Suites réelles

Suites réelles

1. Généralités.

2. Suites bornées, suites convergentes.

3. Critères de convergence : suites monotones.

4. Critères de convergence : suites de Cauchy.

5. Constantes mathématiques : le nombre e.

6. Constantes mathématiques : le nombre ππππ.

7. Constantes mathématiques : la constante d’Euler γγγγ. 8. Le théorème de Cauchy-Cesàro.

9. Valeurs d’adhérence d’une suite.

10. Comparaison des suites.

11. Développement d’un réel en base b.

Pierre-Jean Hormière __________

Ce chapitre est en fait la deuxième partie du chapitre sur la droite réelle. Il est volontairement pléthorique. Un professeur disposant de peu de temps pour l’enseigner aura intérêt à énoncer le théorème des suites extraites monotones à la fin du § 3. Le théorème de Bolzano-Weierstrass et la complétude de R en découlent aisément et à moindres frais. Cette approche est évoquée au § 9.3.

1. Généralités.

Selon le contexte, on entend par suite réelle une famille de réels indexée par N ou par N*.

Leur ensemble S désigne donc, soit FFFF_{(N, R) = R}^N _{, soit} FFFF(N*, R) = R^N*. Cet ensemble est muni de nombreuses opérations et relations :

• addition de deux suites : (u_n) + (v_n) = (u_n+ v_n) ; • produit par un scalaire : λ.(un) = (λ.un) ;

• multiplication (terme à terme) : (un).(v_n) = (u_n.v_n) ; • ordre naturel : (u_n) ≤ (v_n) ⇔ (∀n) u_n≤ v_n ;

• ordre lexicographique : (u_n) pppp (v_n) ⇔ u = v ou (∃n₀) u₀ = v₀ , ... , u_n0 = v_n0 , u_n0+1 < v_n0+1 . Pour les deux premières lois, S est un espace vectoriel de dimension infinie :

a) Les suites canoniques e_i = (δn,i)_n , où δn,i = 1 pour n = i, 0 sinon, forment une famille infinie libre de S, mais pas une base : elles engendrent le sous-espace vectoriel R^(N) des suites nulles à partir d’un certain rang.

b) S admet même une famille libre non dénombrable : les suites géométriques u_c = (cⁿ) (c > 0) forment une famille libre pour des raisons de comparaison locale (cf. § 10).

Pour les trois premières lois, S est une algèbre unifère, commutative et associative. Ses inversibles sont les suites à éléments non nuls.

Pour l’ordre naturel, S est un treillis : sup((u_n), (v_n)) = (sup(u_n, v_n)) ; inf((u_n), (v_n)) = (inf(u_n, v_n)).

Pour l’ordre lexicographique, S est totalement ordonné.

Autres procédés de fabrication de suites :

1) Le décalage, ou shift T : (u_n) → (u_n+1) ; c’est un endomorphisme surjectif, non injectif, de S.

La troncature T^h : (u_n) → (un+h) .

2) L’extraction : Si k → n(k) = n_k est une application strictement croissante de N dans N, on appelle suite extraite de (u_n) associée la suite (u_n(k))_k .

Exemples : • le décalage correspond à k → k + 1, la troncature à k → k + h ; • les suites (u2k) et (u_2k+1) sont extraites de (u_n) .

Remarquons que la relation « (x_n) est une suite extraite de (y_n) » est une relation de préordre dans l’espace S des suites : elle est réflexive et transitive.

3) Le panachage : si (v_n) et (w_n) sont deux suites, on appelle panachée de ces suites la suite (u_n) = (v₀ , w₀ , v₁ , w₁, ... ) définie par u_2n = v_n et u_2n+1 = w_n.

L’application P : (v , w) → u est un isomorphisme de S×S sur S. (u_n) est la panachée des suites extraites (u_2k) et (u_2k+1).

En un sens plus général, on peut dire qu’une suite est la panachée de la suite (finie ou non) de ses éléments ≥ 0 et de la suite (finie ou non) de ses éléments < 0.

4) Suites récurrentes : ce sont les suites de la forme :

u_n+1 = f(u_n) , u_n+1 = f(n, u_n) , u_n+2 = f(u_n, u_n+1) , u_n+1= f_n(u₀ , u₁ , ... , u_n) , etc.

Un chapitre sera consacré plus tard à ces suites.

5) Produit de Cauchy de deux suites u = (u_n) et v = (v_n) : c’est la suite w = u * v définie par : w_n =

∑

= +q n p

u_pv_q. S est une algèbre associative, commutative, unifère et intègre pour cette loi.

Cette algèbre n’est autre que R[[X]].

2. Suites bornées, suites convergentes.

2.1. Suites bornées.

Définition 1 : Une suite u = (u_n) est dite bornée si elle majorée et minorée, i.e. si : ∃(a, b) ∈ R×R ∀n a ≤ un ≤ b .

Cette condition équivaut à celle-ci : ∃ A ≥ 0 ∀n | u_n | ≤ A .

Proposition 2 : L’ensemble B des suites bornées est un sous-espace vectoriel, une sous-algèbre et un sous-espace de Riesz, de S.

En clair, la somme, le produit par un scalaire, le produit terme à terme, la valeur absolue, le sup et l’inf de deux suites bornées sont bornées. Tout cela est facile.

Nous montrerons plus tard que u = (u_n) → || u ||_∞ = sup | u_n |

est une norme sur B, la norme uniforme, pour laquelle B est un espace de Banach.

2.2. Suites convergentes.

Définition 2 : La suite u = (u_n)_n≥0 est dite convergente si :

(C) (∃a ∈ R) (∀ε > 0) (∃n₀ ∈ N) (∀n ≥ n₀) | u_n − a | ≤ ε .

Cela signifie que tout intervalle [a −ε, a + ε] contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang (en abrégé : àpcr).

Remarques : 1) L’axiome (C) est équivalent à :

(C') (∃a ∈ R) (∀ε > 0) (∃n₀ ∈ N) (∀n ≥ n₀) | u_n − a | < ε .

