Suites num´eriques

Suites num ´eriques

Herv ´e Hocquard

Universit ´e de Bordeaux, France

8 novembre 2011

G ´en ´eralit ´es

D ´efinition

Une suite est une fonction d ´efinie surN. Une suite num ´erique est une suite `a valeurs dansR. L’image de n par une suite u se note u_net est appel ´e terme de rang n de la suite.

Une suite u est aussi not ´ee(un)_n∈N.

G ´en ´eralit ´es

D ´efinition

Une suite est une fonction d ´efinie surN. Une suite num ´erique est une suite `a valeurs dansR. L’image de n par une suite u se note u_net est appel ´e terme de rang n de la suite.

Une suite u est aussi not ´ee(un)_n∈N. Exemple

1 u d ´efinie surNpar u_n= 1 n+2 u₀= 1

2, u₁=1

3, u₂=1 4, ...

2 v d ´efinie pour tout n≥3 par v_n= 1 n−2 v₃=1, v₄=1

2, v5=1 3, ...

Deux fac¸ons de d ´efinir une suite

Explicitement en fonction du rang

Toute fonction d ´efinie sur[0; +∞[(ou sur un intervalle de la forme[a; +∞[) permet de d ´efinir une suite telle que pour tout n≥0 (resp. n≥a) : u_n=f(n).

Deux fac¸ons de d ´efinir une suite

Explicitement en fonction du rang

Toute fonction d ´efinie sur[0; +∞[(ou sur un intervalle de la forme[a; +∞[) permet de d ´efinir une suite telle que pour tout n≥0 (resp. n≥a) : u_n=f(n).

Exemple

Calculer les premiers termes de la suite d ´efinie surNpar u_n=2n²−5n−1.

Deux fac¸ons de d ´efinir une suite

Explicitement en fonction du rang

Toute fonction d ´efinie sur[0; +∞[(ou sur un intervalle de la forme[a; +∞[) permet de d ´efinir une suite telle que pour tout n≥0 (resp. n≥a) : u_n=f(n).

Exemple

Calculer les premiers termes de la suite d ´efinie surNpar u_n=2n²−5n−1.

u₀=2×0²−5×0−1=−1 ; u₁=2×1²−5×1−1=−4 ; u₂=2×2²−5×2−1=−3 ; u₃=2×3²−5×3−1=2 ; u₄=2×4²−5×4−1=11. . .

Deux fac¸ons de d ´efinir une suite

Les propri ´et ´es des nombres entiers permettent aussi de d ´efinir explicitement des suites qui ne peuvent pas ˆetre obtenues simplement par une fonction d ´efinie surR.

Deux fac¸ons de d ´efinir une suite

Les propri ´et ´es des nombres entiers permettent aussi de d ´efinir explicitement des suites qui ne peuvent pas ˆetre obtenues simplement par une fonction d ´efinie surR.

Exemple

Calculer les premiers termes des suites(un)_n∈Net(vn)_n∈N^∗ o `u u_n= (−1)ⁿet v_nest le nombre de diviseurs de n.

Deux fac¸ons de d ´efinir une suite

Les propri ´et ´es des nombres entiers permettent aussi de d ´efinir explicitement des suites qui ne peuvent pas ˆetre obtenues simplement par une fonction d ´efinie surR.

Exemple

Calculer les premiers termes des suites(un)_n∈Net(vn)_n∈N^∗ o `u u_n= (−1)ⁿet v_nest le nombre de diviseurs de n.

u₀=1 ; u₁=−1 ; u₂=1 ; u₃=−1 ; . . .

v₁=1 ; v₂=2 ; v₃=2 ; v₄=3 ; v₅=2 ; v₆=4 . . .

Deux fac¸ons de d ´efinir une suite

Par r ´ecurrence

Une suite peut aussi ˆetre d ´efinie par son premier terme (ou ses premiers termes) et par une relation permettant de calculer chaque terme en fonction du pr ´ec ´edent (ou des pr ´ec ´edents).

Deux fac¸ons de d ´efinir une suite

Par r ´ecurrence

Une suite peut aussi ˆetre d ´efinie par son premier terme (ou ses premiers termes) et par une relation permettant de calculer chaque terme en fonction du pr ´ec ´edent (ou des pr ´ec ´edents).

D ´efinition

Soit f une fonction d ´efinie sur un intervalle I tel que f(I)⊂I.

