Construire les cinq premiers termes de la suite sur l’axe (Oy).

(1)

Cours de prérentrée 2014 : Etude de suites (éléments de correction) Exercice 1 :

Partie A :

On donne la courbe représentative d’une fonction et on considère la suite définie par : pour ∈ *.

Construire les cinq premiers termes de la suite sur l’axe (Oy).

Emettre quatre conjectures sur cette suite.

Partie B :

On donne la courbe représentative d’une fonction et on considère la suite définie par :

et ( ∈ )

A l’aide de la droite d’équation , construire les cinq premiers termes sur l’axe (Ox) .

Emettre quatre conjectures sur cette suite.

La suite semble : Croissante,

minorée par 1/8 , majorée par 1 convergente vers 1

Exercice 2 : Ex2 :

3 1

2 1°

Pour tout de

3 5

2 3 2 5

2 ⋯ 3 1

2 1b) Représenter les premiers termes de la suite et émettre des conjectures Sachant que pour tout de

2 3 4 5 6 7 8 9

-1 2 3 4 5 6 7

0 1

1 y

(2)

Conjectures :

La suite semble :

Croissante, minorée par ½ , majorée par 3, convergente vers 3.

2°

^×

= = = 2

3° Sens de variation Pour tout de , on a :

⋆ − = 3( + 1) + 1

( + 1) + 2 − 3 + 1

+ 2 = ⋯ = 5

( + 2)( + 3)

⋆ ∈ ℕ

⟹ ≥ 0

⟹ + 2 ≥ 2 !" + 3 ≥ 3

⟹ + 2 > 0 !" + 3 > 0

⟹ ( + 2)( + 3) > 0

⟹ 5

( + 2)( + 3) > 0

⟹ − > 0

D’où pour tout de , on a : > , ainsi la suite ( ) est strictement croissante.

4°

⋆ la suite ( ) est strictement croissante, donc elle est minorée par son premier terme, or = , donc pour tout de , on a : ≥ .

⋆ Pour tout de , on a : − 3 = 3 − 5

+ 2 − 3 = −5 + 2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-1 2 3

0 1

1

x y

(3)

∈ ℕ

⟹ ≥ 0

⟹ + 2 ≥ 2

⟹ + 2 > 0

⟹ −5

+ 2 < 0

⟹ − 3 < 0

Ainsi pour tout n de , on a : < 3

Autre méthode : pour tout n de , on a :

= 3 − 5 + 2

⟹ ≥ 0 ∈ ℕ

⟹ + 2 ≥ 2

⟹ + 2 > 0

⟹ −5

+ 2 < 0

⟹ 3 − 5 + 2 < 3

⟹ < 3

Ainsi pour tout n de , on a : < 3

pour tout de , on a : ≤ < 3 , ainsi la suite ( ) est bornée.

5° | − 3| < 10

⁽

⟺ 2,9 < < 3,1 .

On a : ≈ 2,892 = 2,9

_-

≈ 2,902

De plus la suite ( ) est strictement croissante, donc le plus petit entier cherché est 49 Ex 3 : Soit la suite ( ) définie par . = 9

= + 2 ( ∈ ℕ) 1° a ) = 9

= 1

3 + 2 = 1

3 × 9 + 2 = 5 = 1

3 + 2 = 1

3 × 5 + 2 = 11

3

(4)

1 3 × 11

3 2 29

9 1°b) Construction des premiers termes sur l’axe des abscisses

1°c) On peut conjecturer : la suite est décroissante, minorée par 3, majorée par 9 et converge vers 3 . 1d) La calculatrice donne + 3,000914 … c’est-à-dire + 3,00091 à 10

⁽¹

23è5

1e) On a : 4 6785 donc non arithmétique

On a :

¹

-

6785

₁

donc non géométrique 2° On considère la suite auxiliaire 9 définie par 9 3 pour ∈ . 2°a) pour tout : de , on a :

;

_{: <}

=

_{: <}

> ? <

> =

^:

@A > <

> =

^:

< <

> =

^:

> <

> ;

^:

Ainsi la suite ;

_:

est géométrique de raison 1/3 et de premier terme ;

_B

=

_B

> C .

2° b) la suite ;

_:

étant géométrique de raison 1/3 et de premier terme ;

_B

C , on peut donner sa forme explicite : pour tout : de : ;

_:

C × D

^<_>

E

^:

2° c) pour tout : de , on a : ;

_:

=

_:

> et ;

_:

C D

^<_>

E

^:

on en déduit : =

_:

C D

^<_>

E

^:

>

2°d) 6 D E 3 6 ×

_G1G

3

_G1G^{-G -} ^G1G

3° a) pour tout de , on a :

(5)

H6 ? 1

3A 3I H6 ? 1

3A 3I

6 ? 1

3A 6 ? 1

⋯ 3A 6 ? 1

3A × ? 2 3A 4 ? 1

3A

⋆ 1

3 # 0 ⟹ ? 1

3A # 0 ⟹ 4 ? 1

3A % 0 ⟹ % 0

Ainsi la suite est décroissante.

3° b) pour tout de , on a : # 0 ⟹ D E # 0 ⟹ 6 D E # 0 ⟹ 6 D E 3 # 3 ⟹ # 3 Ainsi la suite est minorée par 3.

La suite est décroissante donc majorée par son 1

^er

terme , c’est-à-dire majorée par 9.

Ainsi pour tout de , on a : 3 % & 9 3. c. Limite de la suite

1 % 1

3 % 1 ⟹ J86

^{→ L}

? 1

3A 0 ⟹ J86

_{→ L}

6 × ? 1

3A 3 3 J86

_{→ L}

3 La suite converge vers 3.

Toutes les conjectures émises à la question 1c. ont été validées

(6)

Ex4 : 1° Etudier le sens de variation de la suite dans chacun des cas suivants : a) la suite est définie par 3 et = 8 .

b) la suite ( ) est définie par = − ² et = 7 avec 7 ∈ ℝ c) la suite ( ) est définie par =

^O

, ( ∈ *)

2° Montrer que la suite ( ) définie par = × (−2) n’est ni croissante, ni décroissante

1°

a) pour tout de :

⋆ − = ⋯ = −3

⋆ on étudie le signe :

−3 < 0 ⟹ − < 0

Ainsi la suite ( ) est strictement décroissante.

b) pour tout de :

⋆ − = ⋯ = − ²

⋆ on étudie le signe :

² ≥ 0 ⟹ − ≤ 0 ⟹ − ≤ 0

Ainsi la suite ( ) est décroissante.

c) pour tout de * :

⋆ − = 2

+ 1 − 2

= ⋯ = 2 × ( − 1) ( + 1)

⋆ on étudie le signe :

∈ * ⟹ ≥ 1 ⟹ P − 1 ≥ 0

> 0

+ 1 > 0 ⟹

₍⁽ ₎

≥ 0 De plus 2 > 0 ⟹ 2 > 0

D’où

2 × − 1

( + 1) ≥ 0 ⟹ − ≥ 0 Ainsi la suite ( ) est croissante.

2° calculons quelques termes : = 0 × (−2) = 0 = 1 × (−2) = −2 = 2 × (−2) = 8

On observe que < mais > donc la suite n’est ni croissante, ni décroissante.