Chapitre 1 : Limites de suites .
I Approche Globale.
A Un peu d’histoire.
On fait souvent remonter la récurrence à Euclide, l’exemple habituellement donné est la proposition Euclide : 300 av. J.-C.
20 du livre IX des Éléments, où est prouvée l’existence d’une quantité arbitrairement grande de nombres premiers. Il y a l’esquisse d’une récurrence, mais elle n’est pas explicitée ; en outre l’idée d’une infinité de nombres premiers est absente.
Vers l’an 1000, le persan Al-Karaji établit la formule du binôme de Newton Al-Karaji (953-1029) Newton : 1643 -1727
(en fait il n’a pas les notations qui lui permettraient de l’énoncer dans le cas général, mais les méthodes fonctionnent pour un entier arbitraire). Il calcule également la somme des cubes des n premiers entiers naturels, al-Samaw’al poursuit ses travaux.
Nicolas Oresme , mathématicien français du XIV siècle a étudié les suites arithmétiques et Oresme 1320-1382
géométriques ainsi que la somme des termes de certaines d’entre-elles. Oresme est le premier à utiliser le Français dans les textes mathématiques, il est aussi persuadé, bien avant Galilée, de la rotation de la Terre autour du Soleil. Il a inventé, avant Descartes, le premier système de coordonnées.
L’idée de fonction est plus récente, elle date desXV II etXV III siècles.
Les mathématiciens ont alors montré qu’une suite est une fonction particulière.
Les fondements rigoureux de la théorie des suites sont posés au début duXIXsiècle par le français
Augustin Cauchy , l’un des plus grands mathématiciens de tous les temps. Cauchy 1789-1857
B Programme
En classe de première, l’étude des suites est abordée sous un angle essentiellement algébrique. En classe terminale, on commence l’étude de la convergence.
La notion de limite est présentée de manière intuitive, en s’appuyant notamment sur la vision géométrique et sur l’écriture décimale. On explicite ensuite les définitions mais la maîtrise complète du formalisme n’est pas un attendu.
Les objectifs sont plutôt d’installer une pratique solide des aspects opératoires (détermination de limites) et d’introduire la problématique des théorèmes d’existence, notamment la convergence d’une suite croissante majorée.
Lors de l’étude d’une suite, on distingue les aspects globaux des aspects asymptotiques. Les élèves doivent disposer d’un répertoire d’exemples suffisamment riche pour éviter les confusions entre pro- priétés.
Les suites interagissent avec les autres parties du programme. Outre leurs interventions en analyse, de nombreux problèmes de probabilités conduisent naturellement à étudier un modèle probabiliste dépendant d’un entiern.
1 Contenus
• La suite punq tend vers `8 si tout intervalle de la forme rA,`8r contient toutes les valeurs punqà partir d’un certain rang. Cas des suites croissantes non majorées. Suite tendant vers´8.
• La suitepunqconverge vers le nombre réel`si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeursun à partir d’un certain rang.
• Limites et comparaison. Théorèmes des gendarmes.
• Opérations sur les limites.
• Comportement d’une suite géométriqueqn oùqest un nombre réel.
• Théorème de convergence monotone : toute suite croissante majorée (ou décroissante minorée) converge.
2 Capacité attendus.
• Tous les attendus de première.
• Raisonner par récurrence pour établir une propriété d’une suite.
• Étudier des phénomènes d’évolution modélisables par une suite.
• Utiliser un théorème de comparaison (8 page 47)
• Utiliser le théorème des gendarmes. (9 page 47)
• Savoir compléter intuitivement les tableaux sur les opérations et limites. (page 48)
• Savoir appliquer les règles d’opération sur les suites. (19-20 page 49)
• Savoir représenter une suite récurrente et en déduire les variation et limite à partir de cette représentation.
• Savoir
V1. Calculatrice
programmer une suite récurrente sur la calculatrice et sous forme algorithme (avec Python par exemple).
3 Démonstrations à connaître.
• Toute suite croissante non majorée tend vers`8.
• Limite deqn, après démonstration par récurrence de l’inégalité deBernoulli.
• Divergence vers`8d’une suite minorée par une suite divergeant vers`8.
