si, pour tout r´eel A, tous les termes de la suite sont, `a partir d’un certain rang, sup´erieurs `a A

TS 8 DS 1 22 septembre 2015 Dur´ee 2 heures. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.

Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.

Exercice 1 : Restitution organis´ee des connaissances (15 minutes) (3 points) Pr´erequis : d´efinition d’une suite tendant vers plus l’infini :

une suite tend vers +∞ si, pour tout r´eel A, tous les termes de la suite sont, `a partir d’un certain rang, sup´erieurs `a A .

D´emontrer le th´eor`eme suivant :

Soient deux suites uet v et un entierN tels que pour tout entiern>N,un6vn. Si limun= +∞ alors limvn= +∞.

Exercice 2 : Quelques limites pour s’´echauffer (20 minutes) (4 points) Calculer les limites des suites suivantes lorsqu’elles existent.

1. u_n= 2 + 1 n− 1

√n. 2. vn= 3ⁿ−7ⁿ.

3. wn= cosn n²+ 1. 4. x_n= −2n²+n−1

n²+ 2n+ 1 .

Exercice 3 : Une petite r´ecurrence (15 minutes) (4 points) Soit ud´efinie pour tout entier n paru_n= 3n+ 2.

1. Conjecturer puis d´emontrer la nature de cette suite. On pr´ecisera si ¸ca a un sens la raison et le premier terme.

2. D´emontrer par r´ecurrence pour tout entier n:

n

X

k=0

u_k= (n+ 1)(3n+ 4)

2 .

Exercice 4 : Un petit probl`eme (50 minutes) (7 points)

Soit ula suite d´efinie par u0 = 0 et pour tout entiern,un+1= 3un−2n+ 3.

1. Calculeru1 etu2.

2. (a) D´emontrer par r´ecurrence que, pour tout entiern ,un>n.

(b) En d´eduire la limite de la suite u.

3. D´emontrer que la suiteu est croissante.

4. Soitv la suite d´efinie pour tout entiern parv_n=u_n−n+ 1.

(a) D´emontrer que la suite v est g´eom´etrique.

(b) En d´eduire que, pour tout entiern,u_n= 3ⁿ+n−1.

5. Soitp un entier naturel non nul.

(a) Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier n₀ tel que pour tout entier n>n₀, u_n>10^p?

On s’int´eresse maintenant au plus petit entier n0. (b) Justifier quen0 63p.

(c) D´eterminer `a l’aide de la calculatrice, cet entier n0 pour la valeur p= 3.

(d) Proposer un algorithme qui, pour une valeur de pdonn´ee en entr´ee, affiche en sortie la valeur du plus petit entier n0 tel que, pour tout entier n>n0,un>10^p.

Exercice 5 : Question ouverte (15 minutes) (2 points)

Dans cet exercice, toute prise d’initiative sera r´ecompens´ee On consid`ere la suite utelle que :

u₀ = 1

3; u₁= 1 + 3

5 + 7; u₂= 1 + 3 + 5 7 + 9 + 11; et ainsi de suite.

La suiteu converge-t-elle ?