1) GENERALITES LIMITES

LIMITES

1) GENERALITES

A) Introduction.

Le cadre d’étude de ce chapitre est celui des fonctions à valeurs réelles, définies sur une partie quelconque de R. En ne se bornant pas aux seules fonctions définies sur un intervalle ou une réunion finie d’intervalles on englobe donc les suites numériques réelles , fonctions

particulières définies sur un ensemble discret, le plus souvent N ou une section de N.

Plus tard nous étendrons la théorie aux suites et fonctions à valeurs complexes.

En langage approximatif , un problème dit de limite apparaît pour une fonction f lorsque le comportement des images f(x) nous interpelle pour des valeurs de la variable x de plus en plus proche d’un réel donné a (étude au voisinage d’un point ), ou lorsqu’on s’intéresse à des valeurs extrêmes de la variable (étude au voisinage de l’infini).

Par exemple : comment évolue le quotient x

x)

sin( pour x voisin de 0, ou la puissance (1+

n 1)ⁿ lorsque l’entier n devient de plus en plus grand ?

Parmi tous les comportements possibles il en est d’assez réguliers, obéissant au schéma suivant :

Les images étudiées f(x) pourront toujours être rendues aussi proches que l’on veut d’un nombre l en prenant x suffisamment voisin du point d’étude a.

On dira alors que f admet pour limite l en a, ou que f(x) tend vers l lorsque x tend vers a.

On voit bien que cette définition est encore floue et qu’une des conditions pour en faire une base de la théorie est de préciser les notions de proximité dont il est fait mention.

Parmi les nombreuses procédures possibles nous choisirons celle reposant sur la notion ensembliste de voisinage, permettant de traduire de façon concise et rigoureuse les idées intuitives développées ci dessus.

B) Notions de base et définitions élémentaires.

1) Compactifié de . R

Pour unifier dans un seul énoncé les concepts de limites sans distinguer les cas purement réels des comportements extrêmes, il est commode d’adjoindre à R deux symboles appelés points à l’infini, notés + et -.

La réunion R =R{-,+} est appelée compactifié de R.

_ Si on perçoit R comme une droite géométrique graduée, ces nombres correspondent à des points fictifs aux deux horizons opposées de cette droite.

_ On peut aussi s’aider de la bijection naturelle f entre ]- 2

, 2

[ et R définie par la tangente :

x f(x)=tan(x). Compactifier R revient à prolonger f aux bornes de son intervalle de définition. (+ correspond alors à l’image de

2

 et - à celle de - 2

.) Le prolongement f ainsi bâti relie bijectivement l’intervalle fermé borné [-

2

, 2

] au compactifié R .

On peut également prolonger la relation d’ordre usuelle sur R en posant :

 x R -  x  +

Ceci permet entre autre d’accepter - et + comme bornes d’intervalles fermés.

Ainsi R =[-,+].

2) Voisinages fondamentaux.

Définitions. On appelle voisinage fondamental :

_ D’un réel a, tout intervalle du type ]a-, a+[ avec  réel strictement positif.

_ De +, tout intervalle du type ]M,+]=]M,+[{+} avec M réel.

_ De -, tout intervalle du type [-,M[={-}]-,M[ avec M réel.

Ceci permet déjà de préciser la notion dite de localité :

Effectuer une étude locale en un point a de R signifie se placer sur un voisinage de a. On parle aussi étude au voisinage du point a.

On dira par exemple que la fonction f vérifie localement une propriété P au voisinage de a si et seulement si il existe un voisinage V de a tel que la restriction de f à V vérifie P.

Ainsi la fonction partie entière est localement constante au voisinage de chaque élément de R-Z , mais pas au voisinage d’un relatif , ni au voisinage de + et -.

La fonction cosinus est strictement positive au voisinage de 0, mais pas au voisinage de 2

, ni au voisinage de +  ou - .

La fonction ln est localement bornée au voisinage de tout réel strictement positif, mais pas au voisinage de 0 ni au voisinage de +.

Remarquons enfin, et cela sera particulièrement utilisé dans les démonstrations à venir, que l’intersection de deux voisinages fondamentaux de a (plus généralement d’un nombre fini de ces voisinages) est encore un voisinage fondamental de a.

On notera V (a) l’ensemble de tous les voisinages fondamentaux de a.

On dira souvent voisinage en abréviation de voisinage fondamental.

3) Point adhérent.

On dit que le point a de R est adhérent au sous ensemble I de R si et seulement si tout voisinage fondamental de a rencontre I, c’est à dire a une intersection non vide avec I.

Il s’agît donc d’une notion un peu plus tiède que la relation d’appartenance au sens strict.

En langage simplifié un point adhérent à un ensemble est un point que l’on ne peut ‘détacher’

de l’ensemble en question, qui est collé à l’ensemble sans nécessairement y appartenir, de même qu’un individu peut adhérer pleinement aux idées d’un parti politique sans aller jusqu’à en prendre la carte. On note I l’ensemble des points adhérents à I. La définition s’écrit alors : aI   V V (a) VI  

_ Remarquons que le compactifié R n’est autre que l’adhérence de R au sens de la définition précédente, ce qui assure la cohérence des notations posées.

_ L’adhérence de ]1,3] est [1,3], l’adhérence de R-{0} est R , l’adhérence de [2,4] est [2,4]

La notion d’adhérence permet de préciser les points où un problème d’étude de limite est envisageable. En effet, selon la définition, si un élément a n’adhère pas à l’ensemble de définition I d’une fonction f, on pourra l’isoler de cet ensemble, c’est à dire trouver un

voisinage V de a ayant une intersection vide avec I. Ainsi, localement, f ne sera pas définie au voisinage de ce point a et une étude de f au voisinage de a n’a donc aucune raison d’être.

Tout est maintenant en place pour donner la définition générale de limite.