Alors la suite(un)n≥p est d ´efinie par la donn ´ee de son premier terme u_p (u_p∈I)et d’une relation de la forme pour tout n≥p : u_n+1=f(un)(relation de r ´ecurrence).

Deux fac¸ons de d ´efinir une suite

Exemples

Calculer les premiers termes des suites d ´efinies surN. u est d ´efinie par

( u₀=−6 u_n+1=−1

2u_n−1 pour tout n≥0 v est d ´efinie par

v₀=1;v₁=1

v_n+2=v_n+1+v_n pour tout n≥0

Deux fac¸ons de d ´efinir une suite

Exemples : solutions u₁=−1

2u₀−1=−1

2×(−6)−1=2 u₂=−1

2u₁−1=−1

2×2−1=−2 u₃=−1

2u₂−1=−1

2×(−2)−1=0 u₄=−1

2u₃−1=−1

2×0−1=−1

Deux fac¸ons de d ´efinir une suite

Exemples : solutions u₁=−1

2u₀−1=−1

2×(−6)−1=2 u₂=−1

2u₁−1=−1

2×2−1=−2 u₃=−1

2u₂−1=−1

2×(−2)−1=0 u₄=−1

2u₃−1=−1

2×0−1=−1

v₂=v₁+v₀=1+1=2 ; v₃=v₂+v₁=2+1=3 ; v₄=v₃+v₂=3+2=5 ; v₅=v₄+v₃=5+3=8 ; v₆=v₅+v₄=8+5=13

Sens de variation

Th ´eor `eme

u est croissante si et seulement si pour tout entier n, u_n≤u_n+1. u est d ´ecroissante si et seulement si pour tout entier n,

u_n≥u_n+1.

Sens de variation

Th ´eor `eme

u est croissante si et seulement si pour tout entier n, u_n≤u_n+1. u est d ´ecroissante si et seulement si pour tout entier n,

u_n≥u_n+1. Remarques

Ne pas m ´elanger u_n+1et u_n+1

Dans la pratique, pour d ´eterminer le sens de variation d’une suite, on s’int ´eresse au signe de la diff ´erence u_n+1−un.

Dans le cas o `u tous les termes de la suite sont strictement positifs, on peut aussi comparer le quotient u_n+1

u_n `a 1.

Sens de variation

Exercice

D ´eterminer le sens de variation des suites suivantes : u est d ´efinie surNpar u_n=3n+ (−1)ⁿ.

v est d ´efinie surNpar v₀=2

v_n+1=−v_n²+v_n pour tout n∈N w est d ´efinie surN^∗par w_n=2ⁿ

n .

Sens de variation

Th ´eor `eme

Soit f une fonction d ´efinie sur[0; +∞[et u la suite d ´efinie surN par u_n=f(n).

Si f est croissante sur[0; +∞[alors u est croissante.

Si f est d ´ecroissante sur[0; +∞[alors u est d ´ecroissante.

Sens de variation

Th ´eor `eme

Soit f une fonction d ´efinie sur[0; +∞[et u la suite d ´efinie surN par u_n=f(n).

Si f est croissante sur[0; +∞[alors u est croissante.

Si f est d ´ecroissante sur[0; +∞[alors u est d ´ecroissante.

Exercice

D ´eterminer le sens de variation de la suite u d ´efinie surNpar u_n= (n+3)².

Suite born ´ee

D ´efinition

Une suite(un)est major ´ee s’il existe un r ´eel M tel que pour tout n deN: u_n≤M.

Une suite(un)est minor ´ee s’il existe un r ´eel m tel que pour tout n deN: u_n≥m.

Une suite(un)major ´ee et minor ´ee est born ´ee.

Suite born ´ee

D ´efinition

Une suite(un)est major ´ee s’il existe un r ´eel M tel que pour tout n deN: u_n≤M.

Une suite(un)est minor ´ee s’il existe un r ´eel m tel que pour tout n deN: u_n≥m.

Une suite(un)major ´ee et minor ´ee est born ´ee.

Exemples

Une suite croissante est minor ´ee par son premier terme.

(car u₀≤u₁≤u₂≤...≤u_n≤...)

Une suite d ´ecroissante est major ´ee par son premier terme.

(car u₀≥u₁≥u₂≥...≥un≥...)

Suites arithm ´etiques

D ´efinition

Soit(un)_n∈Nune suite et r un r ´eel.