En effet, (C’) implique (C), et (C), appliqué par exemple à ε/2, implique (C’). Mais l’habitude est prise en analyse de mettre des inégalités larges chaque fois que possible, et de ne laisser les inégalités strictes que lorsqu’elles sont indispensables. Cette habitude a l’avantage de mettre l’accent sur les inégalités strictes : ainsi εεεε est toujours strictement positif !

2) n₀ dépend de ε, mais n’est pas une fonction de ε, car si (C) est vrai pour n₀, il reste vrai pour tout n'₀ ≥ n₀. Cependant, si l’on choisit le plus petit entier n₀ vérifiant (C), alors n₀ devient une vraie fonction de ε, fonction d’ailleurs décroissante.

Proposition 2 : Le réel a, s’il existe, est unique.

On l’appelle limite de la suite (u_n)_n≥0 et on le note a = lim_n→+∞ u_n. Preuve : Supposons que

(∃a ∈ R) (∀ε > 0) (∃n₀ ∈ N) (∀n ≥ n₀) | u_n − a | ≤ ε . (∃b ∈ R) (∀ε > 0) (∃n₁ ∈ N) (∀n ≥ n₁) | u_n− b | ≤ε . Soient alors ε > 0, n₀ et n₁ comme indiqués.

Posons m = max (n₀ , n₁). On a : | a − b | ≤ | a − un0 | + | u_n1 − b | ≤ 2ε . Comme cela est vrai quel que soit ε > 0, a = b.

Proposition 3 : Toute suite convergente est bornée.

Preuve : Supposons (∃a ∈ R) (∀ε > 0) (∃n₀ ∈ N) (∀n ≥ n₀) | u_n − a | ≤ ε . Prenons ε = 1. Soit n₀ tel que (∀n ≥ n₀) | u_n− a | ≤ 1 . Alors | u_n | ≤ a + 1 . Alors (∀n) | un | ≤ max ( | u0 | , …, | u_n0−1 | , a + 1 ) . cqfd.

Proposition 4 : Si u = (u_n) converge, toute suite extraite converge et a même limite.

Proposition 5 : Si (u_n) converge, (u_n+1) converge et a même limite.

Il en résulte que deux suites égales à partir d’une certain rang sont de même nature, divergentes ou convergentes : elles ont alors mêmes limites.

Proposition 6 : Si (u_n) tend vers 0, et (v_n) est bornée, (u_n.v_n) tend vers 0.

Proposition 7 : Soient (u_n) et (v_n) deux suites tendant vers a et b resp. Alors : i) (u_n + v_n) tend vers a + b ; (λ.un) tend vers λ.a ; (un.v_n) tend vers a.b ;

ii) Si (u_n) tend vers a ≠ 0, alors u_n≠ 0 à partir d’un certain rang, et (1/u_n) tend vers 1/a ; iii) |u_n| tend vers |a| ; sup(u_n, v_n) tend vers sup(a , b) ; inf(u_n, v_n) tend vers inf(a , b).

Preuve : i) (∀ε > 0) (∃n₀ ∈ N) (∀n ≥ n₀) | u_n − a | ≤ ε . (∀ε > 0) (∃n₁ ∈ N) (∀n ≥ n₁) | v_n− b | ≤ε .

Soit alors n₂ = max(n₀, n₁). Pour tout n ≥ n₂, | (u_n + v_n) − (a + b) | ≤ | u_n− a | + | v_n− b | ≤ 2ε . Pour tout n ≥ n₀, | λ.un − λ.a | ≤ |λ|.ε .

Enfin, | u_n.v_n− a.b | = | (u_n− a).v_n + a.(v_n− b) | ≤ | u_n− a |.|v_n| + |a|.| v_n− b |

≤ | u_n− a |.B + |a|.| v_n− b | car (v_n) est convergente, donc bornée ≤ ( B + |a| ).ε pour tout n ≥ n₂ .

Or 2ε, |λ|.ε et ( B + |a| ).ε sont aussi petits qu’on veut (apqv).

ii) Prenons d’abord ε = |a|/2 ;(∃n₀ ∈ N) (∀n ≥ n₀) | u_n − a | ≤ ε.

On a u_n≠ 0 à partir du rang n₀, et même | u_n | ≥ |a|/2.

Du coup,

|

un

1 ₋ a 1

|

=

|

a u

a u

n n

.

−

|

≤ 2.

|

² a

a

uⁿ−

|

pour n ≥ n₀. Soit maintenant ε > 0 ;(∃n₁ ∈ N) (∀n ≥ n₁) | u_n − a | ≤

ε2_{|a|² .}

Alors

|

un

1 ₋ a

1

|

≤ε pour n ≥ max(n₀, n₁).

iii) découle de

|

|u_n| − |a|

|

≤ | un − a |, et de sup(un, v_n) = 2 1_{( u}

n+ v_n + | u_n− vn | ) , etc.

Conséquences :

1) L’ensemble C des suites convergentes est un sous-espace vectoriel, et même une sous-algèbre de l’algèbre S des suites. L’application u = (u_n) → lim_n→+∞ u_nest une forme linéaire, et même un morphisme d’algèbres. C est aussi un sous-espace de Riesz de S (i.e. un sev et un sous-treillis).

2) La somme d’une suite convergente et d’une suite divergente est une suite divergente. En revanche, on ne peut rien dire de la somme de deux suites divergentes.

3) L’ensemble C₀₀ des suites nulles à partir d’un certain rang est un idéal de S ; l’ensemble C₀ des suites tendant vers 0 est un idéal de C, et même de B (prop. 6).

Proposition 8 : passage à la limite dans les inégalités.

Soient (u_n) et (v_n) deux suites tendant vers a et b resp.

i) Si u_n≤ v_n à partir d’un certain rang, alors a ≤ b.

ii) Si a < b, alors u_n < v_n à partir d’un certain rang .

Preuve : Montrons i) par contraposition. Si l’on avait b < a, alors en prenant ε = 3 a−b on aurait, à partir d’un certain rang v_n≤

3 2b+a _<

3 2a b+ _{≤ u}

n , contredisant l’hypothèse.