4) Limite d’une fonction numérique en un point

. a

Soit f une fonction définie sur le sous-ensemble I de R, à valeurs réelles.

Considérons un élément a de R adhérent à l’ensemble de définition I de f et un nombre l du compactifié R .

On dit que f admet pour limite l au point a si et seulement si pour tout voisinage V de l il est toujours possible de trouver un voisinage W de a pour lequel f(IW)V Notations. On écrit alors pour résumer : lim_a f l ou bien lim_xa f(x)l et on dit également que f(x) tend vers l lorsque x tend vers a.

Analysons le schéma de la définition. Il exprime bien de façon claire cette fois l’idée initiale : Les images f(x) pourront toujours être rendues suffisamment proche de l , c’est à dire entrer dans un voisinage V donné de l à condition d’agir en finesse sur x , c’est à dire de placer cette variable dans un voisinage convenable W du point d’étude.

_ Dans ce canevas, V est la contrainte de proximité imposée. Le but est d’obtenir f(x)V.

_ Pour le réaliser, on cherche une zone suffisante autour de a, c’est à dire un voisinage W de ce point de façon que l’on ait bien : xIW  f(x)V .

Il va de soit que W n’est pas universel, mais dépend au contraire du voisinage V imposé.

Il s’agît d’une course à la précision, à chaque contrainte de proximité sur les images on essaie

de répondre de façon positive en s’approchant suffisamment près de a, on cherche une zone de sécurité W réalisant la condition imposée.

Pour assimiler la définition, le lecteur pourra s’entraîner à transcrire celle ci dans des cas particuliers.

_ Ainsi pour établir que lim1 f(x)=3, il faut montrer que quel que soit le réel  strictement positif donné, on peut toujours trouver un réel 0 tel que (xI et x1 ) f(x)3  _ Pour montrer que lim2 f(x)=-, il faudra prouver que pour tout réel M donné, on peut toujours trouver un réel 0 tel que :





_ Pour prouver que la suite n f(n) tend vers 5 lorsque n tend vers + , il faudra montrer que pour tout réel  0 donné, on peut toujours trouver un rang n0 tel que :

nN n n0  f(n)5  5) Unicité de la limite.

On verra plus loin qu’une fonction n’admet pas toujours une limite en un point a adhérent à son ensemble de définition I. Par contre on va montrer immédiatement que f ne peut admettre deux limites distinctes en un même point.

La preuve est simple et repose sur la remarque suivante : si l1 et l2 désignent deux éléments distincts de R , il est très facile de les ‘séparer ’, c’est à dire de trouver deux voisinages respectifs V1 et V2 de chacun de ces points dont l’intersection est vide.

Si f admettait à la fois pour limite l1 et l2 au point a on pourrait donc, conformément à la définition, trouver un voisinage W1 de a tel que f(IW1)V1 et un voisinage W2 de ce même point a pour lequel f(IW2 )V2. Considérons alors l’intersection W=W1W2.

C’est encore un voisinage fondamental de a et par suite a une intersection non vide avec I puisque a adhère à cet ensemble de définition I. Par suite l’image par f de WI est non vide, ce qui est contradictoire avec le choix de V1 et V2 à cause de f(IW)V1 V2=.

6) Variantes de la définition générale.

Limite à droite d’un réel a :

S’obtient en restreignant l’ensemble d’étude de la fonction aux valeurs strictement supérieures à a. Notations : lim f lim f(x) lim f(x)

a x a a x

x

a     

Limite à gauche d’un réel a : Même principe, mais en restreignant l’étude aux nombres strictement inférieures à a. Notations similaire : lim f lim f(x) lim f(x)

a x a a x

x

a     

Limite réelle par valeurs supérieures.

Si lima f(x)=l avec l réel et si il existe un voisinage W de a tel que : xIW  f(x) l , on dira que f tend vers l par valeurs supérieures et on écrira pour résumer ceci : lima f =l⁺

Limite réelle par valeurs inférieures.

Schéma analogue avec cette fois f de valeurs strictement inférieures à l au voisinage de l.

notation résumé : lima f =l^-

C) Transformations pratiques fondamentales.

Remarquons pour commencer qu’un voisinage fondamental quelconque ]a-,a+[ d’un réel donné a n’est autre que l’image du voisinage ]-,[ de 0 par la translation h t(h)=h+a.

Selon le schéma de définition même, dire que f admet pour limite l en a revient alors à dire que la composée g=f t admet pour limite l en 0, la fonction g étant définie sur l’image réciproque J=t^-1(I) de l’ensemble de définition I de f.

En effet on vérifie immédiatement que 0 adhère bien à J puisque I]a-,a+[=t(J]-,[) Tout voisinage de 0 rencontre donc J si et seulement si tout voisinage de a rencontre I.

Ainsi toute étude de limite en un réel a pourra se ramener à une étude de limite en 0 grâce au changement de variable x=a+h

l h a f l

x

f _h

a

x_ ( )  lim _ (  )

lim ₀

Dans le même esprit, notons que pour tout réel M0 l’inégalité x M équivaut à 0

M 1 1 L’étude d’une limite éventuelle au voisinage de + peut donc se ramener à l’étude d’unex limite à droite en 0 grâce au changement de variable

x  h1. Plus précisément on montre facilement l’équivalence suivante, en revenant aux schémas de définition :

h l f l

x

f _h

x     1)

( lim

) (

lim ₀

L’ensemble de définition J de la nouvelle fonction h g(h)= 1) (h

f est bien sûr défini ici par J={h=1; xI x 0

x }.

Enfin, pour renvoyer une étude au voisinage de - à une étude au voisinage de 0, il suffira de poser

x h1 avec la contrainte h 0. On montre aussi sans problèmes l’équivalence suivante h l

f l

x

f _h

x     1)

( lim

) (

lim ₀

Les changements de variable précédents peuvent être utilisés aussi au niveau des images.

