B. Théorème d’approximation de Weierstrass

SESSION 2015

Concours commun Mines-Ponts

PREMIÈRE ÉPREUVE. FILIÈRE MP

A. Opérateur de Volterra

1)Soitf∈E. Les fonctionV(f)et−V^∗(f)sont définie et de classeC¹sur h 0,π

2 i

et (V(f))^′= (−V^∗(f))^′ =f.

Soit(f, g)∈E². Les deux fonctionsV(f)et −V^∗(g)sont de classeC¹ sur le segmenth 0,π

2

i. On peut donc effectuer une intégration par parties et on obtient

hV(f), gi= Z^π2

0

V(f)(x)g(x)dx= [V(f)(x)(−V^∗(g)(x))]

π 2

0 − Z^π2

0

f(x)(−V^∗(g)(x))dx

= −V(f)π 2

V^∗(g)π 2

+V(f)(0)V^∗(g)(0) + Z^π2

0

f(x)V^∗(g)(x)dx

=hf, V^∗(g)i.

V^∗ est donc l’adjoint deV pour le produit scalaireh, i.

2)(V^∗◦V)^∗=V^∗◦(V^∗)^∗=V^∗◦Vet donc V^∗◦V est un endomorphisme symétrique de (E,h, i). Soit alorsf∈E.

hV^∗◦V(f), fi=hV^∗(V(f)), fi=hV(f), V(f)i=kV(f)k²>0.

De plus, hV^∗◦V(f), fi= 0 ⇔ V(f) = 0 ⇔ ∀x∈ h 0,π

2 i

, Zx

0

f(t) dt = 0. En dérivant cette dernière égalité, on obtient f=0et on a donc montré par contraposition que pourf∈E\ {0},hV^∗◦V(f), fi> 0. Ainsi,V^∗◦V est un endomorphisme symétrique défini positif.

Soientλ une valeur propre deV^∗◦V puisf un vecteur propre associé.f n’est pas nul ethV^∗◦V(f), fi=λhf, fi=λkfk² puis

λ= hV^∗◦V(f), fi kfk² > 0, carf6=0et donckfk²> 0ethV^∗◦V(f), fi> 0.

3)f_λest continue surh 0,π

2 i

. DoncV(f_λ)est de classeC¹surh 0,π

2 i

puisV^∗◦V(f_λ)est de classeC²surh 0,π

2 i

. Puisque λ6=0, on en déduit quef_λ= 1

λV^∗◦V(f_λ)est de classeC²surh 0,π

2 i. En dérivant deux fois l’égalitéfλ= 1

λV^∗◦V(fλ), on obtientf_λ^′ = −1

λV(fλ)puisf_λ^′′= −1

λfλ et donc f_λ^′′+1

λfλ=0.

De plus,fλ

π 2

= 1 λ

Z^π2

0

V(f)(x)dx=0 etf_λ^′(0) = −1

λV(f_λ) (0) =0.

4)Les solutions surh 0,π

2

idey^′′+ 1

λy=0 sont les fonctions de la formex7→αcos x

√λ

+βsin x

√λ

,(α, β)∈R². Les conditions yπ

2

= 0 et y^′(0) = 0 s’écrivent αcos π

2√ λ

+βsin

π 2√ λ

= 0 et β

√λ = 0 ou encore β = 0 et αcos

π 2√ λ

=0.

Or, cos π

2√ λ

=0⇔∃n∈Z/ π 2√

λ = π

2 +nπ⇔∃n∈N/ 1

√λ =2n+1⇔∃n∈N/ λ= 1 (2n+1)². 1 er cas.Si λn’est pas de la forme 1

(2n+1)², le système précédent admet l’unique solution(α, β) = (0, 0)ou encore le problèmey^′′+ 1

λy=0 etyπ 2

=0 ety^′(0) =0admet l’unique solution y=0ou enfin il n’existe pas de fonctions non nullef∈Etelle que V^∗◦V(f) =λf. Dans ce cas,λn’est pas valeur propre deV^∗◦V.

2 ème cas. Supposons qu’il existe n∈ Ntel que λ= 1

(2n+1)². Les fonctions solutions du problème y^′′+ 1

λy = 0 et yπ

2

=0et y^′(0) =0 sont les fonctions de la formex7→αcos((2n+1)x),α∈Rou encore sifest un élément deE tel queV^∗◦V(f) = 1

(2n+1)²f, nécessairement il existeα∈Rtel que, pour tout réelx,f(x) =αcos((2n+1)x).