Variante directe : Soit ε > 0. A partir d’un certain rang, on a : a −ε≤ u_n≤ v_n≤ b + ε . Par conséquent, pour tout ε > 0, a − ε ≤ b + ε , donc a − b ≤ 2ε . Cela implique a − b ≤ 0.

Montrons ii). Prenons ε = 3a

b− ; àpcr, on a u_n ≤ 3 2a+b _<

32b a+ _{≤ v}

n . Proposition 9 : lemme « des gendarmes ».

Soient (u_n), (v_n) et (w_n) trois suites réelles, telles que : (∀n) u_n≤ v_n≤ w_n . Si (u_n) et (w_n) tendent vers a, alors (v_n) tend vers a.

Preuve : Soit ε > 0. A partir d’un certain rang, on a a −ε≤ u_n≤ v_n≤ w_n≤ a + ε. Cqfd.

2.3. Suites tendant vers ±±±±∞∞∞∞.

Parmi les suites divergentes, on distingue celles qui tendent vers ±∞.

Définition 3 : On dit que la suite (u_n) tend vers +∞∞∞∞ si : (∀A) (∃no) (∀n ≥ n₀) u_n≥ A.

On note lim_n→+∞ u_n= +∞ . Elle tend vers −−−−∞∞∞∞ si : (∀A) (∃no) (∀n ≥ n₀) u_n ≤ A.

Propriétés de ces suites :

1) Si (u_n) tend vers ± ∞ , elle est non bornée ; la réciproque est fausse : penser à ((−1)ⁿ.n) . 2) Si (u_n) tend vers + ∞ et si (vn) est minorée, (u_n+ v_n) tend vers +∞ ;

3) Si (u_n) tend vers + ∞ et si λ > 0, (λ.u_n) tend vers +∞ ; si λ < 0, (λ.u_n) tend vers −∞ ; 4) Si (u_n) tend vers + ∞ et si (v_n) tend vers a ≠ 0, (u_n.v_n) tend vers sgn(a).∞ ;

5) Si (u_n) tend vers ±∞ , (1/u_n) tend vers 0 ±. Rappelons les cas d’indétermination usuels :

1) Si (u_n) tend vers +∞ et (v_n) tend vers −∞ , on ne peut rien dire de (u_n+ v_n) ; 2) Si (u_n) tend vers ±∞ et (v_n) tend vers 0 , on ne peut rien dire de (u_n.v_n) ; 3) Si (u_n) tend vers 1 et (v_n) tend vers ±∞ , on ne peut rien dire de (u_n)vⁿ ;

La théorie des développements limités et asymptotiques a pour but de lever ces indéterminations.

2.4. Qui diable a inventé les epsilons ?

Longtemps j’ai cru que c’était Cauchy, le Père-la-Rigueur des mathématiques françaises du début du 19^e siècle. Or, chez Cauchy, la notion de limite reste encore vague : « On dit qu'une quantité variable devient infiniment petite lorque sa valeur numérique décroît indéfiniment d'une façon telle qu'elle converge vers la valeur 0 » , écrit-il. Cette définition laisse entendre que les suites tendant vers 0 sont décroissantes, ce qui est erroné, et surtout, elle ramène la notion d’infiniment petit à celle de notion de convergence sans définir celle-ci ; on tourne donc en rond...

En réalité, il a fallu attendre Weierstrass pour que soit donnée, vers 1850, la définition actuelle par les ε, qui débarrasse l’aussi petit qu’on veut de toute référence à l’infiniment petit. Il le fait en instaurant une sorte de dialogue très protocolaire entre ε et n0 : « Si tu diminues, j’augmente... » La définition rigoureuse de la convergence des suites parut dans les notes de cours des élèves de Weierstrass à l’université de Berlin, mais n’apparut dans les livres de mathématiques qu’à la fin du XIXème siècle. Ce qui frappe dans la définition de Weierstrass des suites convergentes est qu’elle n’est pas du tout dynamique, mais statique. ε est aussi petit qu’on veut, mais il ne bouge pas ; il ne tend pas vers 0. 1

De Newton à Cauchy, Weierstrass et Hardy, l’analyse classique s’est développée en niant l’existence des infiniments petits, et en remplaçant les infiniment petits par les ε, les «aussi petits qu'on veut», ou apqv. L’invention par A. Robinson en 1966 de l’analyse non standard a permis de redonner un statut mathématique précis à ces infiniment petits, et donc de redonner vie aux intuitions de Leibniz. Mais cela sort du cadre de ce chapitre.

2.5. Exemples.

1. Suites arithmético-géométriques u_n+1 = a.u_n + b.

Ces suites se calculent élémentairement : si a = 1, u_n = u₀ + nb. Si a ≠ 1, f : x → a.x + b a un unique point fixe α =

a

−b

1 . Par soustraction, u_n+1 − α = a.( un − α ) d’où : (∀n) un − α = aⁿ.( u₀ − α ).

Discussion : • Si |a| < 1, u_n→α pour tout u₀ . On dit que α est attractif.

• Si |a| > 1, u_n ne tend vers α que si u₀ = α ; sinon, il s’éloigne de α . On dit que α est répulsif.

• Si a = −1, f est involutive.

1 Erdös appelait familièrement «epsilons» les enfants de ses amis. Je connais beaucoup d’epsilons adultes…

2. Récurrences homographiques u_n+1 =

d u c

b u a

n n++ .

. _{, où ad −−−−bc ≠≠≠≠ 0.}

Pour éviter les problèmes dus au domaine de définition de l’homographie h(x) = d cx

b

ax++ _{, mieux} vaut adjoindre à la droite numérique un point à l’infini sans signe R~

= R ∪ {∞}. Nous expliquerons comment procéder dans la chapitre sur les espaces métriques.

On définit une action de Gl₂(R) sur R~

par (A, x) → A.x , où A = 

 d c

b a . • Si c ≠ 0 A.x =

d cxax b

++ _{si x ≠ −} c

d ; A.∞ = c

a _{; A.(−}

c

d _{) = ∞ .} • Si c = 0 A.x =

d b x

a. + si x ∈ C ; A.∞ = ∞.

Du coup, u_n = Aⁿ.u₀, et l’étude de la suite (u_n) est liée à celle des puissances de A.