• Limite en`8et en´8de la fonction exponentielle.
4 Exemples d’algorithme
• Recherche de seuils.
• Recherche de valeurs approchées deπ, e,?
2, 1`? 5
2 , lnp2q, ect...
5 Approfondissements
• Propriétés et utilisation des suites adjacentes.
• Exemples de suites vérifiant une relation de récurrence linéaire d’ordre 2 à coefficients constants.
• Exemples d’application de la méthode de Newton.
• Étude de la convergence de la méthode de Héron.
II Comportement d’une suite à l’infini
A Convergence
Remarque1. Il y a deux types de divergence : les suites ayant une limite infinie ou celles qui n’ont pas de limite.
Soitl un réel etpunqune suite.
On dit que la suite punqconverge versl si pour tout intervalleouvert contenantlil existe un rang à partir duquel tout les un sont contenus dans cet intervalle.
On dit alors quel est lalimitede la suite punqet on notel“ lim
nÑ`8un. Si une suite ne converge pas, on dit que la suite estdivergente.
Définition 1
Exemple 1. Les suites de termes générales n1, ?1n, n12 et n1p avecpun réel positif convergent toutes vers 0.
Démonstration pour n1 : Soitpunqla suite de terme général 1n etαun réel non nul.
On note alorsn0le plus petit entier tel quen0ą α1. Ainsi pour toutněn0,unPs0´α; 0`αr.
Lorsqu’une suite admet une limite finie alors cette limite est unique.
Proposition 1
Démonstration 1. Raisonnement par l’absurde.
On suppose l’existence d’une suite punqqui tendrait vers deux limites distinctesl etl1 (aveclăl1).
Alors, on choisit “l1´l
3 etI“ sl´;l`ret I1“ sl1´;l1`r.
Du fait de la définition de limite :
Dn1PN,@nPN, něn1ñun PI et Dn2PN,@nPN, něn2ñunPI1 Si l’on noten0“Maxpn1, n2qalors :
@nPN, něn0ñunPIXI1
Or IXI1“ H, d’où la contradiction.
B Limite infinie.
Remarque2. On peut écrire une définition similaire pour une limite de´8.
Soitpunqune suite.
On dit que punqadmet pour limite `8si pour tout Aréel alors il existe un rang à partir duquel tout les termes de la suite sont contenus dans l’intervallesA;`8r.
On écrit alors que lim
nÑ`8un“ `8.
Définition 2(Limite infinie)
Exemple 2. Les suites de termes généralesn,n2, n2´3n`1 .
Démonstration 2 (Démonstration pourn2 :). Soitpunqla suite de terme général net αun réel non nul.
On note alorsn0 le plus petit entier tel quen0ą
?A. Ainsi pour toutněn0,unąA.
III Opérations sur les limites
Dans cette partie, on considèrepunqetpvnqdeux suites etl et l1 deux réels.
A Limite d’une somme.
V2. Opération sur les limites 1
nÑ`8lim un l l l `8 ´8 `8
nÑ`8lim vn l1 `8 ´8 `8 ´8 `8
nÑ`8lim un`vn
B Limite d’un produit.
nÑ`8lim un l lą0 lă0 lą0 lă0 `8 ´8 `8 0
nÑ`8lim vn l1 `8 `8 ´8 ´8 `8 ´8 ´8 8
nÑ`8lim unˆvn
C Limite d’un quotient.
Dans cette partie, on suppose quevn ne s’annule pas. Par ailleurs on choisie la notionlă0 pour notélă0 et´8.
nÑ`8lim un l l `8 `8 ´8 ´8 lą0 lă0 lą0 lă0 0 8
D Indéterminations.
On constate plusieurs cas d’indétermination dans les tableaux précédents.
V3. exemple 1
V4. exemple 2
V5. exemple3
V6. exmple 4
Exemple 3. Les suites dont les termes généraux sont :
• un “n2´3n • vn“ 5n2`3
2n2´3n`1
• wn“?
n`1´? n´1
• tn“nsin`1
n
˘
IV Cas de convergence
A Comparaison de suites.