On dit qu’une suite(un)_n∈Nest une suite arithm ´etique de raison r si pour tout entier naturel n :

u_n+1=u_n+r

Suites arithm ´etiques

D ´efinition

Soit(un)_n∈Nune suite et r un r ´eel.

On dit qu’une suite(un)_n∈Nest une suite arithm ´etique de raison r si pour tout entier naturel n :

u_n+1=u_n+r

Exemple

La suite des nombres impairs est une suite arithm ´etique de raison 2.

Suites arithm ´etiques

D ´efinition

Soit(un)_n∈Nune suite et r un r ´eel.

On dit qu’une suite(un)_n∈Nest une suite arithm ´etique de raison r si pour tout entier naturel n :

u_n+1=u_n+r

Exemple

La suite des nombres impairs est une suite arithm ´etique de raison 2.

Exercice

Les suites u et v d ´efinies surNpar u_n=3n−4 et v_n=n²+2 sont-elles arithm ´etiques ?

Sens de variation

Th ´eor `eme

Soit(un)_n∈Nune suite arithm ´etique de raison r . Si r >0 alors u est strictement croissante.

Si r =0 alors u est constante.

Si r <0 alors u est strictement d ´ecroissante.

Sens de variation

Th ´eor `eme

Soit(un)_n∈Nune suite arithm ´etique de raison r . Si r >0 alors u est strictement croissante.

Si r =0 alors u est constante.

Si r <0 alors u est strictement d ´ecroissante.

Preuve

En exercice. . .

Expression de u_n en fonction de n

Th ´eor `eme

Soit(un)_n∈Nune suite arithm ´etique de raison r . Pour tous entiers naturels n et p :

un=up+ (n−p)r En particulier, pour tout entier naturel n :

u_n=u₀+nr

Expression de u_n en fonction de n

Th ´eor `eme

Soit(un)_n∈Nune suite arithm ´etique de raison r . Pour tous entiers naturels n et p :

un=up+ (n−p)r En particulier, pour tout entier naturel n :

u_n=u₀+nr Preuve

En exercice. . .

Somme de termes cons ´ecutifs

Th ´eor `eme

Soit(un)_n∈Nune suite arithm ´etique de raison r . Pour tout entier naturel n :

u₀+u₁+· · ·+u_n−1+u_n= (n+1)×u₀+un

2

Somme de termes cons ´ecutifs

Th ´eor `eme

Soit(un)_n∈Nune suite arithm ´etique de raison r . Pour tout entier naturel n :

u₀+u₁+· · ·+u_n−1+u_n= (n+1)×u₀+un

2

Remarque : On a aussi u1+u2· · ·+un−1+un=n×u₁+u_n 2

Somme de termes cons ´ecutifs

Th ´eor `eme

Soit(un)_n∈Nune suite arithm ´etique de raison r . Pour tout entier naturel n :

u₀+u₁+· · ·+u_n−1+u_n= (n+1)×u₀+un

2

Remarque : On a aussi u1+u2· · ·+un−1+un=n×u₁+u_n 2 Th ´eor `eme bis

Soit(u_n)_n∈Nune suite arithm ´etique de raison r . Pour tout entier naturel n :

∑n k=0

u_k =nombre de termes×1^erterme + dernier terme 2

Somme de termes cons ´ecutifs

Preuve

Posons S=u₀+u₁+· · ·+u_n On a ainsi 2S=

(u0+u_n) + (u1+u_n−1) + (u2+un−2) +· · ·+ (un−1+u₁) + (un+u₀) Or, pour tout k ≤n,

u_k+u_n−k =u₀+kr+u₀+ (n−k)r=u₀+u₀+nr=u₀+un. On a donc : 2S= (n+1)×(u0+u_n)

Donc S= (n+1)×u₀+u_n 2

Somme de termes cons ´ecutifs

Preuve

Posons S=u₀+u₁+· · ·+u_n On a ainsi 2S=

(u0+u_n) + (u1+u_n−1) + (u2+un−2) +· · ·+ (un−1+u₁) + (un+u₀) Or, pour tout k ≤n,

u_k+u_n−k =u₀+kr+u₀+ (n−k)r=u₀+u₀+nr=u₀+un. On a donc : 2S= (n+1)×(u0+u_n)

Donc S= (n+1)×u₀+u_n 2 Exercice

D ´eterminer la somme des n premiers nombres impairs.