Exercice 1 : On considère la suite x_n+1 = 1 + xn

1 . Étudier cette suite, et ses limites éventuelles.

3. Récurrences linéaires.

Les suites récurrentes linéaires à coefficients constants ont été étudiées dans le chapitre sur la réduction. Leur comportement à l’infini se déduit aisément de leur calcul.

Exercice 2 : Soit (u_n) la suite définie par u₀ = 0 , u₁ = 1 , u_n+2 = (u_n+1 + u_n)/2. Étudier cette suite, et déterminer sa limite par différentes méthodes.

Exercice 3 : Soit (u_n) la suite définie par u₀, u₁, u_n+2 = a.u_n+1 + b.u_n. Étudier cette suite, et discuter son comportement à l’infini.

Exercice 4 : Étudier les suites u = (u_n)_n∈N vérifiant :

(∀n ∈ N) u_n+5 = u_n+4 + 5.u_n+3− u_n+2− 8.u_n+1− 4.u_n. Lesquelles sont bornées ? convergentes ? Exercice 5 : CNS pour que toutes les suites récurrentes linéaires d’ordre p vérifiant :

(∀n ∈ N) u_n+p + a_p−1.u_n+p−1 + ... + a₀.u_n = 0 , soient bornées, resp. convergentes.

Exercice 5 : Soient (u_n) et (v_n) deux suites réelles telles que (u_n² + u_n.v_n + v_n²) tend vers 0.

Démontrer que les deux suites (u_n) et (v_n) tendent vers 0.

Exercice 6 : Limites des suites u_n =

! n aⁿ

, puis des suites u_n = _r

n

n a .

Exercice 7 : Soit (u_n) une suite réelle. On suppose que les suites (u_2k), (u_2k+1) et (u_3k) convergent.

Démontrer que la suite (u_n) converge.

Exercice 8 : Donner un exemple de suite (u_n) divergente, mais telle que, pour tout a ≥ 2 la suite (u_an) converge.

Exercice 9 : Soit (u_n) une suite tendant vers a. Démontrer que, pour toute permutation σ de N, la suite (u_σ(n)) tend aussi vers a.

Exercice 10 : Soit σ une permutation de N*, telle que la suite ( n

n)

σ( ₎ tende vers a. Que vaut a ? Exercice 11 : Pour quelles valeurs du réel θ la suite (sin(nθ)) convergent-elle ? Idem pour (cos(nθ)).

Exercice 12 : Soit I₀ = [0, 1], I_n = [a_n, b_n] la suite de segments définis par récurrence et tricho- tomie : I₁ est le premier tiers de I₀ , I₂ le deuxième tiers de I₁ , I₃ le troisième tiers de I₂ , I₄ le premier tiers de I₃ , etc. Que dire des suites (a_n) et (b_n) ? Déterminer par différentes méthodes leur limite commune.

Exercice 13 : Montrer que la suite (u_n) ne tend pas vers a si et seulement s’il existe un réel ε > 0 et une suite extraite (u_n(k)) tels que, pour tout k, | u_n(k)− a | ≥ε.

Exercice 14 : Soit (a_n) une suite positive vérifiant (∀n ∈ N) a_n+2≤ 3

1 n

n a

a ++ . Limite de (a_n) ?

Exercice 15 : Soit (a_n) une suite positive vérifiant (∀n ∈ N) an+2 ≤ 2

1 n

n a

a₊ +

. Montrer que (a_n) converge.

A ce stade, pour démontrer qu’une suite converge, il faut à l’avance connaître la limite de la suite, puis démontrer (C) à l’aide de la définition, ou du lemme des gendarmes, etc. Mais on peut établir qu’une suite converge sans connaître à l’avance sa limite, en examinant les seules propriétés des termes de la suite. C’est l’objet des critères de convergence des § 3 et 4.

3. Critères de convergence : suites monotones, suites adjacentes.

3.1. Suites monotones.

« Tout ce qui monte converge. » Pierre Teilhard de Chardin Théorème de la limite monotone : Toute suite croissante majorée converge vers sa borne supérieure. Toute suite croissante non majorée tend vers +∞.

Preuve : Si (u_n) est majorée, soit a = sup u_n.

Par définition d’une borne supérieure : (∀ε > 0) (∃n₀) a −ε≤

n0

u _≤ a . Par croissance de (u_n) , on a : (∀n ≥ n₀) a −ε≤ u_n≤ a .

Si (u_n) est non majorée, (∀A) (∃n₀) A ≤

n0

u . Alors (∀n ≥ n₀) A ≤ un . cqfd.

Corollaire : Toute suite décroissante minorée converge vers sa borne inférieure. Toute suite décroissante non minorée tend vers −∞.

Remarques : 1) Il y a des suites convergentes qui ne sont ni croissantes, ni décroissantes. Ainsi, la suite a_n = (−1)ⁿ/n, mais aussi la suite positive b_n= 1/n si n est pair, 1/(n+2) si n est impair. Cela suggère une typologie des suites convergentes : celles qui sont monotones à partir d’un certain rang, et celles qui oscillent.

2) Une suite croissante est majorée ssi elle converge.

3) Soit K un corps ordonné vérifiant l’ « axiome de la limite monotone » : (LM) Toute suite croissante majorée converge.

Je dis que K vérifie les axiomes d’Archimède et des segments emboîtés.

3.2. Suites adjacentes.

Définition 1 : Deux suites (a_n) et (b_n) sont dites adjacentes si (a_n) est croissante, (b_n) décroissante, et lim_n→+∞ ( b_n − an) = 0.

Proposition 1 : Deux suites adjacentes convergent et ont même limite.

Preuve : L’hypothèse faite sur les deux suites implique que (∀n) b_n≤ b_n+1≤ a_n+1≤ a_n. En effet, si l’on avait b_k > a_k pour un indice k, la suite décroissante (b_n − a_n) ne pourrait tendre vers 0…

Concluons ! La suite (b_n) est croissante majorée par a₀, donc converge vers β. La suite (a_n) est décroissante minorée par b₀, donc converge vers α. Et lim_n→+∞ (b_n − a_n) = 0 implique α = β.

