III Représentation graphique des termes de la suite ( c

1 S TD 3 : Suites et géométrie _2014-2015

Farandole de carrés

bA

bB

b

D

bC

bE

bA^′

bB^′

bC^′

b

D^′

b b b

b

b b

b

b b b

b

b

I D’un carré à un autre

SoitABCDun carré. On construit les pointsA^′, B^′, C^′ et D^′ respectivement sur les segments [AB],[BC],[CD] et [DA] tels que :

AA^′=BB^′ =CC^′=DD^′= 1 1. À quelle condition surABla construction est-elle possible ?

2. Démontrer queA^′B^′C^′D^′ est un carré et que siAB >1, alorsA^′B^′ >1.

II Une suite de carrés

À partir d’un carréK0 de côté 10 cm, on construit successivement des carrésK1, K2, K3, . . .comme sur la figure ci-dessus. Chacun d’eux ayant ses sommets sur les côtés du carré précédent et à 1 cm de ses sommets.

1. Peut-on continuer indifiniment une telle construction ? Justifier.

2. On définit la suite (cn)n>0 en prenant comme terme généralcn la longueur du côté du carréKn. (a) Quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de la suite (cn)n>0?

(b) Écrire une relation de récurrence entrecn+1 et cn. (n>0) (c) Démontrer la conjecture précédente.

3. (a) En utilisant la calculatrice, calculer les 20 premiers termes de la suite.

(b) À partir de quel rangn, a-t-oncn<1,1 ?

4. On introduit la suite (un)n>0en posant,∀n∈N, un=cn−1.

(a) Justifier que, pour tout entier naturel n,un >0 et préciser le sens de variation de la suite (un)n>0. (b) Démontrer que, pour tout entier natureln,un+1= u²n

1 +p 1 +u²n

(c) En déduire que, pour tout entier natureln,un+161

2u²n, puis queun+3610⁻²u⁸n.

(d) En utilisant l’inégalité précédente et une inégalité vérifiée paru11, prouver queu17<10⁻⁸². Que peut-on en déduire sur la convergence des suites (un)n>0 et (cn)n>0?

III Représentation graphique des termes de la suite ( c

)

1. Préciser la fonctiong.

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2. En utilisant « l’outil graphique » suivant, représenter les termes de la suite (cn)n>0 sur l’axe des abscisses.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

−1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Cg

c₀ y=x

b

3. Quelle remarque peut-on faire sur le sens de variation de la fonctiong sur [1; +∞[ et celui de la suite (cn)n>0?

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