Par exemple, obtenir une image f(x) appartenant au voisinage ]l-, l+[ du réel l revient à faire entrer la différence f(x)-l dans le voisinage ]-, [ de 0.

D’où l’équivalence immédiate, toujours par examen des schémas de définition : limx a f(x)=l  limx a f(x)-l=0 .

On vérifie tout aussi facilement :





  0

) ( lim 1 )

(

lim_{x a} f x _{x a} f x et    0^

) ( lim 1 )

(

lim_{x a} f x _{x a} f x

Tout problème d’étude de limite pourra donc toujours se ramener, par un emploi convenable des changements de variable décrits ci dessus, à une schéma standard de fonction de limite nulle en 0.

_ Ainsi :    ^

 



 0

) 3 ( lim 1 )

(

lim _{3 0}

h x f

f _h

x

_ 1) 2 0

( lim

2 ) (

lim    ₀   

f h x

f _h

x

Schéma classique de majoration pour les fonctions de limite nulle en 0.

Nous verrons par la suite que pour la plupart des fonctions usuelles, on peut établir que lim0 g(h)=0 en mettant en évidence au voisinage du point d’étude 0 une majoration du type

hm

K h

g( )  avec K et m réels strictement positifs. Pour un réel  strictement positif donné, il suffit en effet de prendre ^m

h K

1



 



  pour réaliser la contrainte imposée : g(h) . Plus généralement, si on dispose au voisinage de 0 d’une majoration du type g(h) u(h) avec u de limite nulle en 0, la fonction g aura aussi pour limite 0 à l’origine.

En effet, pour réaliser g(h)  pour un  donné, il suffira de rendre u(h) strictement inférieur à , ce qui sera toujours possible vu l’hypothèse sur u.

D) Limite d’une restriction.

Théorème

: Si la fonction f définie sur l’ensemble I admet une limite l au point a, toute restriction g de f à un sous-ensemble J de I tel que a adhère encore à J admet aussi pour limite l en ce même point a.

Preuve. Soit V un voisinage donné de l. Par hypothèse sur f on peut trouver un voisinage W de a tel que f(IW)V.

J étant inclus dans I on en déduit immédiatement f(JW)V, c’est à dire g(JW)V.

g a donc bien aussi pour limite l au point a.

Ce résultat de démonstration particulièrement simple peut servir de base pour établir par l’absurde une preuve de non existence de limite en un point.

Supposons en effet que l’on puisse trouver pour une même fonction f deux restrictions g1 et g2

à des sous ensembles respectifs J1 et J2 de I telles que lima g1 lima g2.

Une telle fonction ne peut donc avoir de limite l au point a, car d’après le théorème ci-dessus et le principe d’unicité de la limite on aurait dans ce cas : lima g1 =l=lima g2.

Par exemple, pour établir que la fonction sinus n’admet pas de limite au voisinage de +, il suffit de considérer d’une part sa restriction g1 à l’ensemble J1={n ; nN} auquel + adhère et pour laquelle de manière évidente lim_g₁ 0, et d’autre part la restriction g2 à la partie J2={

2

+2n ; nN} admettant pour limite 1 en +.

La réciproque du théorème précédent est fausse. Il suffit de reconsidérer l’exemple ci dessus pour s’en persuader. La fonction sinus n’admet pas de limite en +, pourtant sa restriction à l’ensemble des multiples de  auquel + adhère est identiquement nulle donc admet pour limite 0 en +.

Par contre, si on parvient à montrer que la restriction g de f à un sous ensemble du type J=IW0 , avec pour W0 un voisinage fondamental de a, admet une limite l au point a, on pourra conclure que f admet également pour limite l en a.

En effet, soit V un voisinage imposé de l. Par hypothèse sur g il existe un voisinage W de a pour lequel g(WJ)V. Or WJ=W IW0 .

Il suffit alors de remarquer queW1=WW0 est encore un voisinage fondamental de a, en tant qu’intersection de deux voisinages de a, et que g(WJ)= f(W1I)

On a donc bien réalisé la contrainte f(x)V en plaçant x dans un bon voisinage de a. Ceci étant réalisable pour tout V on a bien prouvé lima f=l.

Ce résultat est appelé le principe de localité de l’étude d’une limite. On peut l’énoncer ainsi : Dans toute étude de limite d’une fonction f en un point a, il est toujours permis de

restreindre l’ensemble de définition I de f à sa trace IU sur un voisinage fondamental U de a.

Nous noterons également le résultat suivant d’emploi fréquent, surtout pour l’étude des suites numériques et que nous appellerons principe de recouvrement :

Si L’ensemble de définition I de f est égal à la réunion J1J2 et que chacune des restrictions g1 et g2 de f aux sous ensembles respectifs J1 et J2 admet pour limite l au point a, alors f admet également pour limite l au point a.

Preuve. Soit V un voisinage donné de l. Par hypothèse sur g1 et g2 il existe deux voisinages respectifs de a soient W1 et W2 , tels que g1(J1W1)V et g2(J2W2)V.

Considérons alors le voisinage fondamental W=W1W2.

I étant réunion de J1 avec J2 (recouvrement), on a donc de manière évidente : f(WI) g1(J1W1)g2(J2W2)V, ce qui achève la démonstration.

2) TECHNIQUES USUELLES DE CALCUL DES LIMITES.

A) Règles opératoires

Soient deux fonctions numériques f et g que l’on a étudié au voisinage d’un élément a et pour lesquelles on a mis en évidence de limites respectives l et m en ce point. En règle générale, la seule connaissance des valeurs l et m suffit pour en déduire le comportement limite de la somme, de la différence, du produit, du quotient de ces deux fonctions au voisinage de ce même point a.