Plus simplement, il suffisait d’invoquer l’axiome des segments emboités (§ 4, prop. 1).

Corollaire : Soit (u_n) une suite réelle ; si les suites (u_2k) et (u_2k+1) sont adjacentes, la suite (u_n) est convergente.

Remarque : on verra plus tard le « critère des séries alternées » découler de ce corollaire.

3.3. Suites doublement monotones.

Définition 2 : Soit (u_m,n) une suite double de nombres réels, i. e. une famille indexée par N². On dit que la suite est doublement croissante si : m ≤ m' et n ≤ n' ⇒ u_m,n≤ u_m’,n’ .

Cette condition équivaut à la conjonction des deux propriétés :

m ≤ m' ⇒ (∀n) u_mn ≤ u_m'n et n ≤ n' ⇒ (∀m) u_mn ≤ u_mn' .

Proposition 2 : Soit (u_m,n) une suite doublement croissante. Si (u_m,n) est majorée, alors on a : lim_m→+∞ lim_n→+∞ u_m,n = lim_n→+∞ lim_m→+∞ u_m,n = sup u_m,n.

Si (u_m,n) est non majorée, cela reste vrai, en posant : sup u_m,n= + ∞.

Preuve : Le mieux est d’utiliser le théorème d’associativité des bornes supérieures.

Dans R , on a : sup u_m,n = sup_m sup_n u_m,n

Or pour tout m, (u_m,n)_n est croissante, donc a_m = sup_n u_m,n = lim_n→+∞ u_m,n.

De plus, a_m≤ a_m+1 ; il suffit de passer à la limite (en n) dans l’inégalité u_m,n≤ u_m+1,n . Par suite, sup_m a_m = lim_m→+∞ a_m . Il reste à échanger les indices.

3.4. Exemples.

Exemple 1 : La suite u_n =

² 1

1 ₊

² 2

1 _{+ ... +}

² 1

n converge . Elle est croissante, car u_n+1 − un =

)² 1 (

+1

n > 0 . Montrons qu’elle est majorée.

1ère idée : majoration intégrale. La décroissance de t →

² 1

t donne l’encadrement intégral : ( 1)²

+1

n ^≤ n 1₋

1 1+

n ⁼

∫

_n^n+1dt_t² ^≤ _n¹_²

qui fournit par addition (voir figure) : 1 −

1 1+

n ⁼

∫

₁^n+1dt_t² ^{≤ un ≤ 1 +}

∫

₁^ndt_t² ^{= 2 −} _n^{1 ,}

On en déduit que (u_n) est majorée par 2.

2ème idée : majoration par somme télescopique.

u_n < 1 + 2 . 1

1 ₊ 3 . 2

1 _{+ ... +}

) 1 (

1− n

n ^{= 1 + 1−}2 1 ₊

2 1₋

3

1 _{+ ... +} 1 1− n ⁻ n

1 _{= 2 −} n 1 _{< 2 .} Exercice 1 : Retrouver la convergence de (u_n) en lui adjoignant la suite v_n = u_n +

n 1 _. Exercice 2 : Le problème de Bâle. On se propose de montrer que (u_n) tend vers

6

π

² (Euler, 1735 ²).

1) Comment choisir a et b de façon que l’on ait : (∀n ∈ N*)

∫

₀^{π(at+bt²).cos(nt).dt =} _n¹_² ^?

2) En déduire que

∑

= n

k ₁k² 1 ₌

6

π

² _{+ R}

n , où R_n =

∫

₀^π(₂^t

_π

^{² −t).sin((}_2sin(²ⁿ⁺_t¹_/2^)t₎^{/2).dt .}

3) Montrer que f : t → (^2t

π

^{² − t)}

/

(2.sin 2

t ) est de classe C¹ sur [0, π], en déduire que R_n→ 0.

Exercice 3 : Autre démonstration.

Pour tout n ≥ 1, soit P_n(X) = i 2

1

[

( X + i )ⁿ⁺¹− ( X − i )ⁿ⁺¹

]

. 1) Montrer que P_n(X) a pour racines cotan

+1 n

k

π

_{, 1 ≤ k ≤ n.}

2) En déduire la factorisation de P_2m(X) , puis les formules :

∑

= +

m

k m

an k

1

1)

²(2

cot π ₌

3 ) 1 2 ( m−

m et

∑

= +

m

k m

1 k )

1

²(2 sin

1

π

^{= m(2m3+2)}

3) Démontrer que ∀t ∈ ]0,

π

2_{[ cotan}2 t <

² 1

t ^< sin²t

1 . En déduire lim_m→+∞

∑

= m

k ₁k² 1 ₌

6

π

² _.

Exemple 2 : La suite H_n = 1 + 2

1 _{+ ... +} n

1 tend vers +∞∞∞ . ∞

Ce résultat était déjà connu de Nicole d’Oresme, évêque de Lisieux, professeur au Collège de Navarre au XIVème siècle, qui écrit : « Cette grandeur est supérieure à n’importe quelle grandeur que l’on s’est donnée. »

Tout d’abord, la suite (H_n) est croissante, car H_n+1− H_n = 1 1+ n ^. 1ère idée : H_2n− H_n =

1 1+

n ^{+ ... +} 2n 1 _≥

n 2

1 _{+ ... +} n 2

1 ₌ 2 1 _. Si (H_n) convergeait vers L, on aurait à la limite 0 ≥

2 1 _. Ou aussi, par récurrence : H_2^m≥ H₁ +

2 m _{; (H}

n) est non majorée, donc tend vers +∞ .

