Théorème de Weierstrass

Théorème de Weierstrass

Pabion, Elements d'analyse complexe, page 144 Théorème :

Soit(an)n une suite injective de nombres complexes tels quelim

n∞an=∞.

Etant donnée une suite (bn)n de nombres complexes non nuls, il existe une fonction F méromorphe surCtelle que :

1. Lesan sont exactement les pôles de F

2. Pour toutn,an est un pôle simple de résidu bn.

On peut toujours trouver une suite(qn)n d'entiers positifs telle que pour toutr vériant0≤r <1, X+∞

n=0

|bn|r^qn <+∞

Ainsi, choisissons une suite strictement croissante qui vérie pour toutn≥1, ln|bn|

q_n ≤ln µ

1 + 1 n

¶

On a alors pour toutn≥1 :

lim sup

m∞ |bm|^1/qm ≤1 + 1 n Autrement dit,

lim sup

m∞ |bm|^1/qm ≤1 Donc la série entière P

n≥0

bnz^qna un rayon de convergence≥1, ce qui assure bien que^+∞P

n=0

|bn|r^qn<+∞. Mais, il peut exister des suites convenablement plus économiques (par exemples constantes). Une suite (an)n étant choisie, supposons encore, que lesan sont tous non nuls. On peut alors considérer la série suivante :

X+∞

n=0

bnz^pn

a^pnⁿ(z−an) avecpn =qn−1 Le terme de rangna un pôle simplez=an, de résidu :

bna^p_nⁿ a^pnⁿ =bn

SoitR >0. Il n'existe qu'un nombre ni d'indicesntels que|an| ≤R. Choisissons un nombre rtel que0< r <1. Il existe un entierN tel que pour tousn≥N,

|an| ≥ 1

r et R

|an| ≤r (donc|an|> R) On a pour toutzvériant|z| ≤Ret toutn≥N :

¯¯

¯¯ bnz^pn a^pnⁿ(z−an)

¯¯

¯¯≤ |bn| 1−r

r^pn

|an| ≤ |bn| 1−rr^qn Donc la série ^+∞P

n=N bnz^pn

a^pn_n (z−a_n) converge uniformément pour tout|z| ≤R. Ainsi, la série voulue converge uniformément sur tout compact, et dénit une fonction méromorphe qui a bien les propriétés requises.

Théorème de Weierstrass:

SoitS un ensemble localement ni dansC divisé en deux parties disjointesZ et P. On attache à tout point zdeS un entier positifm(z).

Alors il existe une fonctionF méromorphe sur Ctelle que : 1. Z est l'ensemble des zéros deF.

2. P est l'ensemble des pôles deF.

3. pour toutz∈S,m(z)est l'ordre du pôle ou du zéro z.

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On sait déjà qu'il existe une fonction méromorphe g, dont S est l'ensemble des pôles, chaque pôle z∈S étant simple et de résidum(z)siz∈Z,−m(z)siz∈P.

Soit∆ le domaineC\S. Fixons un pointz0∈∆. Pour toutz∈∆, il existe un cheminγ qui reliez0

à zen restant dans ∆.

L'intégraleR

γg(z)dzdépend a priori deγ. Mais siδ est un autre chemin qui reliez0 à z dans∆, la formule des résidus appliquée au circuitλ=γ−δmontre que la diérence :

Z

γ

g(z)dz− Z

δ

g(z)dz ∈ 2iπZ Donc le nombre exp³R

γg(z)dz

´ ne dépend que de z, et non du choix de γ. On dénit ainsi une fonctionF sur∆.

Montrons queF est holomorphe.

Soitω0∈∆. Il exister >0tel que le disque ouvertD=D(ω0, r[soit inclus dans∆. La fonctionga une primitiveGsurD et on peut supposer queG(ω0) = 0. On a alors pour toutω∈∆:

F(ω) =F(ω0) exp (G(ω))

DoncF est holomorphe dansD, et a pour dérivée :

F⁰(ω) =F(ω0) exp (G(ω))G⁰(ω) =F(ω0) exp (G(ω))g(ω) =F(ω)g(ω) Ainsi, on a pour toutz∈∆ :

F⁰(z) F(z) =g(z) Tout pointz∈Z (resp. P) est un pôle simple de F⁰

F, de résidum(z)(resp. −m(z)).

Toutz∈Z est donc une fausse singularité, qui donne donc un zéro d'ordrem(z). Toutz∈P est un pôle d'ordre m(z).

Application :

Toute fonction méromorphe dansCest le quotient de deux fonctions entières.

En eet, soitF une fonction méromorphe dansC.

iF n'a pas de pôle, elle est entière et on peut écrireF =F/1.

Sinon, il existe une fonction entière g, dont les zéros sont les pôles de F, et qui a en tout pôle de F un zéros de même ordre. Alorsf =gF n'a que de fausses singularités, donc se prolonge en une fonction entière. On a alorsF =f /g.

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