln(x)]^β x^α = 0,

x→−∞lim |x|^αe^βx= 0, lim

x→+∞

e^βx

x^α = +∞,

x→+∞lim e^βx

[ln(x)]^α = +∞.

Th´eor`eme 6. (limite monotone)

Si f est monotone sur ]a, b[, où a∈R∪ {−∞} et b∈R∪ {+∞}, alors f admet une limite (finie ou infinie) à droite en aet à gauche enb.

Exercice 4. Etudier la limite de :´ 1. f :t7→e^−2tcos(t) en +∞; 2. f :x7→√

x 1

x

en 0; 3. f(x) = 1

x³e⁻^x¹² en+∞ et en 0; 4. g(x) = ln(1−x²)− 1

xln

1−x 1 +x

en1.

(5)

1.4 Relations de comparaison

D´efinition 4. Soit g d´efinie sur un voisinage V dea, qui ne s’annule pas sur V\{a}.

1. f est dite domin´ee parg ena ssi f

g est born´ee au voisinage dea.

Dans ce cas, on note f(x) =

a O g(x) 2. f est dite n´egligeable devant g en a ssi f(x)

g(x) −→

x→a0.

Dans ce cas, on note f(x) =

a o g(x) . 3. f est dite ´equivalente `a g en a ssi f(x)

g(x) −→

x→a1.

Dans ce cas, on note f(x)∼

a g(x).

Propriété 6. (de la relation de négligeabilité) 1. f(x) =

a o g(x)

=⇒ f(x) =

a O g(x)

(r´eciproque fausse).

2. f(x) =

a o(1) ⇐⇒ f(x)−→

x→a0.

3.

f(x) =

a o g(x)

et g(x) =

a o h(x)

=⇒ f(x) =

a o h(x)

(transitivit´e).

Théorème 7. (croissances comparées) Soient α, β, γ >0. On a : [ln(x)]^γ =

+∞o(x^α), x^α =

+∞o

e^βx

et [ln(x)]^γ =

+∞o

e^βx

.

Propriété 7. (opérations sur les o) Soit(n, p)∈N×N^∗ et λ∈R^∗. On a : Si p < n alors xⁿ=

0 o(x^p) et x^p =

±∞o(xⁿ), o(xⁿ)±o(xⁿ) =

0 o(xⁿ), λ×o(xⁿ) =

0 o(xⁿ), x^p×o(xⁿ) =

0 o x^n+p

, 1

x^p ×o(xⁿ) =

0 o x^n−p .

(6)

Propriété 8. (de la relation d’équivalence) 1. Si `∈R^∗, f(x)∼

a ` ⇐⇒ f(x)−→

x→a` ⇐⇒ f(x)−`=

a o(1) ⇐⇒ f(x) =

a `+o(1).

2. f(x)∼

a g(x) ⇐⇒ f(x)−g(x) =

a o(g(x)) ⇐⇒ f(x) =

a g(x) +o(g(x)).

3. De plus, la relation d’´equivalence est sym´etrique et transitive.

! Une fonction n’est jamais ´equivalente `a 0 : f(x)∼/

a

0.

Théorème 8. (équivalents usuels) sin(x)∼

0 x, 1−cos(x)∼

0

x²

2 , tan(x)∼

0 x, e^x−1∼

0 x, ln(1 +x)∼

0 x, ln(x)∼

1 x−1, (1 +x)^α−1∼

0 αx, α∈R^∗, arcsin(x)∼

0 x, arctan(x)∼

0 x, sh (x)∼

0 x, ch (x)−1∼

0

x² 2 .

Si P est une fonction polynomiale non nulle alors P(x) est équivalent à son terme de plus haut degré en±∞, et à son terme de plus bas degré en0.

Propriété 9. (compatibilité avec les opérations) Si f(x)∼

a g(x) et h(x)∼

a l(x), alors 1. f(x)h(x)∼

a g(x)l(x); f(x) h(x) ∼

a

g(x)

l(x) ; [f(x)]ⁿ∼

a [g(x)]ⁿ, si n∈Z; 2. si f et g sont strictement positives au voisinage de a, [f(x)]^α∼

a [g(x)]^α, si α∈R.

