et l’utiliser pour construire les termes de la suite

Option “Informatique et Math´ematiques”

Troisi`eme feuille de TD : Suites d´efinies par r´ecurrence

Exercice 1

(i) On d´efinit la suite (u_n) par : u₀ := 1 et, pour tout n ∈ N, la formule de r´ecurrence : un+1 := √

un+ 1. D´emontrer que tous les termes de la suite sont bien d´efinis, positifs et major´es par 2. Tracer le graphe de la fonction f(x) := √

x+ 1 sur l’intervalle [1,+∞[ et l’utiliser pour construire les termes de la suite.

(ii) On d´efinit la suite (vn) par : v0 := 1 et, pour tout n ∈ N, la formule de r´ecurrence :v_n+1 := 1 + 1

v_n·D´emontrer que tous les termes de la suite sont bien d´efinis et positifs, puis que la suite (vn) est born´ee. Tracer le graphe de la fonctiong(x) := 1+1 sur l’intervalle [1,+∞[ et l’utiliser pour construire les termes de la suite. x

(iii) On d´efinit la suite (w_n) par : w₀ := 1 et, pour tout n ∈ N, la formule de r´ecurrence : wn+1 := w_n² + 1. D´eterminer un minorant et ´etudier les variations de la suite (w_n). Cette suite est-elle born´ee ? D´emontrer quew_n≥2²ⁿ⁻¹ pour tout n≥1 et en d´eduire le comportement `a l’infini de la suite (w_n). Tracer le graphe de la fonction h(x) :=x²+ 1 sur l’intervalle [1,+∞[ et l’utiliser pour construire les termes de la suite.

Exercice 2

Soit a ≥ 1 un r´eel. On d´efinit la suite (u_n) par : u₀ := a et, pour tout n ∈ N, la formule de r´ecurrence : un+1:= 4u_n−1

un+ 2 ·

(i) Montrer que la suite (un) est bien d´efinie et qu’elle est minor´ee par 1.

(ii) Que dire de la suite sia= 1 ?

(iii) On suppose quea >1. Etudier les variations et la convergence de la suite (un).

(iv) On pose vn := 1

u_n−1·Montrer que la suite (vn) est arithm´etique de raison 1/3.

En d´eduire une formule g´en´erale pour v_n puis pouru_n. (v) Tracer le graphe de la fonctionf(x) := 4x−1

x+ 2 sur l’intervalle ]−2,+∞[ et l’utiliser pour construire les termes de la suite. On y fera figurer la tangente au point (1,1).

(vi) ´Etudier graphiquement le cas o`u−2< a <1.

1

Exercice 3

(i) Soita≥1 un r´eel. On d´efinit la suite (un) par :u0:=aet, pour tout n∈N, la formule de r´ecurrence : un+1:= 1

2

un+ a u_n

. Montrer que la suite est bien d´efinie et qu’elle est minor´ee par√

a.

(ii) Que dire de la suite sia= 1 ? Tracer le graphe de la fonction f(x) := 1 2

x+2

x

surR^∗₊ et construire graphiquement les premiers termes de la suite lorsque a= 2.

(iii) On suppose que a > 1. Etudier les variations et la convergence de la suite (un).

Montrer que 0< u_n+1−√

a < (u_n−√ a)² 2√

a puis estimer lavitesse de convergence.

Exercice 4

On consid`ere dans cet exercice larelation de r´ecurrence `a deux pas :

(1) ∀n≥0, un+2 =un+1+un.

(i) Soitx∈R. Montrer que, pour que la suite g´eom´etrique (xⁿ)n∈N v´erifie (1), il faut, et il suffit, quex²=x+ 1. On notera r < s les deux racines de cette ´equation.

(ii) Soienta, b∈R. On pose u_n:=arⁿ+bsⁿ pour toutn∈N. D´emontrer que la suite (u_n) v´erifie (1). Montrer que l’on peut choisiraetb tels queu₀ = 0 etu₁ = 1 (suite de Fibonacci). Calculer alors les premiers termes de la suite.

(iii) Calculer lim

n→+∞u_n puis lim

n→+∞

u_n+1 un

(nombre d’or).

Remarque:On estvivement encourag´e `a chercher dans un livre l’illustration g´eom´etrique de la suite de Fibonacci et du nombre d’or, et `a s’informer sur leur histoire et leur si- gnification esth´etique.

Exercice 5

On suppose que u₀ =u₁ = 0, et queu_2n=u_n+ 1 etu_2n+1 =u_n+ 2 lorsque n≥1.

D´emontrer par r´ecurrence forte que un≥log₂n pourn≥1.

2