Soient trois suites punq,pvnqetpwnq. SoitlPR.
• Si@nPN, unďvn et lim
nÑ`8vn“ ´8, alors : lim
nÑ`8un“ ´8.
• Si@nPN, vnďwn et lim
nÑ`8vn “ `8, alors : lim
nÑ`8wn“ `8.
• Si@nPN, unďvnďwn et lim
nÑ`8un“ lim
nÑ`8wn“l, alors : lim
nÑ`8vn “l.
Proposition 2(Théorème des gendarmes)
Démonstration 3. Si@nPN, unďvn et lim
nÑ`8vn “ ´8. SoitAPR, alors : Dn0PN,@nPN, něn0ñvnďA
Or @nPN, unďvn, donc :
@nPN, něn0ñunďA Donc : lim
nÑ`8un“ ´8.
Démonstration 4. Démonstration similaire.
Démonstration 5. Si@nPN, unďvn ďwn et lim
nÑ`8un “ lim
nÑ`8wn“l, Soitą0,
Du fait de la définition de limite :
Dn1PN,@nPN, něn1ñunPsl´, l`r et Dn2PN,@nPN, něn2ñwnPsl´, l`r Si l’on noten0“Maxpn1, n2qalors :
@nPN, něn0ñl´ďunďvn ďwnďL` Donc : lim
nÑ`8vn “l.
B Théorèmes de convergence.
Remarque3.
Attention ! ! Le majorant M doit être indépendant de n.
Idem pour m.
Soitpunqune suite réelle.
• La suitepunqest dite majorée si :
DM PR,@nPN, unďM
• La suitepunqest dite minorée si :
DmPR,@nPN, uněm
• La suitepunqest dite bornée si :
Dm, M PR,@nPN, mďunďM Définition 3
Remarque4. Si une suite est majorée par M et croissante, alors elle est convergente et sa limite est un majorant et même le plus petit des majorants.
• Toute suite croissante majorée est convergente.
• Toute suite décroissante minorée est convergente.
Proposition 3
C Suites récurrentes.
Soitf une fonction réelle etpunqla suite récurrente définie par :
V7. Méthode"à la main".
V8. Avec la Ti
V9. Avec la Casio
V10. Représentation d’une suite récurrente
"
u0PR un`1“fpunq
Comme vu en première, nous pouvons représenter les premiers termes de la suitepunqen utilisant les représentations de la première bissectrice et de la fonctionf.
Dés lors nous pouvons effectuer un certain nombre de conjectures :
• Sens de variation.
• Limite
• Variation des termes pairs ou impairs.
• ....
V Rappels sur les suites arithmétiques et géo- métriques.
Suite arithmétique Suite géométrique Formule de
récurrence.
‚ un`1 “un`r(oùr est la rai- son)
Si un`1´un “ r alors punq est arithmétiques de raison r.
‚vn`1“qˆvn (oùqest la raison) Si vn`1
vn “q alorspvnqest géométrique de raison q.
Variations. ‚ Si rą0 la suitepunqest crois- sante.
‚ Si r ă 0 la suite punq est dé- croissante.
‚Si 0ăqă1 alors lim
nÑ`8qn“0.
‚Siq“1 alors lim
nÑ`8qn“1.
‚Si 1ăqalors lim
nÑ`8qn“ `8.
Limite. ‚ Sirą0 alors lim
nÑ`8un“ `8.
‚ Siră0 alors lim
nÑ`8un“ ´8. 1ier termeą0 1ier terme ă0 Si 0ăqă1 unŒ0 un Õ0
Siq“1 un constante un constante
Si 1ăq unÕ `8 unŒ ´8
Expression en fonction de n.
‚ un“nR`u0.
‚ un“ pn´kqr`uk.
‚vn “qnv0.
‚vn “qn´kvk.
Somme de termes.
‚
n
ř
k“1
k“ npn`1q
2 ‚
n
ř
k“0
qk“1`q`...`qn“ 1´qn`1
1´q “qn`1´1 q´1
‚ 1ierterme`der terme
2 nb termes ‚1iertermeˆqnb termes´1
q´1 “1ierterˆ1´qnb ter 1´q