! La relation d’´equivalence n’est pas compatible avec l’addition : f(x) =x³+ 2x ∼

+∞x³, g(x) =−x³+ 1 ∼

+∞−x³ mais f(x) +g(x) = 2x+ 1 ∼

+∞2x.

! La relation d’´equivalence n’est pas compatible avec la composition `a gauche : f(x) =x³+ 2x ∼

+∞x³ mais e^f(x) = e^x³^+2x ∼/

+∞

e^x³.

Cas particuliers : Pour la composition, on a l’élévation à une puissance constante et aussi 1.

u(x)−→

x→ba et f(y)∼

a g(y)

=⇒f(u(x))∼

b g(u(x)) ; 2.

f(x)∼

a g(x) et g(x)−→

x→a`6=±1

=⇒ln|f(x)| ∼

a ln|g(x)|.

(7)

Propriété 10. (transfert de propriétés) 1. Si f(x)∼

a g(x) alors f et g sont de mˆeme signe au voisinage de a.

2. Si f(x)∼

a g(x) et g(x)−→

x→a`∈R∪ {±∞} alors f(x)−→

x→a`.

Exercice 5. Montrer que : a) 2e^−xcos(x) =

+∞O(e^−x), b) 2e^−xcos(x) =

+∞o 1

x²

.

Exercice 6. Calculer les limites en0 et en +∞ de : a) f(x) =

√x+ 1−1

√3

x+ 1−1; b) f(x) = (1 + tan(x))¹^x ; c) f(x) = 3x²−x+ 7

√

5x⁴−2x+ 1; d) f(x) =xsin 1

x²

.

Point m´ethode : Pour calculer une limite, il faut :

1.repérer les formes indéterminées (f.i.) :∞ − ∞, 0× ∞, ⁰₀, ^∞_∞, 1^∞;

2.sans f.i. : effectuer un calcul direct, par op´erations sur les limites et/ou composition ; 3.avec f.i. : utiliser une majoration et/ou une minoration,

faire apparaˆıtre une croissance compar´ee ou un taux d’accroissement,

utiliser les équivalents usuels si les opérations sont compatibles avec la relation d’équivalence, utiliser les DL usuels dans le cas contraire, ou si l’utilisation des équivalents n’est pas suffisante.

2 Continuit´ e, d´ erivabilit´ e et classes C

ⁿ

2.1 Continuit´e d’une fonction

D´efinition 5. Soit a∈I.

On dit que f est continue en a ssi f(x)−→

x→af(a). Sinon,f est dite discontinue en a.

On dit que f est continue sur I ssi f est continue en tout r´eel ade I.

Remarque : f est continue en assi elle est continue `a droite et `a gauche en a.

(8)

D´efinition 6. (prolongement continu) Soit a∈I etf d´efinie sur I\{a}.

On dit que f est prolongeable par continuit´e en a ssi f admet une limite finie ` ena.

Dans ce cas, la fonction fed´efinie surI parfe(x) =

( f(x) si x∈I\{a}

` si x=a est appell´ee prolongement par continuit´e de f en a.

Remarque : Le prolongement par continuit´e def en aest une fonction continue en a.

Théorème 9. (des valeurs intermédiaires)

Si f est continue sur I, si(a, b)∈I² et si k est un r´eel compris entre f(a) et f(b),

alors il existe un réel c entre aet b tel que f(c) =k (c est un antécédent de k parf dansI).

Autrement dit, l’image de l’intervalleI par une fonction f continue sur I est un intervalle.

Remarque : f continue sur [a, b] ”prend” toutes les valeurs interm´ediaires entref(a) et f(b).

Si, de plus, f(a) etf(b) sont de signes contraires (c.`a.d. f(a)f(b)<0) alors∃c∈]a, b[,f(c) = 0.

