1 n· (i) Calculer les cinq premiers termes de la suite

Option “Informatique et Math´ematiques”

Deuxi`eme feuille de TD : Suites major´ees, minor´ees, born´ees, crois- santes, d´ecroissantes, monotones

Exercice 1

Pour chacune des suites ci-dessous, dire si elle est major´ee, si elle est minor´ee, si elle est born´ee :

un:=n 1 + (−1)ⁿ

, un:= 2ⁿ−3ⁿ, un:= n−1

2n+ 1, un:= n²−1

2n+ 1, un:= n−1 2n²+ 1·

Exercice 2

Pour chacune des suites ci-dessous, dire si elle est croissante, si elle est d´ecroissante, si elle est monotone :

u_n:=n²−3n+ 2, u_n:= n−2

2n+ 3, u_n:= 2ⁿ

n, u_n:= 2ⁿ

n!, u_n:= (−1)ⁿ n ·

Exercice 3

Mˆemes questions que dans les deux exercices pr´ec´edents pour les suites : un:=an+b, un:=crⁿ.

Exercice 4

On d´efinit la suite (Hn)n≥1 (ou “s´erie harmonique”) par la formule :

∀n≥1, Hn:=

n

X

k=1

1

k = 1 + 1

2+· · ·+ 1 n· (i) Calculer les cinq premiers termes de la suite.

(ii) Cette suite est-elle monotone ? (iii) D´emontrer queH2n−Hn≥ 1

2 pour tout entier n≥1.

(iv) En d´eduire par r´ecurrence que H2^p≥1 +p

2 pour tout entierp≥0.

(v) La suite (Hn) est-elle minor´ee ? major´ee ?

(vi) La suite (Hn) admet-elle une limite lorsque ntend vers +∞? 1

Exercice 5

On d´efinit une suite (u_n)n≥1 par la formule :

∀n≥1, un:=Hn−lnn= 1 +1

2 +· · ·+ 1

n−lnn.

(i) D´emontrer l’´egalit´e :

un+1−un= 1

n+ 1+ ln n n+ 1·

(ii) En ´etudiant le signe de la fonction f(x) := x+ ln(1−x), en d´eduire que la suite (u_n) est d´ecroissante.

(iii) D´emontrer la formule suivante :

∀k≥1, lnk+ 1 k ≤ 1

k ≤ln k k−1· (iv) En d´eduire par r´ecurrence l’encadrement :

ln(n+ 1)≤Hn≤(lnn) + 1.

(v) Encadreru_n et en d´eduire que la suite (u_n) est born´ee.

(vi) La suite (u_n) admet-elle une limite lorsquen tend vers +∞? Exercice 6

On d´efinit une suite (u_n)n≥1 par la formule :

∀n≥1, u_n:=

n+ 1 n

n

.

(i) Encadrer lnu_n et en d´eduire un minorant et un majorant de la suite (u_n).

(ii) D´emontrer la formule :

∀n≥2, lnun−lnun−1 =nln

1− 1 n²

−ln

1− 1 n

.

(ii) En ´etudiant le signe de la fonctionf(x) := ln(1−x²)−xln(1−x), en d´eduire le sens de variation de la suite (un).

(iii) La suite (u_n) admet-elle une limite lorsquentend vers +∞?

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Quelques rappels de cours

Les d´efinitions et ´enonc´es qui suivent sont donn´es pour des suites (un)n∈N d´efinies pour tout indicen≥0. On peut et doit les transposer pour des suites d´efinies `a partir d’un certain rang, comme (u_n)n≥1, etc.

Ces rappels ne sont pas exhaustifs. Le cours de terminale doit ˆetre connu.

Des d´efinitions

D´efinition: Une suite (u_n)n∈N est dite major´ee s’il existe un r´eelM tel que :

∀n≥0, un≤M.

Le r´eelM est alors unmajorant de la suite.

D´efinition: Une suite (u_n)n∈N est dite minor´ee s’il existe un r´eelm tel que :

∀n≥0, u_n≥m.

Le r´eelm est alors un minorant de la suite.

D´efinition: Une suite (un)n∈N est dite born´ee si elle est major´ee et minor´ee.

D´efinition: Une suite (u_n)n∈N est dite croissante si l’on a :

∀n≥0, un≤un+1. Elle est ditestrictement croissante si l’on a :

∀n≥0, u_n< u_n+1.

D´efinition: Une suite (u_n)n∈N est dite d´ecroissante si l’on a :

∀n≥0, un≥un+1. Elle est ditestrictement d´ecroissante si l’on a :

∀n≥0, un> un+1.

D´efinition: Une suite (u_n)n∈N est ditemonotone si elle est croissante ou d´ecroissante.

D´efinition: On dit que la suite (un)n∈N converge vers un r´eel lsi :

∀ >0 ; ∃n₀∈N : ∀n≥n0, |u_n−l|< . 3

On ´ecrit alors :

n→+∞lim u_n=l, et l’on dit quela limite de la suite (u_n) est l.

D´efinition: On dit que la suite (un)n∈N diverge vers +∞ si :

∀M >0 ; ∃n₀ ∈N : ∀n≥n0 , un> M.

On ´ecrit alors :

n→+∞lim u_n= +∞, et l’on dit quela limite de la suite (un) est +∞.

D´efinition: On dit que la suite (un)n∈N diverge vers−∞si :

∀M >0 ; ∃n₀ ∈N : ∀n≥n0 , un<−M.

On ´ecrit alors :

n→+∞lim un=−∞, et l’on dit quela limite de la suite (un) est −∞.

Des ´enonc´es Th´eor`eme.

Toute suite croissante major´ee par un r´eel M converge vers un r´eell≤M. Th´eor`eme.

Toute suite d´ecroissante minor´ee par un r´eel m converge vers un r´eel l≥m.

Th´eor`eme.

Toute suite croissante non major´ee diverge vers +∞.

Th´eor`eme.

Toute suite d´ecroissante non minor´ee diverge vers−∞.

Un r´esultat nouveau

D´efinition: Unesuite extraite, ousous-suite de la suite de r´eels (un)n∈N est une suite (v_k)k∈N telle que, pour des indices qui croissent strictement n₀ < n₁ < n₂ < · · ·, on ait :

∀k≥0, vk=unk. Th´eor`eme.(Bolzano-Weierstraß)

De toute suite born´ee de r´eels, on peut extraire une sous-suite convergente.

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