1/ Limites d’une fonction en l’infini

Limites

1/ Limites d’une fonction en l’infini

a) Limite réelle en l’infini, asymptote horizontale

Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [A ; +∞[. On dit que f tend versℓlorsquextend vers +∞si tout intervalle ouvert contenantℓcontient aussi toutes les valeurs de f(x) pour xsuffisamment grand.

On note lim

x→+∞f(x) =ℓ.

Propriété

Remarque : on peut définir de même lim

x→−∞f(x).

Exemple : Soitf la fonction définie sur [1 ; +∞[ par f(x) = 1 +1

x. Démontrer que lim

x→+∞f(x) = 1.

Soita∈R.

f(x)∈]1−a; 1 +a[⇔1−a <1 +1

x<1 +a

⇔ −a < 1 x< a

⇔x > 1

a car xest positif.

Ainsi pour x > 1

a, f(x) ∈ ]1− a ; 1 + a[ donc lim

x→+∞f(x) = 1.

0 ℓ

Cf

Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [A ; +∞[ et C sa courbe représentative dans un repère. Si lim

x→+∞f(x) = ℓ ou si lim

x→−∞f(x) = ℓ, on dit que la droite d’équation y=ℓest asymptote à C.

Propriété

Limites usuelles

x→+∞lim 1

x = 0 ; lim

x→−∞

1

x = 0 ; lim

x→+∞

1

x² = 0 ; lim

x→−∞

1

x² = 0 ; lim

x→+∞

√1x = 0.

Propriété

b) Limite infinie en l’infini

Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [A ; +∞[. On dit que f tend vers +∞lorsquextend vers +∞si tout intervalle de la forme ]M ; +∞[ contient toutes les valeurs de f(x) pour xsuffisamment grand.

On note lim

x→+∞f(x) = +∞. Propriété

Remarque : on peut définir de même lim

x→+∞f(x) =

−∞...

Exemple : Soitf la fonction définie sur [1 ; +∞[ par f(x) = x²+ 3. Démontrer que lim

x→+∞f(x) = +∞. SoitM ∈R.

f(x)> M⇔x²+ 3> M⇔x²> M−3

⇔x >√

M−3 pourM >3.

Ainsi pourx >√

M−3,f(x)> M donc lim

x→+∞f(x) = +∞.

0 M

Cf

Limites usuelles

x→+∞lim x= +∞; lim

x→−∞x=−∞; lim

x→+∞x²= +∞; lim

x→−∞x² = +∞; lim

x→+∞

√x= +∞. Propriété

2/ Limite d’une fonction en un point

a) Limite réelle en un point

Soitf une fonction définie sur un intervalleI eta∈I. On dit quef tend versLlorsque x tend vers asi tout intervalle ouvert contenant L contient aussi toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment proche dea.

On note lim_x→xaf(x) =L.

Propriété

Remarque : lim

x→xaf(x) =L⇔ lim

x→h0f(a+h) =L

Exemple : lim

x→0xx= 0; lim

x→0xx²= 0; lim

x→0x(1 +x)²−1

x = 2.

b) Limite infinie en un point, asymptote verticale

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. On dit que f tend vers +∞ lorsquextend versasi tout intervalle de la forme ]M ; +∞[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment proche dea.

On note lim_x→xaf(x) = +∞. Propriété

Remarque : On peut définir de même lim

x→xaf(x) =

−∞.

Exemple : Soit f la fonction définie sur R^∗ par f(x) = 1 x². Démontrer que lim

x→0xf(x) = +∞. SoitM ∈R

f(x)> M⇔ 1

x² > M⇔x²< 1 M

⇔ − 1

√M < x < 1

√M Ainsi pour − 1

√M < x < 1

√M, f(x) > M donc lim

x→0xf(x) = +∞. 0

M

a

Cf

Soit f une fonction définie sur un intervalleI eta∈I. Soit C sa courbe représentative dans un repère.

Si lim

x→xaf(x) = +∞ ou lim

x→xaf(x) = −∞, on dit que la droite d’équation x = a est asymptote àC.

Propriété

Limites usuelles

limx→0 x>0

1

x = +∞; lim

x→0 x<0

1

x =−∞; lim

x→0x 1

x² = +∞; lim

x→0x 1

√x = +∞ Propriété

3/ Asymptotes obliques

Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [A ; +∞[ et C sa courbe représentative dans un repère. Soient aetb deux réels aveca6= 0.