2 La convergence de la suite (u_n) était connue de Pietro Mengoli, qui demanda en 1644 d’en calculer la somme.

Euler sécha sur la question de 1731 à 1735…

2ème idée (Mengoli, vers 1650) : H_n+1− H_n−2 = 1 1− n ⁺ n

1 ₊ 1 1+ n ^> n

3 _. Du coup, H_3n+1 = 1 + (

2 1 ₊

3 1 ₊

4 1_{) + (}

5 1 ₊

6 1 ₊

7

1) + ... + ( 1 3

1− n ⁺ 3n

1 ₊ 1 3

1+ n ⁾ > 1 +

3 3 ₊

6

3 _{+ ... +} n 3

3 _{= 1 + H}

n . Si (H_n) convergeait vers L, on aurait à la limite L ≥ 1 + L . 3ème idée : comparaison intégrale. La décroissance de t → t

1 donne l’encadrement intégral : (A)

1 1+

n ^≤ ln(n + 1) − ln n =

∫

_n^n+1dt_t ^≤ _n¹

qui fournit par addition ( faire une figure !!! ) :

ln(n + 1) =

∫

₁^n+1dt_t ^{≤ Hn≤ 1 +}

∫

₁^ndt_t = 1 + ln n , On en déduit que (H_n) tend vers +∞ (voir § 11).

Notons que (A) découle aussi du th des accroissements finis.

Exemple 3 : La suite u_n =

∏

= n +

k ₁ k )

² 1 1

( converge.

Elle est croissante car

n n

u

u +1 = 1 + )² 1 (

+1

n > 1. Montrons qu’elle est majorée : ln u_n =

∑

= n +

k ₁ k )

² 1 1

ln( _≤

∑

= n

k ₁k²

1 , en vertu du lemme : (∀u > −1) ln(1 + u) ≤ u.

Or la suite n →

∑

= n

k ₁k²

1 est majorée, en vertu de l’exemple 1.

Exercice 4 : Montrer que (u_n) converge en considérant la suite v_n = u_n( 1 + n 1 _). Remarque : On peut montrer que lim u_n , notée aussi

∏

^+∞

=

+

1

²) 1 1 (

k k ^{, vaut sh}

π π

_.

Exemple 4 : La suite u_n = 1 −−−−

2 1 ₊

3

1 _{−−−− ... +} n

)n 1

1 (− ⁻

converge.

La suite (u_n) n’est pas monotone, mais oscillante : u₁ > u₂ < u₃ > u₄ < ...

Cela suggère de montrer que les suites (u_2k) et (u_2k+1) sont adjacentes...

Nous allons montrer que lim u_n = ln 2. Cela découle du développement en série de ln(1 + x) : Proposition : ∀x ∈ ]−1, 1] ln(1 + x) =

∑

^+∞

=

− − 1

) 1

1 (

n n

n xⁿ

= x − 2

² x ₊

3 x3

− 4 x4

+ ...

Preuve : ln(1 + x) =

∫

₀^x₁^dt_+t ⁼

∫

₀^{x[1−t+ t2} − ... + (−1)ⁿ⁻¹ tⁿ⁻¹ + (−1)ⁿ t tⁿ

+ 1

]

. dt = x −

2

² x ₊

3 x3

− ... + (−1)ⁿ⁻¹ n xⁿ

+ (−1)ⁿ R_n(x) , où R_n(x) =

∫

₀^x₁^t₊ⁿ_t^.dt.

• Pour 0 ≤ x ≤ 1, on a : 0 ≤ Rn(x) =

∫

₀^x₁^t₊ⁿ_t^{.dt ≤}

∫

₀^{xtn.dt =} _n^x₊ⁿ⁺₁^{1 ≤} _n¹₊₁ ^.

• Pour −1 < x < 0, | Rn(x) | =

∫

_x⁰⁽₁⁻₊^t)_t^{n.dt ≤} _x¹₊₁

∫

_x^{0(−t)n.dt =} _(x+⁽⁻₁^x₎₍⁾_nⁿ⁺₊¹₁₎ ^.

Dans les deux cas, lim_n→∞ R_n(x) = 0. cqfd.

Exercice 5 : Obtenir un nouveau développement en série de ln 2 = −ln 2

1; en déduire une valeur approchée de ln 2 à 10⁻⁵ près. Concevoir une table de logarithmes reposant sur le calcul de ln(1 + x) pour x ∈ [0,

2 1_].

Exercice 6 : Développer en série ln x

−x + 1

1 pour 0 < x < 1. En déduire une nouvelle expression de ln 2, et une valeur approchée à 10⁻⁷ près.

Exercice 7 : Montrer que la suite s_n =

[ ]

∑

=

− − n

i

i 1 i

2 / ) 1

)(

1

( converge. Donner sa limite à l’aide de π et ln 2.

Exercice 8 : On considère les suites : u_n =

) 2 ....(

6 . 4 . 2

) 1 2 ...(

5 . 3 . 1

n

n− et v_n=

) 1 2 ...(

5 . 3 . 1

) 2 ...(

6 . 4 .

2 n+

n . 1) Montrer qu’elles convergent.

2) Montrer les encadrements n 2

1 _{< u}

n <

1 2

1n+ ^et 2 1

1n+ ^{< vn <} 1 1+ n ^. 3) On forme w_n =

n n

v

u . Montrer que (w_n) est décroissante et minorée par 2

1. Soit W sa limite.

4) En déduire les équivalents : v_n∼∼∼∼

Wn 2

1 _{et u}

n∼ n W 2 ^.

3

4. Critères de convergence 2 : suites et critère de Cauchy.

Les critères de convergence établis au § 3 concernent les suites monotones et celles qui se ramènent à des suites monotones. Le critère de convergence que nous allons voir (théorème 2) est beaucoup plus ambitieux, mais plus abstrait.

Définition : Une suite réelle u = (u_n)_n≥0 est dite de Cauchy si elle vérifie : (ALC) (∀ε > 0) (∃n₀ ∈ N) (∀p, q ≥ n₀) | u_q − up| ≤ ε .

Cela signifie que les u_n sont arbitrairement proches les uns des autres, à partir d’un certain rang.

L’exercice suivant met en forme cette idée :

Exercice 1 : Soient H_n = { u_n, u_n+1, u_n+2, ... } et d_n = sup{ | u_q − up| ; q et p ≥ n } le « diamètre » de H_n. Montrer que (u_n) est une suite de Cauchy ssi la suite (d_n) tend en décroissant vers 0.

Proposition 1 : Toute suite convergente est de Cauchy.

