Cours Premi` ere S2
Suites arithm´ etiques et g´ eom´ etriques
L ES SUITES ARITHM ´ ETIQUES
On dit qu’une suite (u
n) est arithm´ etique, s’il existe un r´ eel r tel que pour tout entier naturel, on a u
n+1= u
n+ r.
Le r´ eel r est appel´ e raison de la suite arithm´ etique (u
n).
D´ efinition
Remarque
Une suite arithm´ etique est d´ efinie par une relation de r´ ecurrence ; on ajoute toujours le mˆ eme terme. Pour la d´ efinir, il faut donner son premier terme et sa raison.
Exemple
La suite d´ efinie par
u
0= 4
u
n+1= u
n− 5 pour n ≥ 0 est une suite arithm´ etique de raison −5.
Pour tout entier appartenant ` a N , on calcule la diff´ erence u
n+1− u
n. On montre que cette diff´ erence est constante.
Exemple :
Montrer que la suite (u
n) d´ efinie sur N par u
n= 2 + 3n est arithm´ etique.
Correction Pour tout n dans N :
u
n+1− u
n= 2 + 3 (n + 1) − (2 + 3n)
= 2 + 3n + 3 − 2 − 3n
= 3
Donc (u
n) est une suite arithm´ etique de raison 3.
M´ ethode : D´ emontrer qu’une suite est arithm´ etique
On utilise un contre-exemple pour prouver qu’une suite n’est pas arithm´ etique.
On calcule deux diff´ erences de termes cons´ ecutifs et on montre qu’elles ne sont pas ´ egales.
Exemple : La suite d´ efinie par
u
0= 0
u
n+1= u
n+ 2n (n ≥ 0) est- elle une suite arithm´ etique ?
Correction :
On calcule les trois premiers termes, par exemple : u
0= 0 u
1= u
0+2×0 = 0 u
2= u
1+2 ×1 = 2 Puis on calcule les diff´ erences :
u
1− u
0= 0 et u
2− u
1= 2 donc u
1− u
06= u
2− u
1.
La suite (u
n) n’est pas arithm´ etique.
M´ ethode : D´ emontrer qu’une suite n’est pas arithm´ etique
• Si (u
n) est une suite arithm´ etique de raison r, alors pour tout entier naturel n, on a : u
n= u
0+ nr.
• Si (u
n) est une suite arithm´ etique de raison r, alors pour tous les entiers naturels n et k, on a : u
n= u
k+ (n − k) r
Propri´ et´ e ADMISE : Forme explicite d’une suite arithm´ etique
1
Cours Premi` ere S2
LES SUITE G ´ EOM ´ ETRIQUES
On dit qu’une suite (u
n) est g´ eom´ etrique s’il existe un r´ eel q non nul tel que pour tout entier naturel n, on a u
n+1= u
n× q = qu
n.
Le r´ eel q est appel´ e raison de la suite g´ eom´ etrique (u
n).
D´ efinition
Remarque
Une suite g´ eom´ etrique est d´ efinie par r´ ecurrence ; on multiplie toujours par le mˆ eme terme.
Pour d´ efinir une suite g´ eom´ etrique, il faut donner son premier terme et sa raison.
Exemple
— La suite des puissances de 10 est g´ eom´ etrique de raison 10.
— La suite d´ efinie par u
n= (−1)
npour n ∈ N est g´ eom´ etrique de raison −1. Elle ne prend que les valeurs −1 et 1.
On calcule le quotient u
n+1u
net on montre que, pour tout n ce quotient est ´ egal ` a une constante.
M´ ethode : D´ emontrer qu’une suite est g´ eom´ etrique
On utilise un contre-exemple pour d´ emontrer qu’une suite n’est pas g´ eom´ etrique.
On calcule deux quotients de termes cons´ ecutifs et on montre qu’ils ne sont pas ´ egaux. Exemple : La suite d´ efinie par
u
1= 1
u
n+1= u
n× 2n (n ≥ 1) est- elle g´ eom´ etrique ?
Correction :
On calcule les trois premiers termes.
u
1= 1, u
2= u
1× 2 × 1 = 2, u
3= u
2× 2 × 2 = 8.