Suites g ´eom ´etriques

D ´efinition

Soit(u_n)_n∈Nune suite et q un r ´eel.

On dit qu’une suite(un)_n∈Nest une suite g ´eom ´etrique de raison q si pour tout entier naturel n :

u_n+1=q×u_n

Remarque : Si q6=0 et u₀6=0 alors pour tout n∈N, un6=0.

Suites g ´eom ´etriques

D ´efinition

Soit(u_n)_n∈Nune suite et q un r ´eel.

On dit qu’une suite(un)_n∈Nest une suite g ´eom ´etrique de raison q si pour tout entier naturel n :

u_n+1=q×u_n

Remarque : Si q6=0 et u₀6=0 alors pour tout n∈N, un6=0.

Exemple

La suite des puissances de 2 est la suite g ´eom ´etrique de premier terme 1 et de raison 2.

Suites g ´eom ´etriques

D ´efinition

Soit(u_n)_n∈Nune suite et q un r ´eel.

On dit qu’une suite(un)_n∈Nest une suite g ´eom ´etrique de raison q si pour tout entier naturel n :

u_n+1=q×u_n

Remarque : Si q6=0 et u₀6=0 alors pour tout n∈N, un6=0.

Exemple

La suite des puissances de 2 est la suite g ´eom ´etrique de premier terme 1 et de raison 2.

Exercice

Les suites u et v d ´efinies surNpar u_n=−4×3ⁿet v_n=n²+1 sont-elles g ´eom ´etriques ?

Expression de v_n en fonction de n

Th ´eor `eme

Soit(vn)_n∈Nune suite g ´eom ´etrique de raison q.

Pour tous entiers naturels n et p : v_n=v_p×q^n−p En particulier, pour tout entier naturel n :

v_n=v₀×qⁿ

Expression de v_n en fonction de n

Th ´eor `eme

Soit(vn)_n∈Nune suite g ´eom ´etrique de raison q.

Pour tous entiers naturels n et p : v_n=v_p×q^n−p En particulier, pour tout entier naturel n :

v_n=v₀×qⁿ Preuve

En exercice. . .

Sens de variation

Th ´eor `eme

Soit(vn)_n∈Nune suite g ´eom ´etrique de raison q6=0.

Si q>1 alors

si v₀>0, v est strictement croissante.

si v₀<0, v est strictement d ´ecroissante.

Si q=1 alors v est constante.

Si 0<q<1 alors

si v₀>0, v est strictement d ´ecroissante.

si v₀<0, v est strictement croissante.

Si q<0 alors v n’est pas monotone.

Sens de variation

Th ´eor `eme

Soit(vn)_n∈Nune suite g ´eom ´etrique de raison q6=0.

Si q>1 alors

si v₀>0, v est strictement croissante.

si v₀<0, v est strictement d ´ecroissante.

Si q=1 alors v est constante.

Si 0<q<1 alors

si v₀>0, v est strictement d ´ecroissante.

si v₀<0, v est strictement croissante.

Si q<0 alors v n’est pas monotone.

Preuve

Pour tout n, v_n+1−vn=v₀×qⁿ⁺¹−v₀×qⁿ=v₀×qⁿ(q−1) Le signe de v_n+1−v_ns’obtient donc en fonction du signe de v₀, du signe de qⁿ et du signe de q−1.

Somme de termes cons ´ecutifs

Th ´eor `eme

Soit q un r ´eel diff ´erent de 1.

Pour tout entier naturel n :

1+q+q²+· · ·+qⁿ⁻¹+qⁿ=1−qⁿ⁺¹ 1−q Soit(vn)_n∈Nune suite g ´eom ´etrique de raison q6=1.

Pour tout entier naturel n :

v₀+v₁+· · ·+v_n−1+v_n=v₀×1−qⁿ⁺¹ 1−q

Somme de termes cons ´ecutifs

Th ´eor `eme bis

Soit(vn)_n∈Nune suite g ´eom ´etrique de raison q.