Application : (à savoir) Un polynôme réel de degré impair admet au moins une racine réelle .

Th´eor`eme 10. (de la bijection)

Si f est continue et strictement monotone sur l’intervalle I,

alors f r´ealise une bijection de l’intervalle I sur l’intervalle J =f(I).

De plus,f⁻¹ est continue et strictement monotone sur J =f(I), de mˆeme monotonie que f.

Th´eor`eme 11. (des bornes)

Si f est continue sur le segment [a, b] alors f est born´ee sur [a, b]et atteint ses bornes :

∃(c, d)∈[a, b]², ∀x∈[a, b], f(c)≤f(x)≤f(d).

Autrement dit, l’image d’un segment[a, b]par une fonctionf continue sur [a, b]est un segment.

Exercice 7. Montrer que f : x7−→ xln|x| se prolonge en une fonction continue sur R et d´efinir ce prolongement.

(9)

Exercice 8. Pour n∈N^∗, on consid`ere l’´equation (E_n) : cos(x) =nx.

1. Montrer que l’´equation (E_n) admet une unique solution dans R. On la notera (x_n).

2. Montrer que la suite(x_n) est monotone, convergente et de limite `= 0.

3. Prouver que xn ∼

+∞

1

n puis que xn− 1 n ∼

+∞− 1 2n³.

2.2 D´erivabilit´e d’une fonction

D´efinition 7. On dit que f est d´erivable en a∈I ssi le taux d’accroissement de f ena, τa:x7→ f(x)−f(a)

x−a , admet une limite finie en a, que l’on notef⁰(a) ou df dx(a).

On dit que f est dérivable sur I ssi f est dérivable en tout réel a deI.

On dit que f est de classe C¹ sur I ssi f est d´erivable surI et f⁰ est continue sur I.

Remarque : f est dérivable en assi elle est dérivable à droite et à gauche enaetf_g⁰(a) =f_d⁰(a).

Propriété 11. Si f est dérivable sur un intervalleI alors f est continue sur I (réciproque fausse).

Théorème 12. f est dérivable en a∈I ssi il existe un réel `tel que f(x) =

a f(a) +`(x−a) +o((x−a))

Dans ce cas, `=f⁰(a) et cette expression est appelée développement limité d’ordre 1 ena.

Interprétation géométrique :Sif est dérivable enaalors son grapheCf admet en son point d’abscisse aune tangente de pente f⁰(a) et d’équationy =f(a) +f⁰(a)(x−a). Sinon,

− sif⁰(a) = 0 alorsCf admet une tangente horizontale en a, d’´equation y=f(a) ;

− sif est dérivable à droite et à gauche en aet sif_d⁰(a)6=f_g⁰(a), alors Cf admet deux demi-tangentes à droite et à gauche enade coefficients directeurs respectifsf_d⁰(a) et f_g⁰(a) ;

− si lim

x→a

f(x)−f(a)

x−a =±∞alorsCf admet une tangente verticale en a, d’´equation x=a.

(10)

Théorème 13. (condition nécessaire d’existence d’un extremum en un point intérieur) Si f est dérivable sur ]a, b[ et si f admet un extremum local enc∈]a, b[, alors f⁰(c) = 0.

! Sic∈ {a, b} alorsf(c) peut être un extremum sans quef soit dérivable enc, ou que f⁰(c) soit nul (ex : ci-dessus à gauche). Sic∈]a, b[ alors on peut avoirf⁰(c) = 0 sans quef(c) soit un extremum (ex : f(x) =x³ en 0).

Th´eor`eme 14. (de Rolle)

Si f est continue sur le segment[a, b], d´erivable sur ]a, b[ et si f(a) =f(b), alors il existe c∈]a, b[tel que f⁰(c) = 0.

Remarque :Sif est d´erivable sur I et s’annule enaetb alorsf⁰ s’annule entre aetb(strictement).

Th´eor`eme 15. (des accroissements finis)

Si f est continue sur le segment[a, b]et d´erivable sur ]a, b[, alors il existe c∈]a, b[tel que f(b)−f(a) =f⁰(c)(b−a).

