Les suites réelles

(1)

Les suites réelles

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(2)

Suites Réelles

Dans ce chapitre I désigne l’ensemble des entiers n ≥ n₀ (n₀ ∈ℕ)

I. Rappels et compléments 1. Suite arithmétique

Définition

Soit (u )_n une suite réelle définie sur I.

On dit que (u )_n est une suite arithmétique s’il existe une constante réelle r telle que pour tout entier n de I, uuuu_n_n_n_n₊₊₊₊₁₁₁₁ −−−−uuuu_n_n_n_n ==== rrrr.

On dit dans ce cas que (u )_n est une suite arithmétique de raison r Conséquences

Soit (u )_n une suite arithmétique de raison r et de premier terme u₀ Pour tout entier naturel n, uuuu_n_n_n_n ==== uuuu₀₀₀₀ ++++ nrnrnrnr^.

Pour tous entiers naturels p et q on a : uuuu_p_p_p_p ==== uuuu_q_q_q_q ++++ ( p( p( p( p −−−−q )rq )rq )rq )r^.

Pour tous entiers naturels p et q tels que p ≤ q, on a : ₁₁₁₁ 1111

222

p p q 2 p q

p p q p q

q p qq pp q p

u u u (u u )

u ++++ u ₊₊₊₊ + ⋅ ⋅ ⋅ ++ ⋅ ⋅ ⋅ ++ ⋅ ⋅ ⋅ ++ ⋅ ⋅ ⋅ +u ==== −−−− ++++ (u ++++u )

2. Suite géométrique

Définition

On dit que (u )_n est une suite géométrique s’il existe une constante réelle q telle que pour tout entier n de I, uuuu_n_n_n_n₊₊₊₊₁₁₁₁ ==== ququququ_n_n_n_n.

On dit dans ce cas que (u )_n est une suite géométrique de raison q Conséquences

Soit (u )_n une suite géométrique de raison non nul q et de premier terme u₀ Pour tout entier naturel n, uuuu_n_n_n_n ==== uuuu₀₀₀₀qqqqⁿⁿⁿⁿ^.

Pour tous entiers naturels n et m on a : uuuu_n_n_n_n ==== uuuu_m_m_m_mqqqq^{n m}^{n m}^{n m}^{n m}⁻⁻⁻⁻ ^. Pour tous entiers naturels m et n tels que n ≤ m, on a :

(((( ))))

11 11

111 1

0 0 0 0

111

1 si si si si 1111 1

1 1 1

1 si 1

11 si si 11 1 si 1

m nm nm n m n p p p p n n m n n m n n m n n m qq qq u q uu qq u q q q q q u u u u u u u u u u u u m n u q mm nn uu qq m n u q − +− + − +− + ++++   −−−− ≠≠≠≠    −−−− + + ⋅ ⋅ ⋅ + = ++ + ⋅ ⋅ ⋅ ++ ⋅ ⋅ ⋅ + == + + ⋅ ⋅ ⋅ + =     − +− +− +− + ====    si 1

si si 11 si 1

1 si 1

1 si 1 0 si -1 1 0 si -1 1 0 si -1 1 0 si -1 1 n'existe pas si 1 n'existe pas si 1 n'existe pas si 1 n'existe pas si 1

nnn n nn nn

q qq q q q q lim q q

lim q lim q lim q

q q q q q q q q

→ +∞

+∞ >

+∞+∞ >>

+∞ >









====



==== 

< <

<< <<

< <





 ≤ −≤ −≤ −≤ −







(3)

Exercice 1

On considère la suite ( )^uⁿ définie par u₁ = 1 et ₁ 4 1

n n

u nu

+ n

= +

+ . 1

1 1

1. Démontrer que la suite ( )^vⁿ définie par v_n = n u_n est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.

2 2 2

2. En déduire l’expression de v_n en fonction de n, puis l’expression de u_n en fonction de n.

Solution 1

1 1

1. v_n₊₁ −v_n = (n +1)u_n₊₁ − nu_n = nu_n + −4 nu_n = 4 ⇒ (v )_n est une suite arithmétique de raison r=4 et de premier terme v₁ = ⋅1 u₁ =1

22

22. ₁ 4 3

1 1 4 1 4 3 et

* n

n n

v n

n , v v (n )r (n ) n u

n n

∀ ∈ℕ = + − = + − = − = = − .