1 Si q=1 alors

∑n k=0

v_k = (n+1)×v₀=nombre de termes×(1^erterme)

2 Si q6=1 alors

∑n k=0

v_k=1^erterme×1−qnombre de termes

1−q

Somme de termes cons ´ecutifs

Preuve

Posons S=1+q+q²+· · ·+qⁿ⁻¹+qⁿ. On a alors qS=q+q²+q³+· · ·+qⁿ+qⁿ⁺¹

Ainsi, S−qS=1−qⁿ⁺¹ D’o `u : S=1−qⁿ⁺¹

1−q

Somme de termes cons ´ecutifs

Preuve

Posons S=1+q+q²+· · ·+qⁿ⁻¹+qⁿ. On a alors qS=q+q²+q³+· · ·+qⁿ+qⁿ⁺¹

Ainsi, S−qS=1−qⁿ⁺¹ D’o `u : S=1−qⁿ⁺¹

1−q Exercice

D ´eterminer la somme des n premi `eres puissances de 2 (1+2+2²+· · ·+2ⁿ⁻¹).

Suites arithm ´etico-g ´eom ´etriques

D ´efinition

On appelle suite arithm ´etico-g ´eom ´etrique toute suite(u_n)_n∈N

telle que, pour tout entier naturel n,

u_n+1=au_n+b aveca6=1etb6=0

Expression de u_n en fonction de n

M ´ethode

1 Soitα la solution de l’ ´equation x=ax+b.

2 Soit(v_n)_n∈Nla suite d ´efinie pour tout entier n par v_n=u_n−α.

3 Ainsi v_n+1=. . .=av_n.

4 La suite(v_n)_n∈Nest donc g ´eom ´etrique. . .

5 un=aⁿ(u₀−α) +α.

Expression de u_n en fonction de n

M ´ethode

1 Soitα la solution de l’ ´equation x=ax+b.

2 Soit(v_n)_n∈Nla suite d ´efinie pour tout entier n par v_n=u_n−α.

3 Ainsi v_n+1=. . .=av_n.

4 La suite(v_n)_n∈Nest donc g ´eom ´etrique. . .

5 un=aⁿ(u₀−α) +α. Exercice

Soit(un)_n∈Nla suite d ´efinie par u0=2 et, pour tout entier n, u_n+1=4un−1. On pose Sn=

∑n k=0

=u_k. Exprimer Snen fonction de n.

Limites

D ´efinition : Suites convergentes

Une suite u converge vers un r ´eelℓsi tout intervalle ouvert contenantℓcontient aussi tous les termes de la suite `a partir d’un certain rang.

On dit alors que u est convergente et on note lim

n→+∞un=ℓ

Limites

D ´efinition : Suites convergentes

Une suite u converge vers un r ´eelℓsi tout intervalle ouvert contenantℓcontient aussi tous les termes de la suite `a partir d’un certain rang.

On dit alors que u est convergente et on note lim

n→+∞un=ℓ On peut formuler la d ´efinition comme suit :

D ´efinition : Suites convergentes

u converge versℓsi tout intervalle ouvert contenantℓ contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini.

u converge versℓsi pour tout intervalle ouvert I contenant ℓ, il existe un entier n0tel que n≥n0=⇒un∈I.

Limites

D ´efinition : Suites convergentes

Une suite u converge vers un r ´eelℓsi tout intervalle ouvert contenantℓcontient aussi tous les termes de la suite `a partir d’un certain rang.

On dit alors que u est convergente et on note lim

n→+∞un=ℓ On peut formuler la d ´efinition comme suit :

D ´efinition : Suites convergentes

u converge versℓsi tout intervalle ouvert contenantℓ contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini.

u converge versℓsi pour tout intervalle ouvert I contenant ℓ, il existe un entier n0tel que n≥n0=⇒un∈I.

Th ´eor `eme

Si une suite converge alors sa limite est unique.

Suites divergentes

Une suite divergente est une suite qui n’est pas convergente.

Suites de limite infinie : d ´efinition

Une suite u a pour limite+∞si tout intervalle ouvert de la forme ]A; +∞[contient tous les termes de la suite `a partir d’un certain rang.

On dit alors que u diverge vers+∞et on note lim

n→+∞u_n= +∞.

On d ´efinit de la m ˆeme fac¸on une suite qui diverge vers−∞.

Suites divergentes

Une suite divergente est une suite qui n’est pas convergente.

Suites de limite infinie : d ´efinition

Une suite u a pour limite+∞si tout intervalle ouvert de la forme ]A; +∞[contient tous les termes de la suite `a partir d’un certain rang.

On dit alors que u diverge vers+∞et on note lim

n→+∞u_n= +∞.