Preuve : Si a est la limite de la suite (u_n), (∀ε > 0) (∃n₀ ∈ N) (∀p ≥ n₀) | u_p − a | ≤ ε/2 . Alors (∀p, q ≥ n₀) | u_p − uq| ≤ | up − a | + | a − uq| ≤ ε .

Théorème 2 : Toute suite de Cauchy est convergente.

On exprime ce résultat en disant que R est complet.

Lemme 1 : De toute suite de Cauchy u = (u_n) on peut extraire une suite v = (v_k) = (u_n(k)) telle que : (∀k) | vk+1 − vk| ≤ ₁

2 1k+ . Preuve : Définissons la suite n(k) par récurrence ainsi :

3 Les intégrales de Wallis (§ 10.4) permettent de relier W à π, et de réinterpréter cet exercice.

Soit n(0) le plus petit entier tel que (∀p, q ≥ n(0)) | u_q− u_p| ≤ 2 1 _; Soit n(1) le plus petit entier > n(0) tel que (∀p, q ≥ n(1)) | u_q− u_p | ≤

² 2

1 _;

Si n(0) < n(1) < ... < n(k) sont construits, soit n(k+1) le plus petit entier > n(k) tel que : (∀p, q ≥ n(k+1)) | u_q− u_p| ≤ ₂

2 1+

k . La suite v = (v_k) = (u_n(k)) répond à la question.

Lemme 2 : Toute suite v = (v_k)_k≥0 telle que : (∀k) | v_k+1− v_k| ≤ ₁ 2

1k+ est convergente.

Preuve : Les segments I_k =

[

v_k− _k 2

1 _{; v}

k + _k 2

1

]

forment une suite de segments emboîtés (le vérifier) de longueurs ↓ 0. Si a est leur unique point commun, on a | a − v_k| ≤ _k

2

1 _{, donc (v}

k) tend vers a.

Lemme 3 : Si, d’une suite de Cauchy (u_n), on peut extraire une suite convergente, alors toute la suite converge.

Preuve : Supposons u_n(k)→ a quand k → +∞, et montrons u_n→ a quand n → +∞. On a n(0) < n(1) < n(2) < ... donc k ≤ n(k) pour tout k.

Par définition : (∀ε > 0) (∃n₀ ∈ N) (∀p et q ≥ n₀) | u_q− u_p| ≤ε . Pour k ≥ n₀ , on a n(k) ≥ k ≥ n₀ , donc (∀q ≥ n₀) | u_q− u_n(k)| ≤ε .

Fixons q et faisons k → +∞ ; il vient | uq − a | ≤ ε . Cela est vrai pour tout q ≥ n₀. cqfd.

Exercice 2 : Une démonstration plus courte de la complétude de R.

1) Soit (u_n) une suite de Cauchy de réels. Montrer que (u_n) est bornée.

2) Pour tout m on pose a_m = inf_n≥m u_n et b_m = sup_n≥m u_n . Démontrer que I_m = [a_m, b_m] est une suite de segments emboités de longueur tendant vers 0, et conclure.

Exercice 3 : Autre démonstration de la complétude de R.

1) Soit (u_n) une suite réelle. Montrer qu’on peut extraire de (u_n) une suite monotone.

2) Soit (u_n) une suite de Cauchy. Montrer que (u_n) est bornée.

3) Déduire de 1) et 2) que si (u_n) est une suite de Cauchy, elle admet une sous-suite convergente.

4) Conclure à l’aide du lemme 3.

Remarques : 1) Attention au critère de Cauchy ! Si (u_n) est une suite de Cauchy, alors les suites (u_n+1 − un) et (u_n+k − un) tendent vers 0 pour tout k fixé. Mais les réciproques sont fausses :

• La suite un = ln n vérifie pour tout k, ln(n + k) − ln n = ln(1 + n

k ) → 0 quand n → +∞.

• La suite un = l + 2

1 _{+ ... +} n

1 , qui est l’«équivalent discret» de la suite précédente, vérifie elle aussi u_n+k− u_n→ 0 quand n → +∞. Or aucune des deux n’est de Cauchy, puisqu’elles divergent ! Dans le critère de Cauchy, les indices p et q ne sont pas solidaires, mais indépendants.

2) Un peu d’histoire.

L’histoire du théorème fondamental mérite d’être rappelée. Après divers tâtonnements, il a été pressenti par Cauchy dans les années 1820, et utilisé comme évident par Cauchy et Abel, mais ni Cauchy, ni ses successeurs immédiats (Catalan, etc.) n’ont réussi à le démontrer. Chacune de leurs tentatives abou-tissait à une pétition de principe, à déduire ce théorème d’une propriété qui lui était équivalente. Il fallut attendre le début des années 1870 pour que le français Charles Méray et l’allemand Georg Cantor s’aperçoivent que ce théorème ne pouvait être démontré parce qu’il

énonçait une propriété fondamentale, et presque axiomatique, de la droite numérique. En effet, si l’on examine la démonstration précédente, le caractère complet de R se déduit des axiomes d’Archimède et des segments emboîtés. Réciproquement, un corps ordonné K dans lequel toute suite de Cauchy converge vérifie ces axiomes, en vertu du :

Lemme 6 : Toute suite croissante majorée est une suite de Cauchy.

Du coup, si toute suite de Cauchy converge, toute suite croissante majorée converge. Or on a vu en 7.1. que K vérifie les axiomes d’Archimède et des segments emboîtés. Ainsi, le théorème 2 ci-dessus a bien été démontré, mais on l’a déduit de propriétés qui lui sont équivalentes.

En pratique, on a recours au critère de convergence de Cauchy lorsque les critères de convergence usuels (ceux des § 5 et 7) échouent.

Exercice 3 : Soit (u_n) une suite réelle telle que : ∃ρ ∈ [0, 1[ ∃λ ≥ 0 ∀n ∈ N | un+1 − un| ≤ λ.ρⁿ . 1) Montrer que (u_n) converge.

2) Retrouver le résultat précédent en choisissant α tel que I_n = [ u_n − α.ρⁿ , u_n + α.ρⁿ ] soit une suite de segments emboîtés.