Exercice 2

Soit a >1 et (u )_n la suite définie par ₀ ₁ 3 2

et ,

2 1

n n

n

u a n u u

+ u

= ∀ ∈ = −

ℕ −

1. Montrer que pour tout entier naturel n, (u )_n existe et vérifie u_n > 1. 2. On définit la suite (v )_n sur ℕpar : 1

n 1

n

v = u

− .

a) Montrer que (v )_n est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.

b) Exprimer v_n et puis u_n en fonction de n et a.

Solution

1. On procède par récurrence

• Pour n=0, on a u₀ = a > 1, vrai

• Soit n∈ℕ, supposons que u_nexiste et u_n > 1 et montrons que u_n₊₁existe et u_n₊₁ > 1.

u_n > 1⇒ 2u_n > 2 ⇒ 2u_n − >1 1 ⇒ 2u_n − ≠1 0 ⇒ u_n₊₁ existe ¹

1 1

3 2 3 2 2 1 1

1 1

2 1 2 1 2 1

1 donc 2 1 0 et 1 0 donc 1 0 d'où 1

n n n n

n

n n n

n n n n n

u u u u

u u u u u .

+

+ +

− − − + −

− = − = =

− − −

> − > − > − > >

2. a) ₁ ₁

1

2 1 2 1 2 1

1 1

1 1 1 1 1 2

n n n

n n n n n

u u (u )

v v v

u u u u u

+ +

+

− − −

= = ⇒ − = − = =

− − − − −

Ce qui prouve que (v )_n est une suite arithmétique de raison 2 Son premier terme ₀

0

1 1

v = u = a

− − .

b) ₀ 1 2 1 1

1 2 1

n

(a )n

v v nr n

a a

− +

= + = + =

− −

1 1 2 1

1 1

2 1 1 2 1 1

n n

a a (a )n

u v (a )n (a )n

− + −

= + = + =

− + − +

(4)

Exercice 3 (suite Arithmético-géométrique)

Soit (u )_n la suite réelle définie par : u₀ = 1 et _n+1 1

u 3

2 ⁿ

n , u

∀ ∈ℕ = −

Pour tout entier naturel n, on pose v_n = u_n + 6.

1. Montrer que (v )_n est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

2. Exprimer v_n et puis u_n en fonction de n 3. Calculer, en fonction de n, la somme

2n k k n

S u

=

= ∑ ^.

Solution 1

1 1

1. ₁ ₁ 1 1 1 1

6 3 6 3 6

2 2 2 2

n n n n n n

v ₊ = u ₊ + = u − + = u + = (u + ) = v Donc (v )_n est une suite géométrique de raison 1

q = 2 et de premier terme

0 0 6 7

v = u + = . 2

2 2

2. ₀ 1 1

7 et 6 7 6

2 2

n n

n

n n n

v v q   u v  

= =   = − =   −

   

33 33.

2 1

2 2 2

1 1

6 6 2 1 2 6 1

1 1 2

n n

n n n

k k k n

k n k n k n

S u (v ) v ( n n ) v (n )

− +

= = =

−   

= = − = − − + =   − +

∑ ∑ ∑ − Donc

1 1 1

14 1 6 1

2 2

n n

S (n )

 + 

   

=    −   − +

     

3. Convergence et divergence d’une suite

Définition

On dit que (u )_n est convergenteconvergenteconvergenteconvergente (ou encore admet une limite finie) s’il existe un réel l vérifiant : Pour tout réel ε > 0, il existe p∈ℕtel que pour tout entier n∈ I,n ≥ p ⇒ u_n − < εl

Autrement dit, tout intervalle ouvert de centre l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Parfois on dit, tout intervalle ouvert de centre l contient presquepresquepresquepresque tous les termes de la suite.

Remarques

Une suite qui n’est pas convergente est dite divergentedivergentedivergente (admet une divergente limite infinie ou n’admet pas de limite)

Si une suite (u )_n admet une limite finie l alors cette limite est unique et on note dans ce cas _n

nlim u l

→ +∞ = ou tout simplement lim u_n = l

(5)

Exemple

Soit la suite (u )_n définie surℕpar : 2 5

n 1 u n

n

= −

+ . Montrons que (u )_n converge vers 2.

---

Soit ε > 0, montrons qu’il existe un entier naturel p tel que pour tout entier naturel n, n ≥ p ⇒ u_n −2 < ε

2 5 2

2 2

n 1

n n

u n

− = − − =

+

5 2n

− − 2 7 7 7

1 1

1 1 n n

n n

− = < ε ⇔ + > ⇔ > −

+ + ε ε

Il suffit alors de choisir 7

1 1

p E 

=  −  + ε

  si 7

1 0

− >

ε (E désigne la partie entière) ou p=1 si 7

1 0

− <

ε et pour le dire en un seul mot 7

1 1 1

p sup , E  

=  ε −  + .