Théorème 16. (inégalité des accroissements finis)

Si f est d´erivable sur I et si |f⁰|est major´ee parK ∈R+ sur I,

alors ∀(a, b)∈I², |f(b)−f(a)| ≤K|b−a| (f est K-lipschitzienne surI).

Application : (inégalités usuelles, à savoir)

∀x∈R, e^x≥x+ 1 ∀x∈]−1,+∞[, ln(1 +x)≤x ∀x∈R, |sin(x)| ≤ |x|

(11)

Théorème 17. Soit f une fonction dérivable sur l’intervalle I.

1. f est croissante (resp. d´ecroissante) sur I ssi ∀x∈I,f⁰(x)≥0 (resp. f⁰(x)≤0).

2. f est constante sur I ssi ∀x∈I, f⁰(x) = 0.

Application : (égalités usuelles, à savoir)

∀x >0, arctan(x) + arctan 1

x

= π

2 ∀x∈[−1,1], arccos(x) + arcsin(x) = π 2

Théorème 18. (de la limite de la dérivée)

Si f est continue sur l’intervalle I, d´erivable sur I\{a} et si f⁰(x)−→

x→a`∈R, alors f est d´erivable ena, f⁰(a) =` etf⁰ est continue en a.

Exercice 9. Pour n∈N^∗, on consid`ere l’´equation (E_n) : xⁿ−x+ 1 = 0, d’inconnue x∈R. Montrer qu’elle ne peut avoir plus de deux solutions si nest pair et plus de trois si nest impair.

Exercice 10. D´emontrer que :

a)∀x∈R, e^x≥x+ 1; b)∀x∈R, |sin(x)| ≤ |x|; c)∀x >0, arctan(x) + arctan 1

x

= π 2.

Exercice 11. Pour n∈ {2,3}, on pose f_n(x) =xⁿsin 1

x

si x6= 0 et f(0) = 0.

1. Montrer que f2 est d´erivable surR, mais que f⁰ n’est pas continue en 0.

2. Montrer que f₃ est de classe C¹ sur R, mais que f⁰ n’est pas d´erivable en0.

2.3 Fonctions de classe Cⁿ

Définition 8. Si elle existe, la dérivée n-ième de f sur I est définie par récurrence : f⁽⁰⁾ =f et∀k∈

1, n

, f^(k)= f^(k−1)⁰ .

f est de classe Cⁿ sur I sif admet une dérivée n-ième surI etf⁽ⁿ⁾ est continue sur I. f est de classe C^∞ sur I sif admet une dérivée n-ième surI pour tout n∈ .

(12)

∀n∈N, ∀x∈R, exp⁽ⁿ⁾(x) = e^x , sin⁽ⁿ⁾(x) = sin x+ nπ

2

, cos⁽ⁿ⁾(x) = cos x+nπ

2

.

Remarque : C⁰(I) est l’ensemble des fonctions continues surI et on a les inclusions : C^∞(I)⊂ · · · ⊂Cⁿ(I)⊂Cⁿ⁻¹(I)⊂. . .⊂C²(I)⊂C¹(I)⊂C⁰(I).

Propri´et´e 12. Soit n∈N∪ {+∞} et (f, g)∈(Cⁿ(I))². Alors on a :

1. ∀λ∈R, f +λg∈Cⁿ(I) et (f +λg)⁽ⁿ⁾=f⁽ⁿ⁾+λg⁽ⁿ⁾ (lin´earit´e) ; 2. f g∈Cⁿ(I) et (f g)⁽ⁿ⁾=

n

X

k=0

n k

f^(k)g^(n−k) (formule de Leibniz).

Théorème 19. (généraux) Soit n∈N∪ {+∞}.

1. Si(f, g)∈(Cⁿ(I))² alors f +g, f g et f /g (si g ne s’annule pas) sont Cⁿ sur I. 2. Sif ∈Cⁿ(I), g∈Cⁿ(J) et f(I)⊂J alors g◦f estCⁿ sur I.