Les résultats essentiels sont consignés de manière abrégée dans les tableaux suivants où par convention les lettres l et m désignerons uniquement des valeurs réelles de limites. Les limites infinies seront notées en clair par les symboles + ou -.

On notera des zones d’ombre correspondant aux cas d’exception dits d’indétermination et pour lesquels une étude plus fine du rapport de force entre f et g est nécessaire au voisinage du point d’étude. Cette impossibilité de conclure à l’aide d’une règle générale sera représentée par un point d’interrogation ?.

Sommes.

lima f l l l + - +

lima g m + - + - -

lima (f+g) l+m + - + - ?

Opposé.

lima f l + - 0⁺ 0^-

lima -f -l - + 0^- 0⁺

Produits.

lima f l l0 l 0 + + - 0

lima g m + - + - - 

lima (f.g) l.m + si l0

- si l0 - si l0

+ si l0 + - + ?

Inverse.

lima f l0 0⁺ 0^- + -

lima ( f 1 )

l

1 + - 0⁺ 0^-

Différences, quotients.

On utilisera les tableaux ci-dessus et les décompositions suivantes : f -g=(f)+(-g) ; 1)

).(

(f g g

f 

On aura donc une indétermination pour la différence lorsque les deux fonctions ont des limites infinies de même signe et pour le quotient lorsque numérateur et dénominateur tendent

simultanément vers 0 ou ont chacun une limite infinie.

Preuves.

La grande majorité des résultats précédents s’obtiennent de manière pratiquement évidente en

examinant le schéma de la définition générale de limite. C’est par exemple le cas pour les règles concernant les opposés et les inverse.

Nous n’aborderons donc que les démonstrations moins évidentes, laissant au lecteur le soin de rédiger les preuves plus élémentaires, excellent exercice pour assimiler la définition de base.

Les fonctions abordées seront supposées définies sur un même ensemble I auquel a adhère.

a) Cas d’une somme de deux fonctions de limite réelle.

On est ici dans une situation du type f(x)=l+u(x) et g(x)=m+v(x) avec lima u=lima v=0 On en déduit (f+g)(x)=l+m+(u+v)(x) .

Vérifier que f+g tend vers l+m au point a revient donc à prouver que la somme de deux fonctions de limite nulle en a, soient u et v, est encore de limite nulle en ce point.

Pour ceci considérons l’inégalité triangulaire u(x)v(x)  u(x)  v(x)

Elle montre que pour réaliser une contrainte du type u(x)v(x)  avec  réel strictement positif imposé, il suffit d’assurer simultanément

) 2 ( et 2 )

(x   v x  

u .

Or la première inégalité peut s’obtenir en plaçant x dans un certain voisinage W1 de a, ceci puisque u tend vers 0 au point a. De même puisque v a pour limite 0 en ce point, on pourra trouver un voisinage W2 de a tel que sur IW2 on ait

) 2

( 

x v

Il est maintenant clair que sur IW avec W=W1 W2 on a bien les deux majorations espérées.

On a bien trouvé un voisinage W de a tel que xIW  u(x)v(x) . b) Somme d’une fonction

f de limite réelle l avec une fonction g tendant vers +  .

Pour vérifier que (f+g) tend vers + au point a nous faut montrer que l’on pourra réaliser une contrainte quelconque du type f(x)+g(x) M en plaçant x dans un voisinage convenable de a.

Utilisons d’abord le fait que f admette pour limite l en a.

]l-1, l+1[ étant un voisinage particulier de la limite, on peut déjà trouver un voisinage W1 de a tel que : xIW1  f(x) ]l-1, l+1[

Sur IW1 on a donc la minoration : (f+g)(x)g(x)+l-1.

Pour réaliser la minoration f(x)+g(x) M, il suffit donc d’arriver à g(x)M-l+1.

Or une telle minoration est toujours possible en restreignant x à un voisinage adéquat W2 de a, ceci vu l’hypothèse : g tend vers + en a.

Si on considère le voisinage W=W1W2, on a bien l’implication : xWI  f(x)+g(x) M

c) Produit de deux fonctions de limites réelles.

Utilisons les notations de la situation précédente a). On en déduit pour le produit : (f.g)(x)=l.m+l.v(x)+m.u(x)+u(x)v(x).

Pour montrer que ce produit tend vers l.m en a, il nous faut donc montrer que la somme

l.v+m.u+u.v a pour limite 0 en a.

Pour cela remarquons d’abord que d’après l’inégalité triangulaire, on a la majoration évidente : lv(x)mu(x)u(x)v(x) K(u(x)  v(x)  u(x) v(x)) avec pour K un réel choisi strictement supérieur à 1 et aux valeurs absolues de l et m.

Soit alors  un réel strictement positif donné.

_ Puisque u a pour limite 0 en a, il est possible de réaliser x K

u( )  3 en plaçant x sur un voisinage convenable W1 de a.

_ De même, puisque v tend vers 0 en a il est possible de rendre la valeur absolue de v(x) strictement inférieure à 1 et à

K 3

 en restreignant x à un voisinage W2 de a.

Pour xW1W2I on obtient donc bien :



 

 

 











 )

3 3 (3

) ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )

(x mu x u x v x K u x v x u x K K K K

lv

d) Inverse d’une fonction

f de limite réelle l non nulle.

Toujours suivant les notations de a) nous pouvons écrire : ))

( (

) ( 1

) ( 1 1

) ( 1

x u l l

x u l

x u l l x

f   

 



Puisque u tend vers 0 au point a et que l est non nul, il est toujours possible de trouver un voisinage W1 de a pour lequel

) 2 ( W

I ₁ l

x u

x    .