Réciproquement, pourn ∈N, posonsf_n(x) =cos((2n+1)x). Alors, pour tout réelx, V(f)(x) = Zx

0

cos((2n+1)t) dt= 1

2n+1sin((2n+1)x)puis

V^∗(V(f))(x) = 1 2n+1

Z^π2

x

sin((2n+1)t)dt= 1

(2n+1)²cos((2n+1)x).

Donc,f_n est un élément non nul deEvérifiantV^∗◦V(f_n) = 1

(2n+1)²f_n ce qui montre que 1

(2n+1)² est valeur propre deV^∗◦V.

On a montré que les valeurs propres deV^∗◦V sont lesλn = 1

(2n+1)²,n∈N. Le sous-espace propre associé àλn est la droite vectorielle Vect(f_n)oùf_n est la fonctionx7→cos((2n+1)x).

B. Théorème d’approximation de Weierstrass

5)On sait queS_n suitB(n, x)la loi binomiale de paramètresnetx.

Soiti∈J1, nK.E(X_i) =0P(X_i=0) +1P(X_i=1) =0(1−x) +1×x=xet V(X_i) =E X²_i

− (E(X_i))²=0²P(X_i=0) +1²P(X_i=1) −x²=x−x²=x(1−x).

L’espérance est linéaire. DoncE(S_n) = Xn

i=1

E(X_i) =nx. D’autre part, puisque les variables X_i sont mutuellement indé- pendantes,

V(S_n) = Xn

i=1

V(X_i) =nx(1−x).

On a montré que l’espérance deS_n estnxet la variance deS_n estnx(1−x).

6)La loi de S_n est :∀k∈J0, nK, P(S_n =k) = n

k

x^k(1−x)^n−k. Donc, pourα > 0, X

06k6n

|^kn−x|>α

n k

x^k(1−x)^n−k=P(|Z_n−x|>α).

L’espérance deZ_n est E(Z_n) = E(S_n)

n =x et la variance deZ_n est V(Z_n) = V(S_n)

n² = x(1−x)

n . D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev,

X

06k6n

|n^k−x|^>α n

k

x^k(1−x)^n−k=P(|Z_n−x|>α)6 V(Z_n)

α² = x(1−x) nα² .

Enfin, pour tout réelxde[0, 1], x(1−x) = 1 4−

x− 1

2 2

6 1

4. Finalement, X

06k6n

|^kn−x|^>α n

k

x^k(1−x)^n−k=P(|Z_n−x|>α)6 1 4nα².

7)Soitx∈[0, 1].f(x) =f(x) Xn

k=0

P(S_n=k) = Xn

k=0

n k

x^k(1−x)^n−kf(x). D’autre part, d’après un théorème de transfert,

B_n(f)(x) =E(f(Z_n)) = Xn

k=0

f k

n

P

Z_n = k n

= Xn

k=0

f k

n

P(S_n =k)

= Xn

k=0

n k

x^k(1−x)^n−kf k

n

,

et finalement,B_n(f)(x) −f(x) = Xn

k=0

n k

x^k(1−x)^n−k

f k

n

−f(x)

.

Soitε > 0. f est continue sur le segment[0, 1]et donc est uniformément continue sur ce segment d’après le théorème de Heine. Par suite, il existeα > 0tel que pour tout(a, b)∈[0, 1]²,|a−b|6α⇒|f(a) −f(b)6 ε

2. D’autre part,f étant continue sur le segment[0, 1],fest bornée sur ce segment. Soit alorsx∈[0, 1].

|B_n(f)(x) −f(x)|=

Xn

k=0

n k

x^k(1−x)^n−k

f k

n

−f(x)

6 X

06k6n

|^kn−x|^>α n

k

x^k(1−x)^n−k

f

k n

+|f(x)|

+ X

06k6n

|n^k−x|^<α n

k

x^k(1−x)^n−k f

k n

−f(x)

62kfk^∞ X

06k6n

|n^k−x|>α

n k

x^k(1−x)^n−k+ ε 2

X

06k6n

|^kn−x|<α

n k

x^k(1−x)^n−k

62kfk^∞× 1 4nα²+ ε

2 Xn

k=0

n k

x^k(1−x)^n−k(d’après la question précédente)

= kfk^∞ 2nα² +ε

2 Maintenant, kfk^∞

2nα² tend vers0quand ntend vers+∞et donc, il existe un entier naturel non nul n₀, indépendant dex, tel que pourn>n₀, kfk^∞

2nα² 6 ε

2. Pourn>n₀, et pour tout x∈[0, 1], on a|B_n(f)(x) −f(x)|6ε 2 +ε

2 =ε.