Si, de plus, n≥1, alors ∀x∈I, (g◦f)⁰(x) =f⁰(x)×g⁰(f(x)).

Application : (à savoir) Une fonction usuelle estC^∞ sur chaque intervalle où elle est dérivable.

Théorème 20. (de la bijection réciproqueCⁿ) Soit n∈N^∗∪ {+∞}.

Si f est de classe Cⁿ sur l’intervalle I et si f⁰ ne s’annule pas surI,

alors f r´ealise une bijection deI sur l’intervalleJ =f(I) etf⁻¹ est de classe Cⁿ sur J. De plus,∀y ∈J, f⁻¹0

(y) = 1

f⁰(f⁻¹(y)).

Théorème 21. (formule de Taylor avec reste intégral) Soit n∈N eta∈I. Si f ∈Cⁿ⁺¹(I) alors ∀x∈I, f(x) =

n

X

k=0

f^(k)(a)

k! (x−a)^k+ Z x

a

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt.

(13)

Cas particulier :Sif ∈C¹(I) et a∈I alors∀x∈R, f(x) =f(a) + Z x

a

f⁰(t)dt.

Application : (limite usuelle, `a savoir) ∀x∈R,

n

X

k=0

x^k k! −→

n→+∞e^x .

Exercice 12. Soit n∈N^∗.

1. D´emontrer, par r´ecurrence sur n, que∀x∈R, cos⁽ⁿ⁾(x) = cos x+ nπ

2

.

2. Démontrer que la fonction f :x7→(x²+x)e^−x est C^∞ sur R et calculer sa dérivée n-ième.

Exercice 13. Montrer queth :x7→ sh (x)

ch (x) réalise une bijection deRsur un intervalleJ à déterminer, que th⁻¹ est C^∞ sur J et calculer la dérivée deth⁻¹.

Exercice 14. Montrer que∀x∈R,

n

X

k=0

x^k k! −→

n→+∞e^x.

2.4 D´eveloppements limit´es

Définition 9. On dit que f admet un développement limité à l’ordren ena, noté DL_n(a), si f(x) =

a a₀+a₁(x−a) +· · ·+a_n(x−a)ⁿ

| {z }

partie r´eguli`ere

+o((x−a)ⁿ), o`ua₀, a₁, . . . , a_n∈R.

Propriété 13. Si f admet un développement limité à l’ordren ena alors il est unique.

Application : (DL(0) usuels, `a savoir) Pour n∈N, 1

1−x =

0 1 +x+x²+x³+· · ·+xⁿ+o(xⁿ) ; 1

1 +x =

0 1−x+x²−x³+· · ·+ (−1)ⁿxⁿ+o(xⁿ) .

Th´eor`eme 22. (formule de Taylor-Young) Si f ∈Cⁿ(I) et a∈I alors f admet pour DLn(a) : f(x) =f(a) +f⁰(a)(x−a) +f⁰⁰(a)

2! (x−a)²+· · ·+f⁽ⁿ⁾(a)

n! (x−a)ⁿ+o((x−a)ⁿ).

(14)

e^x=

0 1 +x+x² 2! +x³

3! +· · ·+xⁿ

n! +o(xⁿ) ;

cos(x) =

0 1− x² 2! + x⁴

4! +· · ·+ (−1)ⁿ x²ⁿ

(2n)! +o(x²ⁿ) ;

sin(x) =

0 x−x³ 3! +x⁵

5! +· · ·+ (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! +o(x²ⁿ⁺¹) ;

(1 +x)^α=

0 1 +αx+ α(α−1)

2! x²+· · ·+α(α−1)· · ·(α−n+ 1)

n! xⁿ+o(xⁿ), ∀α∈R^∗ .

! f peut admettre un DL2(0) sans ˆetre deux fois d´erivable.

C’est le cas pourf(x) =x³sin _x¹

si x6= 0 etf(0) = 0, dont le DL₂(0) est f(x) =

0 o(x²).