On en déduit alors

2 ) 2

( )

( l l

l x u l x u

l     

Sur un tel voisinage W1 on a donc la majoration :

² ) 2 ( 1 ) ( 1

l x u l x

f  

Si on nous impose une contrainte du type   l x f

1 ) (

1 , il suffira donc de se placer d’abord

sur W1 , puis de réaliser

2

² ) .

( l

x

u  .

Or cette dernière majoration peut devenir effective en restreignant x à un voisinage W2 de a, ceci puisque u admet 0 pour limite en a.

En conclusion, xW1W2I  ^{  }

² ) 2 ( 1 ) ( 1

l x u l x f

L’inverse de f tend bien vers l’inverse du nombre l au point d’étude a.

B) Théorème de composition.

Considérons un schéma de composition classique mettant en jeu deux fonctions numériques : ))

( ( ) ( ) ( J I

t f x f t x t

f















^ R

Soit t0 un point adhérent à I et x0 adhérent à J.

l t f l

x f x

t _{x x t t}

t

t_ ( ) et lim _ ( ) ) on peut alorsconclure lim_ ( ) (lim

Si 0 0 0 0

La preuve s’obtient de manière élémentaire en revenant à la définition initiale.

Soit en effet un voisinage fondamental donné V de l.

_ Puisque f tend vers l en x0, il existe un voisinage U de x0 tel que f(UJ) V

_ Comme  tend vers x0 en t0 , on pourra trouver un voisinage W de t0 tel que (WI)U.

 étant à valeurs dans J, on peut donc écrire (WI)UJ et par suite f((WI))V On a donc bien obtenu un voisinage de t0 , soit W, dont l’image par la composée f  est incluse dans le voisinage imposé V de l. Ceci étant possible quelque soit V, on peut conclure suivant la définition générale que f  tend vers l en t0.

Application à un constat de non existence de limite en un point.

Concernant cette situation on a vu précédemment une technique reposant sur l’étude des restrictions. Le théorème de composition établi ci dessus donne facilement une autre méthode pour établir la non existence d’une limite pour une fonction f en un point x0 adhérent à son ensemble de définition J.

On procède encore par l’absurde. Supposons que f admette pour limite l en x0

Pour toute suite n an à valeurs dans J et telle que limn + an=x0 on aura donc nécessairement, grâce au théorème de composition : lim_n f(a_n)l

Il nous suffit donc, pour apporter une preuve d’une impossibilité de limite en x0 , de trouver deux suites n an et n bn , à valeurs dans J , tendant chacune vers x0 pour n tendant vers + et telles que lim_n f(a_n)lim_n f(b_n)

C) Limites des fonctions usuelles.

1) Polynômes et fractions rationnelles.

Examinons d’abord les cas élémentaires des fonctions constantes et de l’identité.

_ Il est clair qu’une fonction f prenant en tout point de R la même valeur C admet pour limite cette constante C en tout point a de R .En effet si V est un voisinage imposé de C, l’image f (W) d’un voisinage quelconque de a sera bien contenu de manière triviale dans V puisque toute image coïncide exactement avec le point central C de V.

On est dans une situation de stabilité parfaite, les images stagnent sur la limite C.

_ Si f est la fonction identique sur R, on montre tout aussi facilement que f tend vers a en tout point a de R . En effet pour tout voisinage V donné de a, l’image par f de ce même V coïncide parfaitement avec V. L’identité clone chaque point et chaque voisinage d’un point donné. La réponse à une contrainte de proximité donnée est exactement la redite de cette contrainte.

Grâce à ces deux premiers résultats et en utilisant les théorèmes sur les produits et sommes de fonctions ayant des limites, on en déduit alors que pour un polynôme P quelconque, défini par P(X)=a0+a1X+….+anXⁿ, on aura en chaque réel x0 :

) ( P ) ( ...

) ( P

lim _{0 1 0 0 0}

0 x a ax a_n x ⁿ x

x

x_     

On exprime cette régularité en disant que le polynôme P est continu sur R.

Plus généralement, on dira qu’une fonction f est continue en un point x0 de son ensemble de définition si et seulement si lim_xx0 f(x) f(x₀). On dira qu’elle est continue sur

l’ensemble I si et seulement si elle est continue en tout point de I.

En utilisant la règle de limite d’un quotient, on montre ensuite facilement qu’une fonction rationnelle est continue en tout point de son ensemble de définition.

En effet si x0 n’est pas racine du polynôme Q, on aura :

) (

) ( ) (

) lim (

0 0

0 Q x

x P x Q

x P

x

x_  .

Pour le comportement au voisinage de + ou -  il suffit pour P polynôme non constant

d’effectuer la factorisation : _



 



     

 ^{ } _{ n}

n n n n

n n n n

n a x

a x

a a x

a a x a x a a x

P ^{1 2} ... ¹ ₁ ⁰

1 ² )

( pour en

déduire en invoquant à nouveau les théorèmes sur les sommes et produits que : 0

si - et 0 si lim

) (

lim_xP x  _xa_nxⁿ  a_n   a_n  .

On démontre également que la limite d’une fraction rationnelle en une borne infinie est égale à la limite en cette même borne du quotient du terme dominant de son numérateur par le terme dominant du dénominateur.

2) Racines n-ièmes.

_ Pour tout entier n au moins égal à 2, on connaît la formule de factorisation : aⁿ-bⁿ=(a-b)(a^n-1+a^n-2b+…..+ab^n-2+b^n-1)

Si a et b sont des réels positifs, on en déduit en particulier : aⁿ bⁿ  ab.b^n1 Appliqué à aⁿ x et bⁿ x₀ avec x et x0 réels strictement positifs, on en déduit la

majoration : 1

0 0

0 ( ) ^

 

 _n

n n n

x x x x

x

On en conclût que l’écart entre ⁿ x et ⁿ x₀ peut être rendu plus petit que tout  positif donné en réalisant xx0 (ⁿ x0)^n1. Ainsi limx_x₀ⁿ x ⁿ x₀ et ceci pour tout x0 0.