On a montré que ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N^∗/ ∀x ∈[0, 1], |B_n(f)(x) −f(x)| 6ε et donc que la suite de polynômes (B_n(f))_n∈N∗ converge uniformément versfsur[0, 1].

C. Développement de V

◦ V ( f ) en série trigonométrique

8)Soitn∈N. D’après la formule du binôme deNewton, pour tout réel t,

cosⁿt=

e^it+e^−it 2

n

= 1 2ⁿ

Xn

k=0

n k

e^itn−k

e^−itk

= 1 2ⁿ

Xn

k=0

n k

e^i(n−2k)t

= 1 2ⁿ

X

06k6ⁿ2

n k

e^i(n−2k)t+ n

n−k

ei(n−2(n−k))t

= 1 2ⁿ

X

06k6ⁿ2

n k

e^i(n−2k)t+e^{−i(n−2k)t}

= 1 2ⁿ⁻¹

X

06k6ⁿ2

n k

cos((n−2k)t).

Pour06k6 n

2, on a 06n−2k6net donc la fonctiont7→cosⁿ(t)est un élément deFn.

Plus généralement, pour tout k∈7→ J0, nK, la fonction t 7→cos^k(t)est un élément de F_k et donc de F_n. Puisque F_n est un espace vectoriel, toute combinaison linéaire de ces fonctions est encore un élément deF_n et en particulier, sipest un polynôme de degrén, la fonctiont7→p(cos(t))est un élément deF_n.

9)Soit(n, p)∈N².hcn, cpi= Zπ

0

cos(nt)cos(pt)dt= 1 2

Zπ 0

(cos(n+p)t) +cos((n−p)t)) dt.

1 er cas.Si n6=p, alorsn−p6=0 et d’autre part,n+p6=0carn+p>1+0 > 0. Dans ce cas, hc_n, c_piG= 1

2

sin(n+p)t)

n+p +sin((n−p)t) n−p

π 0

=0.

2 ème cas.Si n=p6=0, alorsn+p=2n6=0et donc hcn, cpiG=hcn, cniG= 1

2 Zπ

0

(1+cos(2n)t)) dt= π 2. 3 ème cas.Si n=p=0, alors

hcn, cpiG=hc0, c0iG= Zπ

0

dt=π.

D’après les calculs précédents, la famille(α_nc_n)_n∈Nest orthonormée où α₀= 1

√π et ∀n>1, α_n=

√2

√π.

Soitfun élément deG. Soitg=f◦Arccos. Arccos est continue sur[−1, 1], à valeurs dans[0, π]etfest continue sur[0, π].

Donc,gest continue sur[−1, 1]. D’après le théorème d’approximation deWeierstrass, il existe une suite de polynômes (p_n)_n∈Nconvergeant uniformément versg sur[−1, 1]. Pourn∈N, posonsP_n =p_n◦cos de sorte quep_n =P_n◦Arccos.

Puisque Arccos est une bijection de[−1, 1]sur[0, π],

{|f(t) −P_n(t)|, t∈[0, π]}={|f(Arccos(x)) −P_n(Arccos(x))|, x∈[−1, 1]}={|g(x) −p_n(x)|, x∈[−1, 1]}.

On en déduit que pour tout entier natureln,kf−Pnk∞=sup{|f(t) −Pn(t)|, t∈[0, π]}=sup{|g(x) −pn(x)|, x∈[−1, 1]}

puis que la suite de fonctions(P_n)_n∈Nconverge uniformément vers fsur[0, π].

Posons F = S

n∈NFn = Vect(cn)_n∈N = Vect(αncn)_n∈N. D’après la question 8), chaque Pn est un élément de F et

n→lim+∞kf−Pnk^∞=0. Maintenant

kf−Pnk_G= sZπ

0

(f(x) −Pn(x))²dx6√

πkf−Pnk∞, et donc lim

n→+∞kf−P_nkG=0. On a ainsi trouvé une suite d’éléments de Vect(α_nc_n)_n∈N convergeant versfpourk kG.F est donc dense dans l’espace(G,k kG)ou encore la famille orthonormée(α_nc_n)_n∈Nest totale.

