Les Suites
1. Principe de la démonstration par récurrence Soit n0 un entier naturel fixe. Pour démontrer qu’une propriétéPn est vraie pour tout entier naturelnavecn≥n0, on procède en deux étapes :
(a) On vérifiequePn0 est vraie.
(b) On montre que si la propriété est vraie pour un entier naturel k avec k ≥ n0 (c’est l’hypothèse de récurrence)alorselle est vraie pour l’entier suivantk+ 1.
On conclut que la propriétéPn est vraie pour tout entier naturelnavecn≥n0
2. Exemple
La suite(un)est définie par :u0= 0etun+1= 2un+ 1pour toutndeN. Démontrer par récurrence, que, pour toutndeN:un= 2n−1.
Solution
(a) Initialisation
Sin= 0,20−1 = 1−1 = 0 =u0: la propriété est vraie au rang 0.
(b) Hérédité
On suppose que la propriété est vraie au rangkc’est-à-dire que :uk= 2k−1
On a alors :uk+1= 2uk+ 1 = 2(2k−1) + 1 = 2k+1−2 + 1 = 2k+1−1: la propriété est vraie au rang k+ 1.
Conclusion Pour toutndeN:un= 2n−1.
3. Suites à connaître
Suite (un) Suite arithmétique de raisonr Suite géométrique de raison b
Définition
On passe d’un terme quelconque au suivant en ajoutant la même
quantitér, un+1=un+r
On passe d’un terme quelconque au suivant en multipliant par la même
quantitéb, un+1=un×b Expression de un
en fonction de n un =u0+nr=u1+ (n−1)r un=u0×bn=u1×bn−1
Somme S den termes successifs
S= n(P+D) 2
P = premier terme de la somme D= dernier terme de la somme
Sib6= 1,S =P×1−bn 1−b P = premier terme de la somme Cas Particulier S= 1 + 2 + 3 +...+n=n(n+ 1)
2
Si x6= 1,
S = 1 +x+x2+...+xn= 1−xn+1 1−x 4. Sens de variation d’une suite
(a) La suite (un)estcroissantesi, pour toutndeN, un≤un+1
(b) La suite(un)estdécroissantesi, pour toutndeN, un≥un+1
(c) La suite (un)estmonotonesi elle est croissante ou si elle est décroissante.
5. Méthode
Pour étudier le sens de variation d’une suite, on peut étudierle signe deun+1−un suivant les valeurs den.
6. Définition (Suite majorée, minorée, bornée)
(a) La suite (un)estmajorées’il existe un réel M tel que pour toutndeN, un≤M. On dit queM est unmajorant de la suite.
(b) La suite(un)estminorées’il existe un réelm tel que pour toutndeN, un≥m.
On dit queM est unminorantde la suite.
(c) Une suite, à la fois majorée et minorée, est ditebornée
7. Exercice
Soit(un)la suite définie pour tout entier naturelnpar : u0= 2etun+1= 2
3un+ 3
(a) A l’aide de la calculatrice, calculer les 10 premiers termes de la suite.
n un
(b) Que peut-on conjecturer sur le sens de variation de(un)et sur la majoration de(un)?.
(c) Montrer par récurrence que(un)est majorée par 9 i. Initialisation
ii. Hérédité
On suppose que la propriété est vraie au rangkc’est-à-dire que :
(d) Étudier le sens de variation de la suite(un) Pour tout entier natureln:un+1−un=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
8. Définition (Suite convergente)
On dit que la suite(un)admet pour limite le réellsi tout intervalle ouvert de centrelcontient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On dit alors que la suite estconvergenteet converge vers le réell Une suite qui n’est pas convergente est ditedivergente.
9. Exemple
La suite(un)définie par :un= 2 + 3
n2+ 1, n∈Nest convergente et sa limite est 2.
Animation
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
l= 2
un= 2 + n23+1
ε
b
ε= 0.87
bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
10. Théorème (admis)
Si une suite est convergente, sa limite est unique.