_ Pour l’étude en 0 on utilise simplement l’équivalence : x0 ⁿ x  xⁿ

La fonction racine d’ordre n a donc pour limite 0 en 0 ce qui assure avec l’étude précédente la continuité de cette fonction en tout point de [0,+[

_ Enfin, pour l’étude au voisinage de + remarquons que pour tout M réel positif :

n x M  x Mn. On en déduit lim+ n x=+

3) Fonctions trigonométriques.

Nous admettrons comme base de l’étude suivante l’encadrement : sin(h) h tan(h) . supposé valable pour tout h de [0,

2

[.

On peut s’en convaincre de manière géométrique en examinant le cercle trigonométrique unité de centre O et en comparant l’aire d’un secteur élémentaire s=(OAM) mesuré par h en

radians avec les aires des triangles rectangles (OHM) et (OAT) respectivement contenu et contenant ce secteur, avec pour H la projection orthogonale de M sur l’axe (OA) des cosinus et T trace de la droite (OM) sur l’axe des tangentes.

Il apparaît (1)(tan( ))

2 1 ) 2

cos(

) 2sin(

1 h h

h

h 



  dont on déduit facilement l’encadrement en question. Pour une justification rigoureuse il est indispensable de passer par une définition analytique précise des fonctions trigonométriques de base sinus et tangente, mais ceci dépasse le cadre qui nous est accordé.

Ceci posé nous en déduirons d’abord les limites essentielles suivantes : 0

) sin(

lim_h0 h  lim_h0cos(h)1 sin( ) 1

lim _0 

h h

h 2

1

² ) (

lim ₀1 

 h

h cs

h

_ Pour la première, remarquons d’abord que l’encadrement 0sin(h)h valable sur [0, 2



[ entraîne immédiatement : lim_h₀sin(h)0. Pour la limite à gauche, la fonction sinus étant impaire, on pourra écrire grâce au théorème de composition :

0 0 ) sin(

lim ) sin(

lim ) sin(

lim_h₀ h  _h₀ h  _h₀ h  

_ Pour la deuxième, la formule de l’arc double nous donne cos(h)=1-2sin²(

2 h).

Or, toujours grâce au théorème de composition : ) 0 sin(2 lim _0 h 

h .

Enfin, d’après les théorèmes sur les produits et sommes, on conclût que lim0 cos(h)=1.

_ Remarquons que l’encadrement initial peut s’écrire également sous la forme : Sur [0,

2

[ hcos(h) sin(h)  h. On en déduit que sur ]0, 2

[ : sin( ) 1 )

cos(  

h h h

D’après la majoration : sin( ) 1 1 cos( ) h h

h    et vu que lim0 cos(h)=1, on en déduit aussitôt : ) 1

lim ₀ sin(h  h

h

Pour la limite à gauche on utilise à nouveau le caractère impair du sinus :

h h h

h) sin( ) sin( 





_ Enfin si on revient à la formule de l’arc double pour le cosinus,

2

2 2) sin(

2 1

² ) cos(

1





















 

h h h

h

On en conclût d’après l’étude précédente et les théorèmes classiques :

2 1

² ) cos(

lim ₀1 

 h

h

h

_ Ces premiers résultats établis, on déduit facilement des formules d’addition la continuité de sinus et cosinus en tout réel a. Il suffit d’écrire, pour h voisin de 0 :

sin(a+h)=sin(a)cos(h)+sin(h)cos(a) et cos(a+h)=cos(a)cos(h)-sin(a)sin(h) puis d’utiliser les règles opératoires concernant les limites.

4) Fonctions logarithme, exponentielle et puissances généralisées.

Elles sont également continues en tout point de leur ensemble de définition.

Pour ce qui concerne les limites aux bornes et les croissances comparées, les principaux résultats sont résumés dans le tableau suivant dans lequel a désigne un réel quelconque strictement positif.:



 

 ln( )

lim_x x lim_x₀ln(x) 1

1 ) lim ₁ ln( 

  x

x

x



 

 x

x e

lim lim_xe^x 0

1 1

lim ₀  

 x

e^x

x



 

 a

x x

lim lim ₀ 0

a

x x

x a x^a

x 





 1

lim ₁ 1 ) 0

lim_x ln(_a  x

x _{x a}^x 

x

lim e lim_x₀ x^aln(x)0

Preuves.

Nous utiliserons ici aussi un encadrement de base portant sur la fonction logarithme Népérien, que l’on obtient facilement dans les diverses constructions rigoureuses de cette fonction.

(Nous en évoquerons deux dans les chapitres à venir, l’une s’appuyant sur une convergence de suite de fonctions, l’autre sur la notion d’intégrale)

_ Admettons donc provisoirement l’encadrement x x x x ln(1 )

2

² pour tout x de [0,1]

Retenons simplement d’abord : sur [0, 1] : 0  ln(1+x)  x.

On en déduit immédiatement lim_x₀ln(1x)0

Pour l’étude de la limite à gauche utilisons les propriétés algébriques fondamentales des

logarithmes. Pour tout x de [0,1[ : )

1 1 ln(

1 ) ln( 1 )

1

ln( x

x x x

 



 







Ainsi ) 0 1 1

ln(

lim )

1 ln(

lim _{0 0} 

 





 

 

 x

x _x x

x d’après le résultat précédent allié au

théorème de composition.(

x x



1 tend vers 0 par valeurs supérieures à droite de 0) Pour tout x0 0 on a alors : lim ln( ) lim ln( ) ln(1 ) ln( ₀)

0 0

0 0

0 x

x x h

h

x _h

h_   _    .

La fonction logarithme Népérien est donc continue sur tout ]0,+[.