Propri´et´e 14. (Primitivation) Soitf continue sur I eta∈I.

Si f admet un DL_n(a) alors toute primitive F de f admet un DL_n+1(a).

Plus pr´ecis´ement, si f(x) =

a a0+a1(x−a) +. . .+an(x−a)ⁿ+o((x−a)ⁿ), alors F(x) =

a F(a) +a₀(x−a) +a₁(x−a)²

2 +. . .+a_n(x−a)ⁿ⁺¹

n+ 1 +o (x−a)ⁿ⁺¹ .

Application : (DL(0) usuels, `a savoir) Pour n∈N, ln(1 +x) =

0 x− x² 2 +x³

3 +· · ·+ (−1)ⁿ⁻¹xⁿ

n +o(xⁿ) ;

arctan(x) =

0 x−x³ 3 +x⁵

5 +· · ·+ (−1)ⁿx²ⁿ⁺¹

2n+ 1+o(x²ⁿ⁺¹) ;

tan(x) =

0 x+x³

3 +o(x³) .

Point m´ethode : Pour l’´etude locale ena∈R, on pose x=a+h⇐⇒h=x−aet on a : f(a+h) =

h→0a₀+a₁h+a_ph^p+· · ·+a_nhⁿ+o(hⁿ)

⇐⇒ f(x) =

x→aa0+a1(x−a) +ap(x−a)^p+· · ·+an(x−a)ⁿ+o((x−a)ⁿ). Sia_p 6= 0 alorsf(x)−[a₀+a₁(x−a)] ∼

x→aa_p(x−a)^p.

Dans ce cas, Cf admet une tangente T_a en (a, f(a)) d’´equation y = a₀ +a₁(x−a) et la position relative deCf etTa au voisinage de as’obtient en ´etudiant le signe du termeap(x−a)^p.

Si la tangente en aest horizontale et la courbe se situe en dessous (resp. au dessus) de celle-ci au voisinage de aalorsf admet un maximum (resp. minimum) local ena.

(15)

Application : (fonctions usuelles, `a savoir) Repr´esentation graphique au voisinage de 0 de

a)x7−→e^x b) x7−→ln(1 +x)

c)x7−→cos(x) d) x7−→sin(x)

Remarque : Chercher un DL_n(a) de x7−→f(x) revient `a chercher un DL_n(0) deh7−→f(a+h).

Propriété 15. Soit f une fonction définie au voisinage de 0 et admettant un DLn(0).

Si f(x) =

0 apx^p+ap+1x^p+1+. . .+anxⁿ+o(xⁿ) et ap 6= 0 alors f(x)∼

0 apx^p.

Propriété 16. (Combinaisons linéaires et produits)

Si f et g admettent des DL_n(0) de parties régulières respectives P_n(x) et Q_n(x) alors on a : 1. pour tout (λ, µ)∈R², λf+µg admet un DL_n(0) de partie régulière λP_n(x) +µQ_n(x); 2. f g admet un DLn(0)dont la partie régulière s’obtient en éliminant tous les termes de

degré supérieur à ndu produit P_n(x)Q_n(x).

Remarque : Si lim

x→0f(x) = 0, le DL_n(0) deg◦f(x) s’obtient, de mˆeme, en d´eveloppant Q_n(P_n(x)).

Pour un quotient, on fait apparaˆıtre une expression de la forme f(x)× 1

1±u(x), o`u lim

x→0u(x) = 0.

(16)

Exercice 15. DL3(0) de sh (x), √

1 +x et de arcsin(x).

Exercice 16. DL₃(0) de f(x) = cos(x)

1−x, g(x) = e^cos(x) et h(x) = x 1 + e^x.

Exercice 17. Soit f :x7→ 1

sin²(x)− 1 x².

D´eterminer la limite `de f en 0, puis un ´equivalent def(x)−` lorsquex−→0.

Exercice 18. Etude locale de´ sin au voisinage de π

4 (tangente, position par rapport `a la courbe).