Ainsi on a : 7 7

1 2

1 ⁿ

n p u

≥ > − ⇒ n < ε ⇒ − < ε

ε +

Définition

On dit qu’une suite (u )_n tend vers +∞ et on note lim u_n = +∞ si pour tout réel A > 0, il existe p∈ℕ, tel que pour tout entier n∈ I, n ≥ p ⇒ u_n > A. Autrement dit, tout intervalle de la forme ]^A,^+∞[contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang p.

On dit qu’une suite (u )_n tend vers −∞ et on note lim u_n = −∞ si pour tout réel A < 0, il existe p∈ℕ, tel que pour tout entier n∈ I, n ≥ p ⇒ u_n < A. Autrement dit, tout intervalle de la forme ]^−∞^{, A}[contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang p.

Exemple

Soit (u )_n la suite définie sur ℕ par : u_n = 2n² −1 Montrons que lim u_n = +∞.

---

Soit A > 0, montrons qu’il existe un entier p tel que pour tout entier n∈I, n ≥ p ⇒ un > A.

2 2 2 1 1

2 1 2 1 car

2 2

n

A A

u > A ⇔ n − > A ⇔ n > A+ ⇔ n > + ⇔ n > + n∈ℕ_. il suffit alors de choisir 1

2 1 p = E A+  +

  .

4. Opérations sur les suites convergentes

Comme pour les fonctions, on peut définir les opérations usuelles sur les suites.

Soient (u )_n et (v )_n sont deux suites définies sur I.

Pour tout entier n∈ I, on a :

(u+ v)n = uⁿ +vⁿ.

(6)

( )

_n _n

, u u

∀λ ∈ℝ λ = λ × _.

( )uv n = uⁿ ×vⁿ

Si (v )_n est une suite à termes non nuls alors : 1 1

n n

v v

  =

   ^et

n

n n

u u

v v

  =

   ^. Théorème 1

Soient (u )_n et (v )_n sont deux suites définies sur I.

Si (u )_n et (v )_n sont convergentes alors :

les suites u + v, λu (λ ∈ ℝ), uv et u sont convergentes.

Si en plus (v )_n est une suite a termes non nuls et lim v_n ≠ 0 alors les suites 1 et u

v v sont convergentes et on a :

n n n

lim(u + v) = lim u +lim v .

n n

lim( u)λ = λ × lim u .

n n n

lim(uv) = lim u ×lim v .

n n

lim u = lim u

1 1

n n

lim v lim u

  =

   ^.

n

n n

lim u lim u

v lim v

  =

   ^. Exercice

Déterminer la limite éventuelle de la suite (u )_n dans chacun des cas suivants a)

2 2

2 3

n 1

n n

u n n

− +

= + + b) u_n = 4n² + −1 2n c) ( ) ( )

3 1

n

n n

u − −

= − +

Solution

a)

2 2

2

2 3

n 1

n n n

lim u lim lim

n n

− +

= =

+ +

2

2 3

n 1 n n

 

− +

 

  ²

2 2

2 3

1 1

1 1 1 1 1 1

1 1

lim n n

n n lim n n

 

− +

 

 

= = =

   

+ + + +

   

   

b)

2

2 4

4 1 2

n

lim u = lim n + − n = lim n + −1 4n²

2 2

1 0

4 1 2 lim 4 1 2

n n = n n =

+ + + +

c) ( )

( ) ( )

( )

1 1

3 1 3 3

1 1

3 1 1 1 1

3 3

n

n n

n n n

n

lim u lim lim lim

 

− − − 

− − −  

= = = =

− + + − + − 

car la suite

] [

1 1

est une suite géométrique de raison appartenant

3 3

à l'intervalle 1 1 donc sa limite égale à 0.

n

,

 

− −

 

 

−

֏

(7)

Théorème 2

Soit (u )_n une suite réelle et a fini ou infini.