_ En considérant les quotients par x0, l’encadrement initial se traduit ln(1 ) 1

12   

x x

x ,

puis

1 2 ) 1

ln( x

x

x  

 , dont on déduit : ln(1 ) 1

lim ₀  

  x

x

x .

Pour l’étude à gauche de 0 on écrira comme précédemment :

1 1

1 ) 1 ln(

1 lim 1 1 )

1 ln(

) lim 1

lim ₀ ln( _{0 0} 



















 



 





 

 

 







  



x

x x

x x

x x x x

x

x x

x

Ceci d’après la règle du quotient, le théorème de composition et la règle du produit.

_ Pour vérifier que ln tend vers + en +, remarquons que pour assurer une contrainte du type ln(x)M il suffit de prendre x strictement supérieur à 2ⁿ, l’entier n étant choisi de façon que n 

) 2 ln(

M .

En effet, par croissance stricte de la fonction logarithme népérien et propriétés algébriques, il vient : x2ⁿ  ln(x)ln(2ⁿ)=nln(2). Donc x >2ⁿ  ln(x) M

_ Grâce au changement de variable x=

h

1 , on en déduit le comportement de ln au voisinage de 0 : _   _ 1)lim _ln( ) 

ln(

lim ) ln(

lim ₀ x

h _x x _x

h

_ Pour la continuité de l’exponentielle à l’origine, remarquons que pour  réel de ]0, 1[ donné, la contrainte e^x]1-, 1+[ sera réalisée si on prend x dans un voisinage de 0 inclus dans l’intervalle ]ln(1-), ln(1+)[. (Ceci par croissance stricte de l’exponentielle, réciproque de ln) _ Pour x0 réel quelconque on a alors : lim_h0e^x0h lim_h0e^x0.e^h e^x0

L’exponentielle est bien continue en tout point.

_ Pour M0 donné, e^xM  xln(M), ce qui assure lim_xe^x 

_    1_ 0^ lim

lim_x ^x _{x x}

e e

_ A partir de 1 1

) lim ₁ln( 

  x

x

x , grâce au changement de variable x=e^t et la continuité de l’exponentielle à l’origine on en déduit : 1

lim ₀ 1

 t 

t e

t et par suite : 1 1

lim ₀  

 x

e^x

x

_ Pour l’étude des fonctions puissances d’exposant réel a quelconque, rappelons qu’elles sont définies sur ]0,+[ à partir du couple (ln, exp) par la formule x^a e^aln(x)

Ainsi pour a0 ,lim_xx^a lim_Xe^X  et lim _0 lim _ X 0

X a

x x e

x a a x h

e x

x a x a e x

x

x h

h x

a x a

x 



 



 











 )

1 ) )(lim ln(

(lim 1 1 )

) ).( ln(

) ln(

( 1 1 lim

lim 1 _{0 1}

) ln(

1 1

_ Pour les comparaisons avec les fonctions suivantes nous admettrons que l’inégalité de base : ln(1+x) x est valable sur ]0,+[.

On en déduit en particulier que pour tout x1 et tout réel b : 0 ln(x^b) x^b et que, par conséquence : 0 bln(x) x^b.

Pour tout réel x1 et tout couple de réels strictement positifs (a, b) on peut donc écrire l’encadrement : _a x^{b a}

b x

x _



 ln( ) 1

0 dont on déduit : ln( ) 0

lim_{x a}  x

x .

Il suffit pour cela de choisir pour a0 donné un réel b tel que 0ba.

_ Grâce au changement de variable h=

x

1 on déduit alors immédiatement :

) 0 lim ln(

1) ln(

lim ) ln(

lim _0  x_ a  x_ a 

a

h x

x x

h x h

_ De même en posant x=e^t, ln( ) 0 lim_{x a} 

x

x conduit grâce au théorème de composition, à : ) 0

lim_tln(_at^t  e

e , ou encore à : lim_tte^at 0^.

En passant à l’inverse puis en composant avec la fonction x xa

1, on obtient la formule :



 

 a

t t

t e

lim 1 . Comme la fonction a a

1 relie bijectivement ]0, +[ à lui même, on peut

conclure que pour tout a strictement positif : _{x a}^x 

x

lim e .

D) Résultats liés à la relation d’ordre sur

R .

Théorème d’encadrement.

Soient f, g, h, trois fonctions à valeurs réelles définies sur le sous ensemble I de R auquel adhère x 0. Si au voisinage de x0 on a g(x) f(x) h(x) et si lim_xx g(x) lim_xx h(x)l

0 0

on peut alors en déduire lim_xx0 f(x)l

La preuve est simple. Soit V un voisinage fondamental de x0. Les fonctions g et h ayant pour limite l en x0, on pourra trouver des voisinages respectifs W1 et W2 de ce point tels que : g(W1 I )V et h(W2 I)V.

L’hypothèse nous dit aussi qu’il existe un voisinage U de x0 tel que sur UI, g(x) f(x) h(x).

Remarquons que tout voisinage fondamental V, que ce soit d’un réel ou de , possède la propriété de convexité, c’est à dire que si deux réels a et b appartiennent à V, le segment d’extrémités a et b est contenu intégralement dans V.

Si on considère le voisinage W=W1 W2 U de x0, il est maintenant clair d’après ce qui précède, que : f(WI) V.

Remarques. Si l est une limite infinie, il n’est pas nécessaire de disposer d’un encadrement complet de f mais seulement de la minoration f(x) g(x) dans le cas où lim _ ( )

0 g x

x x

et de la majoration seule f(x) h(x) si on sait que lim_xx0h(x)

Les preuves de ces variantes sont évidentes, il suffit d’adapter la démonstration ci-dessus.

Théorèmes de limite monotone.

Avant d’énoncer ces résultats fondamentaux, rappelons et précisons certaines notions fondamentales concernant la comparaison des réels.