11. Définition (Limite infinie)
On dit que la suite (un) admet pour limite +∞ (respectivement −∞) si tout intervalle du type ]A; +∞[
(respectivement]− ∞;A[contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note alors :
n→+∞lim un= +∞(resp. lim
n→+∞un=−∞) 12. Opérations et limites
(a) Limite d’une somme
Si(un)a pour limite l l ou+∞ l ou−∞ +∞
et si(vn)a pour limite l0 +∞ −∞ −∞
alors(un+vn)a pour limite l+l0 +∞ −∞ ?
? : forme indéterminée.
(b) Limite d’un produit
Si(un)a pour limite l l6= 0 ∞ 0
et si(vn)a pour limite l0 ∞ ∞ ∞
alors(un×vn)a pour limite l×l0 ∞* ∞* ?
* : on détermine le signe avec la règle des signes
(c) Limite d’un quotient si la limite du dénominateur n’est pas nulle
Si(un)a pour limite l l ∞ ±∞
et si(vn)a pour limite l06= 0 ∞ l06= 0 ±∞
alors un
vn
a pour limite l
l0 0* ∞* ?
* : on détermine le signe avec la règle des signes
(d) Limite d’un quotient si la limite du dénominateur est nulle
Si(un)a pour limite l6= 0 ou∞ 0
et si(vn)a pour limite 0 en gardant un signe constant 0 alors
un vn
a pour limite ∞ ?
13. Limites et comparaison Hypothèse 1 inégalité à partir d’un certain
rang
Hypothèse 2
comportement à l’infini Conclusion
un≤vn lim
n→+∞un= +∞ lim
n→+∞vn= +∞
un≤vn lim
n→+∞vn=−∞ lim
n→+∞un=−∞
un≤wn≤vn lim
n→+∞un = lim
n→+∞vn =l lréel
n→+∞lim wn=l
(théorème d’encadrement ou des gendarmes)
14. Limite d’une suite géométrique du typeun=bn
1) Sib >1, lim
n→+∞bn= +∞
2) Si −1< b <1, lim
n→+∞bn= 0
3) Sib≤ −1, la suite est divergente et n’a pas de limite 15. Exercice (Démonstration de la première propriété)
(a) Soit xun réel positif. Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln:(1 +x)n≥1 +nx (b) En déduire que sib >1, lim
n→+∞bn= +∞
16. Théorème (Suites monotones non bornées)
(a) Toute suite croissante non majorée diverge vers+∞.
(b) Toute suite décroissante non minorée diverge vers−∞
17. démonstration de (a)
Soit (un)une suite croissante et non majorée. On doit montrer que, pour tout réel A, il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à A.
Pour un réelAquelconque, comme la suite n’est pas majorée, il existe au moins un indicen0tel queun0 > A.
Mais la suite est croissante, d’où, pour toutn≥n0 on aun≥un0. Par transitivité, pour tout entier naturel n≥n0, un> A.
On a bien montré que pour tout réel A, il existe un indice à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs àAet donc lim
n→+∞un= +∞
18. Propriété
Soit(un)une suite croissante telle que lim
n→+∞un=l. Alors la suite(un)est majorée parl.
19. Démonstration (par l’absurde)
Supposons qu’il existe un indicen0 tel queun0 > l. Soitλ=un0 −l. L’intervalle ouvertI =
l−λ 2;l+λ
2
doit contenir tous les termes de la suite à partir d’un certain rang, mais ceci est impossible car,comme la suite est croissante, pourn≥n0, un> l+λ
2 20. Théorème (Suites monotones bornées)(Admis)
(a) Toute suite croissanteet majoréeestconvergente (b) Toute suitedécroissanteetminoréeestconvergente 21. Exemple
On poseu1= 0,1;u2= 0,12;u3= 0,123;....;u10= 0,12345678910, unest le nombre obtenue en juxtaposant tous les entiers1,2,3, ..., naprès la virgule. Cette suite est croissante et majorée. Elle est donc convergente (sa limite est appelée le nombre de Champernowne).
22. Erreur à éviter
Pour une suite(un)définie par récurrence parun+1=f(un), la croissance def n’entraîne pas nécessairement celle de(un).
Par exemple, la suite définie par : u0=−2 etun+1= 2un+ 1, n∈N