On d ´efinit de la m ˆeme fac¸on une suite qui diverge vers−∞.

Suites qui n’ont pas de limite

Une suite n’est pas n ´ecessairement convergente ou divergente vers l’infini. Il existe des suites qui n’ont pas de limite. Elles sont aussi appel ´ees suites divergentes.

Suites divergentes

Une suite divergente est une suite qui n’est pas convergente.

Suites de limite infinie : d ´efinition

Une suite u a pour limite+∞si tout intervalle ouvert de la forme ]A; +∞[contient tous les termes de la suite `a partir d’un certain rang.

On dit alors que u diverge vers+∞et on note lim

n→+∞u_n= +∞.

On d ´efinit de la m ˆeme fac¸on une suite qui diverge vers−∞.

Suites qui n’ont pas de limite

Une suite n’est pas n ´ecessairement convergente ou divergente vers l’infini. Il existe des suites qui n’ont pas de limite. Elles sont aussi appel ´ees suites divergentes.

Exemple

u d ´efinie surNpar u_n= (−1)ⁿ.

Propri ´et ´es

Th ´eor `eme

Soit f une fonction d ´efinie sur[0; +∞[et soit u la suite d ´efinie surNpar un=f(n).

Si lim

x→+∞f(x) =ℓalors lim

n→+∞u_n=ℓ.

Si lim

x→+∞f(x) = +∞alors lim

n→+∞un= +∞.

Propri ´et ´es

Th ´eor `eme

Soit f une fonction d ´efinie sur[0; +∞[et soit u la suite d ´efinie surNpar un=f(n).

Si lim

x→+∞f(x) =ℓalors lim

n→+∞u_n=ℓ.

Si lim

x→+∞f(x) = +∞alors lim

n→+∞un= +∞.

Cons ´equence

Toutes les propri ´et ´es vues sur les limites de fonctions s’appliquent aux suites d ´efinies par un=f(n).

Propri ´et ´es

Th ´eor `eme

Soit f une fonction d ´efinie sur[0; +∞[et soit u la suite d ´efinie surNpar un=f(n).

Si lim

x→+∞f(x) =ℓalors lim

n→+∞u_n=ℓ.

Si lim

x→+∞f(x) = +∞alors lim

n→+∞un= +∞.

Cons ´equence

Toutes les propri ´et ´es vues sur les limites de fonctions s’appliquent aux suites d ´efinies par un=f(n).

Exercice

D ´eterminer la limite de la suite u d ´efinie surNpar u_n=−2n²+n

3n²+1

Propri ´et ´es

Th ´eor `eme bis...

Soit f une fonction d ´efinie sur un intervalle de la forme [a; +∞[ (a∈R).

Si f a une limite (finie ou infinie) en+∞alors la suite(un)telle que u_n=f(n)a la m ˆeme limite que f .

Propri ´et ´es

Th ´eor `eme bis...

Soit f une fonction d ´efinie sur un intervalle de la forme [a; +∞[ (a∈R).

Si f a une limite (finie ou infinie) en+∞alors la suite(un)telle que u_n=f(n)a la m ˆeme limite que f .

Attention

La r ´eciproque est fausse ! ! !

Th ´eor `eme des gendarmes

Th ´eor `eme

On consid `ere trois suites u, v et w et un r ´eelℓ.

Si

( lim

n→+∞u_n= lim

n→+∞w_n=ℓ

u_n≤v_n≤w_n `a partir d’un certain rang alors lim

n→+∞vn=ℓ.

Th ´eor `eme des gendarmes

Th ´eor `eme

On consid `ere trois suites u, v et w et un r ´eelℓ.

Si

( lim

n→+∞u_n= lim

n→+∞w_n=ℓ

u_n≤v_n≤w_n `a partir d’un certain rang alors lim

n→+∞vn=ℓ.

Exercice

D ´eterminer la limite de la suite u d ´efinie surN^∗par u_n=2+(−1)ⁿ

n

Image d’une suite par une fonction

Th ´eor `eme

Soit f une fonction d ´efinie sur un intervalle I telle que f(I)⊂I.

Soit(u_n)une suite `a valeurs dans I (dont tous les termes sont

´el ´ements de I).

a etℓd ´esignent des r ´eels ou+∞ou−∞.

Si lim

n→+∞u_n=a et lim

x→af(x) =ℓ alors lim

n→+∞f(u_n) =ℓ.