Exercice 4 : Soit (ε_n)_n≥1 une suite de réels à valeurs dans {−1 , 0 , +1}.

Montrer que la suite : u_n = 2

ε

1 ₊

² 2

ε

2 _{+ ... +} n n

2

ε converge, et a une limite α∈ [−1 , 1].

Exercice 5 : Soit (ε_n)_n≥1 une suite de réels à valeurs dans {−1 , 0 , +1}.

Montrer que la suite : u_n =

² 1

ε

1 ₊

² 2

ε

2 _{+ ... +}

² n

εn converge, et a une limite α ∈ [−

6

π

² _,

6

π

²_]. 4

Les trois paragraphes suivants présentent les plus importantes constantes mathématiques : e, π et γ. Certains développements anticipent sur la suite, mais ont justement le mérite d’introduire aux grandes notions de l’analyse : sommes et produits infinis, fractions continues, interversion de limites... (La construction des savoirs n’est pas linéaire, elle est bien plutôt cyclique, ou en spirale. S’il veut être vivant et efficace, leur exposé doit l’être aussi.) On ignore toujours bien des choses à propos de ces trois nombres. Il existe des tas d’autres constantes mathématiques, qu’on trouvera répertoriées dans des livres spécialisés, et sur Internet.

5. Constantes mathématiques : le nombre e.

« En ce temps-là, des nombres, il y en avait seulement deux : le nombre e et le nombre π^{. »}

Italo Calvino, Combien parions-nous ? Théorème 1 : La suite E_n =

∑

≤

≤k nk

0 !

1 _{= 1 +}

! 1

1 _{+ ... +}

! 1

n converge vers un irrationnel, noté e.⁵ Preuve : • La suite (En) est croissante majorée par 3. En effet E_n+1 − En =

)!

1 (

+1

n ^{> 0.}

Notant u_k =

! 1

k , il vient

k k

u u ₊₁

= 1 1+

k ^{↓ 0 , d’où} _k

k

u u ₊₁

≤ 2

1 _{pour k ≥ 1 et u}

k≤ ₁

2 1−

k pour k ≥ 2.

On peut donc majorer E_n par la somme des termes d’une progression géométrique.

4 Il est naturel de se demander si tout réel α ∈ [−π²/6 , π²/6] est limite d’une suite de ce type. Cela relève de la théorie de la représentation additive des réels : cf. problème sur les bases discrètes.

5 Notation due à Euler. Mais cette constante fut encore longtemps notée c.

Pour n ≥ 2 , on a : E_n≤ 1 + 1 + 2 1 ₊

² 2

1 _{+ ... +} 2 1

1−

n = 1 + 2 / 1 1

2 / 1 1

−

− ⁿ < 3.

La suite est donc convergente, et on a l’encadrement 2 < e ≤ 3, et même 5/2 < e ≤ 3.

• Majorons e − E_p . Pour k ≥ p + 1,

k k

u u ₊₁

≤ 2

1+

p , donc, pour q ≥ p : 0 ≤ E_q− E_p =

)!

1 (

+1

p ⁺ ( 2)!

+1

p ^{+ ... +} ! 1 q ≤

)!

1 (

+1

p ^.

[

1 + 2 1+

p ⁺ ( 2)² +1

p ^{+ ... +} ( 2) ¹ 1 − −

+ ^{q p} p

]

<

)!

1 ).(

1 (

2+ + +

p p

p

Faisons tendre q vers +∞ ; il vient : 0 ≤ e − Ep ≤

)!

1 )(

1 (

2+ + +

p p

p .

• Supposons e rationnel : e = b

a , où (a, b) ∈ N*².

Après réduction au même dénominateur, E_n s’écrit :

! n

An , où A_n∈ N.

Du coup, 0 ≤ b a ₋

! p Ap

≤ ( 1)( 1)!

2+ + +

p p

p , et 0 ≤ a.p! − b.A_p≤ b )² 1 (

++2 p

p .

a.p! − b.Ap est une suite d’entiers relatifs tendant vers 0, donc est nulle à partir d’un certain rang.

Cela signifie que e = E_p à partir d’un certain rang. Or cela est manifestement impossible. cqfd.

Remarques : 1) Cette preuve de l’irrationalité de e est due à Joseph Fourier (1815). Euler avait démontré ce résultat en 1737 à l’aide des fractions continues.

2) (E_n) étant une suite de Cauchy de rationnels, on retrouve le fait que Q n’est pas complet.

Exercice 1 : Redémontrer le théorème 1 en considérant la suite E'_n = E_n +

! . 1

n n ^. Proposition 2 : La convergence est rapide : on a la majoration 0 ≤ e − E_n≤

)!

1 )(

1 (

2+ + +

n n

n

et l’équivalent : e − E_n∼

)!

1 (

+1 n ^. Preuve : Il découle de ce qui précède que :

)!

1 (

+1

n ^{≤ En+1− En < e − En ≤} ( 1)( 1)!

2+ + +

n n

n _.

D'où : 1 ≤ (n + 1)! [ e − E_n] ≤ 1 +2 + n

n . Les gendarmes concluent.

Corollaire : e ≈≈≈≈ 2,71828182845904523536028747135…

Remarque 1 : La convergence est si rapide que E_n est une valeur approchée de e à grande précision.

Naturellement l’évaluation de E_n se fait par un schéma de Horner pour diminuer les erreurs d’arrondis : E_n = 1 +

1 1_{( 1 +}

2 1_{( 1 +}

3

1( 1 … ( 1 + n

1_{) … )))} Remarque 2 : La convergence est si rapide que le reste R_n =

∑

^+∞

+

= 1 ! 1

n

k k ^{= e − En} de la série est équivalent à son premier terme R_n∼

)!

1 (

+1

n . Et du coup, R_n a un da à tous ordres : R_n =

)!

1 (

+1

n ⁺ ( 2)!

+1

n ^{+ ... +} ( )!

1

n+p ^{+ o(}( )!

1 n+p ^).

Remarque 3 : La constante e est connue avec une précision de 1.250.000.000 décimales (durée du calcul 79 heures, machine IBM ThinkPad, auteur du calcul Xavier Gourdon, 1999)