Puis on calcule les quotients : u
2u
1= 2 et u
3u
2= 8
2 = 4 donc u
3u
26= u
2u
1.
On en d´ eduit que la suite (u
n) n’est pas g´ eom´ etrique.
M´ ethode : D´ emontrer qu’une suite n’est pas g´ eom´ etrique
— Si (u
n) est une suite g´ eom´ etrique de raison q, alors pour tout entier naturel n on a : u
n= u
0× q
n.
— Si (u
n) est une suite g´ eom´ etrique de raison q, alors pour tous entiers naturels n et k on a : u
n= u
k× q
n−k.
Propri´ et´ e ADMISE : Forme explicite d’une suite g´ eom´ etrique
2
Cours Premi` ere S2
S OMME DES TERMES CONS ´ ECUTIFS Suites arithm´ etiques
La somme des n premiers entiers naturels est donn´ ee par : 1 + 2 + 3 + . . . + 1
n = n(n + 1)
2 .
Propri´ et´ e
Preuve
On peut exprimer la somme des n premiers entiers naturels de deux mani` eres : S = 1 + 2 +... + n
S = n + (n − 1) +... + 1 2S = (n + 1) + (n + 1) +... + (n + 1)
On additionne les deux ´ egalit´ es membre ` a membre . On obtient donc : 2S = n (n + 1)
D’o` u le r´ esultat attendu : S = n (n + 1)
2 .
Notation
La somme de k = 0 ` a n des u
kse note S =
n
X
k=0
u
k= u
0+ u
1+ ... + u
n. Ainsi, la propri´ et´ e pr´ ec´ edente peut s’´ ecrire
n
X
k=0
k = n(n + 1)
2 .
Utilisation pratique
On peut, en utilisant la propri´ et´ e pr´ ec´ edente, calculer la somme de termes cons´ ecutifs d’ une suite arithm´ etique.
Consid´ erons donc une suite arithm´ etique de premier terme u
0= a et de raison R.
Notons S = u
0+ u
1+ u
2+ . . . + u
n(Somme des (n+1) premiers termes de la suite)
On a : S = a + (a + R) + (a + 2 × R) + (a + 3 × R) + . . . + (a + n × R).
On peut alors r´ eorganiser la somme :
S = (a + a + . . . + a) + R(1 + 2 + 3 + . . . + n) = (n + 1) × a + R × n(n + 1) 2 Exemple
On consid` ere la somme : S = 50 + 58 + 66 + . . . + 138 .
il s’agit de la somme des premiers termes d’une suite arithm´ etique (u
n) de premier terme u
0= 50 et de raison R = 8.
Il nous manque l’indice du dernier terme.
On r´ esout donc : 50 + n × 8 = 138 d’o` u n × 8 = 88 donc n = 11 La somme pr´ ec´ edente peut donc s’´ ecrire :
S = 50 + (50 + 8) + (50 + 2 × 8) + (50 + 3 × 8) + . . . + (50 + 11 × 8).
Ou encore : S = 12 × 50 + 8(1 + 2 + 3 + . . . + 11) pour finir : S = 600 + 8 × 11 × 12
2 = 1128
3
Cours Premi` ere S2
Remarque
pour calculer la somme des termes cons´ ecutifs d’une suite arithm´ etique, on peut aussi adapter la m´ ethode mise en œuvre pour calculer la somme 1 + 2 + 3 + . . . + n.
S = u
0+ u
2+... + u
nS = u
n+ u
n−1+... + u
12S = (u
0+ u
n) + (u
1+ u
n−1) +... + (u
n+ u
0) Toutes les termes sont ´ egaux ` a u
0+ u
n.
Il y a compensation entre le nombre de R intervenants
on obtient alors : S = u
0+ u
1+ u
2+ . . . + u
n= (n + 1) u
0+ u
n2
Suites g´ eom´ etriques
on consid` ere un nombre r´ eel Q (diff´ erent de 1
La somme des n + 1 premi` eres puissances de Q est donn´ ee par : 1 + Q + Q
2+ . . . + Q
n= 1 − Q
n+11 − Q ce qui s’´ ecrit aussi :
n
X
i=0