2 2 1

n n n

lim u = a ⇔ lim u = lim u ₊ = a Démonstration

Supposons dans la suite que a est fini

Montrons que lim u_n = a ⇒ lim u₂_n = lim u₂_n₊₁ = a

Soit ε > 0, lim u_n = a ⇒il il existe p ∈^ℕ tel que ∀ ∈n I, n ≥ p ⇒ u_n − a < ε Et puisqu’on a pour tout n∈ I, 2n+1 ≥ 2n ≥ n alors :

2 2 1

n

u a

n p

u ₊ a

 − < ε

≥ ⇒ 

− < ε

 d’où les suites ( )û²ⁿ êt(û²ⁿ+¹) sont convergentes et

2n 2n 1

lim u = lim u ₊ = a Réciproquement

Soit ε > 0, lim u₂_n = a ⇒ il il existe p₁ ∈^ℕ tel que n ≥ p₁ ⇒ u₂_n − a < ε et lim u₂_n₊₁ = a ⇒ il il existe p₂ ∈^ℕ tel que n ≥ p₂ ⇒ u₂_n₊₁ − a < ε Posons p = sup( p , p2 ₁ 2 ₂ +1).

Soit m∈ I, deux cas peuvent se présenter

• m = 2n

1 2n m

m ≥ p ⇒ n ≥ p ⇒ u − a = u − a < ε

• m = 2n +1

2 2n 1 m

m ≥ p ⇒ n ≥ p ⇒ u ₊ − a = u − a < ε

Dans le cas où a est infini, la démonstration se fait presque de la même façon.

Exercice

Etudier la convergence de la suite (u )_n dans chacun des cas suivants : a) ^uⁿ ^{= −}( )¹ ⁿ b) ( )¹ ⁿ

un

n

= − c) 1

n 2

u cos n

n

π

 

=  

  Solution

a) ²

2 1

1 1

n n

u u ₊

=



 = − ^et

2 2 1

1 1

n n

lim u lim u ₊

=



 = −

lim u₂_n ≠ lim u₂_n₊₁ ⇒la suite (u )_n n’a pas de limite donc elle est divergente.

b)

2

2 2 1 2 1

1

0 1 0

n

n n n

u n lim u

lim u

u n

+ +

 =

  =

 ⇒

 

−  =

 =



et comme les deux suites ( )û²ⁿ êt(û²ⁿ+¹)

convergent vers la même limite 0 donc la suite ( )^uⁿ converge vers 0.

c) Posons ^vⁿ û²ⁿ ₂¹_n^cos( )ⁿ êt^wⁿ û²ⁿ+¹ ₂_n¹ ₁^{cos ( n} ² ¹⁾₂π ⁰

= = π = =  +  =

+  

( ) ( ) ( )

2 2 1

1 1 1 1

2 et 2 1

4 4 2 2 1 4 2

n n n n

x v cos n y v cos ( n )

n n ⁺ n n

= = π = = = + π = −

+ +

(8)

Il est évident que chacune des suites ( )^xⁿ ^et( )^yⁿ converge vers 0, donc la suite ( )^vⁿ converge vers 0.

Les suites ( )^vⁿ ^et( )^wⁿ convergent vers 0, donc la suite ( )^uⁿ converge vers 0.

5. Suites bornées et convergence

Théorème 3

Toute suite convergente est bornée.

Démonstration

Soit ( )^uⁿ une suite réelle qui converge vers un réel l.

donc il existe un entier naturel tel que, et 1

n n

lim u = l p n∈I n ≥ p ⇒ u − <l

Autrement dit, ^{∀ ≥}ⁿ ^{p, u}ⁿ ^{∈ −}]^l ¹^{, l} ⁺¹[^.

On pose m = inf l{ −1, u , u_n0 _n0₊1, ..., u_p₋1} et M = sup l{ +1, u , u_n0 _n0₊1, ..., u_p₋1}

Soit n∈ I.

Si n ≥ p alors m ≤ − <l 1 u_n < + ≤l 1 M

Si n₀ ≤ n < p alors un ∈{u , un0 n0₊1, ...., up₋1} donc m ≤ u_n ≤ M Remarque

Une suite bornée n’est pas nécessairement convergente.

Exemple : ^uⁿ ^{= −}( )¹ ⁿ II. Limites et ordre

Théorème 4

Soit ( )^uⁿ une suite réelle qui converge vers un réel l.

S’il existe p∈ I tel que, pour tout entiern ≥ p, u_n ≥ 0 (resp u_n ≤ 0) alors 0 (resp 0)

l ≥ l ≤

Démonstration

Supposons que l < 0.

On a lim u_n = l donc 0 il existe tel que pour tout 2

pour ε = −l > , q∈ℕ n∈ I,

n ≥ q ⇒ un − < εl ^.

2 2 2 2 0

n n n

l l l l

u − <l − ⇔ < u − <l − ⇒< u < < ce qui est impossible si on choisit n ≥ sup( p, q).

On appliquant ce résultat à la suite −u, on montre que si u_n ≤ 0 à partir d’un certain rang alors l ≤ 0.