Si lim

x→+∞(f(x)−(ax+b)) = 0 (resp. lim

x→−∞(f(x)−(ax+b)) = 0), on dit que la droite d’équationy=ax+best asymptote oblique à la courbeC en +∞ (resp. en−∞).

Propriété

Interprétation graphique :

Le point M a pour coordonnées (x;f(x)) et le pointN a pour coordonnées (x;ax+b).

La distanceM N est donc égale à

|f(x)−(ax+b)| Ainsi, si lim

x→+∞(f(x) −(ax+b)) = 0 alors la longueurM N tend vers 0.

La courbe « se rapproche » de la droite et tend

à « suivre la direction » de la droite. _{0 x}

f(x) ax+b

M P

Cf

Exemple : Soitf la fonction définie surR^∗parf(x) = 2x−1 + 1

x² et soitC sa courbe représentative. Soit dla droite d’équationy= 2x−1.

Démontrer quedest asymptote àC en+∞. Pour toutx6= 0,f(x)−(2x−1) = 1

x². Or lim

x→+∞

1 x² = 0.

Ainsi,dest asymptote àC en +∞.

4/ Opérations sur les limites

Dans les tableaux suivants,adésigne un nombre réel, +∞ ou −∞. a) Somme de fonctions

Si _x→xlimaf(x) = ℓ ℓ ℓ +∞ +∞ −∞

et lim

x→xag(x) = ℓ^′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

alors lim

x→xaf(x) +g(x) = ℓ+ℓ^′ +∞ −∞ +∞ ? ? ? −∞

Remarque : ? ? ? signifie que l’on ne peut pas conclure. Cela ne signifie pas que la limite n’existe pas mais simplement qu’on ne peut pas la trouver directement. On parle de « forme indéterminée ».

Exemple : Déterminer lim

x→+∞

x²+1 x.





 lim

x→+∞

x²= +∞ lim

x→+∞

1

x = 0 donc lim

x→+∞

x²+1 x= +∞

b) Produit par une constante kdésigne un nombre réel différent de 0.

Si _x→xlimaf(x) = ℓ +∞ +∞ −∞ −∞

et k >0 k <0 k >0 k <0 alors lim

x→xakf(x) = kℓ +∞ −∞ −∞ +∞

c) Produit de fonctions

Si lim

x→xaf(x) = ℓ ℓ6= 0 0 +∞ +∞ −∞

et _x→xlimag(x) = ℓ^′ ±∞ ±∞ +∞ −∞ −∞

alors _x→xlimaf(x)×g(x) = ℓ×ℓ^′ ±∞ ? ? ? +∞ −∞ +∞

Remarque :±∞ signifie +∞ ou −∞. Dans le cas de la troisième ligne, c’est la règle des signes d’un produit qui permet de conclure.

Exemple : Déterminer lim

x→+∞

₁ x−1

(x²+ 2).





 lim

x→+∞

1

x−1 =−1 lim

x→+∞

x²+ 2 = +∞ donc lim

x→+∞

₁ x−1

(x²+ 2) =−∞

d) Quotient de fonctions

Si lim

x→xaf(x) = ℓ ℓ ℓ6= 0 0 ±∞ ±∞

et _x→xlimag(x) = ℓ^′ 6= 0 ±∞ 0 0 ℓ^′ ±∞

alors lim

x→xaf(x)

g(x) = ℓ

ℓ^′ 0 ±∞ ? ? ? ±∞ ? ? ?

Exemple : Déterminer lim

x→x

1−3x+ 2 (x−1)². ( _lim

x→x

1−3x+ 2 =−1 lim

x→x

1(x−1)²= 0⁺ donc lim

x→x

1−3x+ 2 (x−1)² =−∞

e) Exemple d’étude d’une forme indéterminée Soitf la fonction définie sur Rparf(x) =x²−3x+ 5.

Étudier les limites def en +∞ et−∞. ( _lim

x→−∞

x²= +∞ lim

x→−∞−3x+ 5 = +∞ donc lim

x→−∞

f(x) = +∞ Pour toutx6= 0,f(x) =x²

1−3 x+ 5

x²





 lim

x→+∞

3 x = 0 lim

x→+∞

5 x² = 0

donc lim

x→+∞1−3 x+ 5

x² = 1 De plus, lim

x→+∞

x²= +∞ Ainsi lim

x→+∞f(x) = +∞.