Majorant d’une partie J de

R :

On appelle ainsi tout réel M supérieur ou égal à chacun des éléments de J.

On dit alors que J est majorée par M.

Borne supérieure d’une partie majorée non vide J de

R .

Dans toute construction rigoureuse du corps ordonné des nombres réels on établit que pour chaque partie non vide majoré J de R il existe un plus petit majorant de J appelé borne supérieure de l’ensemble J et que nous noterons dans tout ce qui suit : sup(J).

Nous considérerons ici cette propriété dite de la borne supérieure comme un axiome de base de l’Analyse sur R. Attention, il s’agît d’une affirmation d’existence d’un ‘meilleur’ majorant de J, au sens d’être le plus petit possible, mais nous ne disposons ici d’aucune technique pratique pour le mettre en évidence.

Ainsi si on considère J={ e ⁿ

n n

n  ^

 

 cos²( ) 1 ) 2

²

²(

sin

3 ; n décrivant N}, il est clair que J

est majorée par 6, mais la valeur exacte de sup(J) nous échappe.

Minorant d’une partie J de

R :

On appelle ainsi tout réel m inférieur ou égal à chacun des éléments de J.

On dira aussi que J est minorée par m.

Borne inférieure d’une partie minorée non vide J de

R .

C’est le plus grand des minorants de l’ensemble J. On peut déduire facilement son existence de l’axiome de la borne supérieure, en appliquant celui ci à l’ensemble majoré –J formé par tous les opposés des éléments de J.

On vérifie en effet sans peine que inf(J)=-sup(-J)

On peut maintenant énoncer et établir le théorème dit de limite croissante :

Soit f une fonction à valeurs réelles, croissante sur l’intervalle I=]a,b[. ( avec a et b éléments de R ). Une telle fonction admet toujours une limite en chacune des bornes de cet intervalle I déterminée par :



 ( )

lim_{x b} f x si f(I) est non majoré et lim_xb f(x)sup(f(I)) si f(I) est majoré.



 ( )

lim_{x a} f x si f(I) est non minoré et lim_xa f(x)inf(f(I)) si f(I) est minoré.

Preuve.

Etudions la fonction f au voisinage de la borne supérieure b de I.

_ Supposons f(I) non majoré. Pour tout réel M donné, on pourra donc trouver un élément c de I tel que f(c) M.

La fonction f étant supposée croissante sur I, on en déduit que cx b  f(x)  f(c) M.

On peut donc rendre l’image de x par f plus grande que le réel imposé M en plaçant x suffisamment près de b. Ceci assure lim_xb f(x)

_ Supposons maintenant f(I) majoré et notons l sa borne supérieure.

Pour tout  0 donné, l-  étant strictement inférieur au plus petit des majorants de f(I) ne sera pas un majorant de cet ensemble.

On pourra donc trouver un élément c de I pour lequel f(c) l-.

En jouant comme précédemment sur la croissance de f on établit donc : cxb  l- f(x)l.

On peut donc rendre f(x) proche de l à n’importe quel  près, à condition de placer x dans un voisinage convenable de b. On a donc bien établi que lim_xb f(x) l

On effectue un schéma de démonstration analogue au voisinage de la borne a.

Dans le cas d’une fonction décroissante sur I=]a,b[ on a un énoncé similaire :

Soit f une fonction à valeurs réelles, décroissante sur l’intervalle I=]a,b[. ( avec a et b éléments de R ). Une telle fonction admet toujours une limite en chacune des bornes de cet intervalle I déterminée par :



 ( )

lim_{x b} f x si f(I) est non minoré et lim_xb f(x)inf(f(I)) si f(I) est minoré.



 ( )

lim_{x a} f x si f(I) est non majoré et lim_xa f(x)sup(f(I)) si f(I) est majoré.

La démonstration s’obtient facilement en appliquant le théorème précédent à la fonction g=-f.

La conjonction des deux énoncés est appelé simplement théorème de limite monotone.

3) THEORIE DES EQUIVALENTS.

Rien de nouveau dans ce paragraphe au point de vue résultats fondamentaux.

Nous allons simplement introduire deux notations commodes décrivant des situations classiques intervenant dans les problèmes aux limites ( négligeabilité et équivalence), permettant d’énoncer de façon concise la plupart des résultats de base sur les fonctions usuelles et de les combiner de manière quasi- algébrique, sous réserve de bien dominer les manipulations permises.

Cette démarche que nous développerons surtout dans les exercices accompagnant le chapitre est le premier jalon de la théorie des approximations locales que nous approfondirons après l’étude de la dérivation ( qui constitue aussi une de ses facettes) et dont le point final sera pour nous l’obtention des développements limités, approximations locales à l’aide de polynômes . Dans tout ce qui suit les fonctions seront supposées définies sur le même ensemble I de R et étudiées au voisinage d’un élément x0 de R , adhérent à I.

A) Négligeabilité.

1) Définition et notation

:

Nous dirons que la fonction g est négligeable devant f au voisinage de x0 si et seulement si il existe une fonction  telle qu’au voisinage de ce point : g(x)=f(x).(x) , avec

0 ) ( lim_xx0 x 

On dira pour simplifier que g est un ‘petit o’ de f et on écrira g=o(f) au V(x0) ou ( )

0

f o gx ou encore g est un o(f) au V(x0).

2) Premières remarques.

Dire que ( )

0

f o

gx signifie qu’il existe une fonction  de variable réelle et à valeurs réelles et un voisinage V de x0 tels que : (xIV g(x)= f(x)(x) ) et (lim_xx0(x)0.)

_ Si la fonction f est à valeurs non nulles au voisinage de x0 , c’est à dire s’il existe un voisinage U de ce point tel que sur IU f(x) 0, (x) coïncide alors nécessairement sur IVU avec le quotient

) (

) (

x f

x g .