10)Soitε > 0. D’après ce qui précède, il existe n0∈Net un élémentfn0 deFn0 tel quekf−fn0kG6ε. On sait alors que

f−PFn0(f) G

6kf−fn0k_G6ε.

Soitn>n0. Puisque Fn0 ⊂Fn et donc quePFn0(f)∈Fn, kf−PFn(f)kG6

f−PFn0(f) G

6ε.

On a montré que∀ε > 0,∃n0∈N/ ∀n>n0,kf−PFn(f)k_G6εet donc que lim

n→+∞kf−PFn(f)k_G=0.

Supposons de plus que la suite(P_Fn(f))_n∈Nconverge uniformément sur[0, π]vers une fonction g.gest continue sur[0, π]

en tant que limite uniforme sur[0, π]d’une suite de fonctions continues sur[0, π]ou encoreg est un élément deG.

Pour tout entier natureln,

06kf−gkG6kf−P_n(f)kG+kP_n(f) −gkG6kf−P_n(f)kG+√

πkP_n(f) −gk^∞. En faisant tendrenvers+∞, on obtientkf−gkG=0et doncf=g.

11)Soitx∈h 0,π

2

i. La famille (α_kck)_06k6n est une base orthonormée deFn. Donc

P_Fn(g_x) = Xn

k=0

hg_x, α_kc_kiGα_kc_k = Xn

k=0

α²_khg_x, c_kiGc_k. Soitp∈J0, nK.

hg_x, c_piG= Z^π2

0

g_x(t)cos(pt)dt− Zπ

π 2

g_x(π−t)cos(pt)dt

= Z^π2

0

gx(t)cos(pt)dt− Z0

π 2

gx(u)cos(p(π−u)) (−du) (en posantu=π−t)

= (1− (−1)^p) Z^π2

0

g_x(t)cos(pt)dt

Ceci montre déjà que sipest pair,hgx, cpiG=0. Posonsp=2k+1 oùkest un entier tel que06k6 n−1 2 . 1

2hgx, cpiG= Z^π2

0

π

2 −max(x, t)

cos((2k+1)t)dt

= Zx

0

π 2 −x

cos((2k+1)t)dt+ Z^π2

x

π 2 −t

cos((2k+1)t)dt

=π

2 −xsin((2k+1)x) 2k+1 +

π

2 −tsin((2k+1)t) 2k+1

π 2

x

+ 1

2k+1 Z^π2

x

sin((2k+1)t)dt

= 1

(2k+1)²

−cos

(2k+1)π 2

) +cos((2k+1)x)

= cos((2k+1)x) (2k+1)²

puisα²_2k+1hgx, cpiG=2×

√2

√π

!2

cos((2k+1)x) (2k+1)² = 4

π

cos((2k+1)x)

(2k+1)² . On a montré que

∀n∈N, PFn(gx) = 4 π

X

06k6ⁿ⁻2¹

cos((2k+1)x) (2k+1)² c2k+1.

D’après la question 10),kgx−PFn(g_x)kGtend vers0quandntend vers+∞. Vérifions que la suite(P_Fn(g_x))_n∈Nconverge uniformément sur[0, π]vers une certaine fonctiong.

Soit n∈ N. Pour tout réel t de [0, π],

cos((2n+1)x)

(2n+1)² cos((2n+1)t)

6 1

(2n+1)² qui est le terme général d’une série numérique convergente. Donc, la série de fonctions de terme généralet7→ cos((2n+1)x)

(2n+1)² cos((2n+1)t)converge norma- lement et donc uniformément sur[0, π]. Il revient au même de dire que la suite(PFn(gx))_n∈N converge uniformément et en particulier simplement sur[0, π]vers une certaine fonctiong.

D’après la question 10),g=gx et on a donc montré que∀(x, t)∈h 0,π

2

i×[0, π], 4 π

+∞

X

n=0

cos((2n+1)x)

(2n+1)² cos((2n+1)t) = g_x(t). En particulier,

∀(x, t)∈h 0,π

2 i2

, π

2 −max(x, t) = 4 π

+∞

X

n=0

cos((2n+1)x)

(2n+1)² cos((2n+1)t).

12)Soitf∈E. Soitx∈h 0,π

2 i. Z^π2

0

g_x(t)dt= Zx

0

π 2 −x

f(t)dt+ Z^π2

x

π 2 −t

f(t)dt= π 2

Z^π2

0

f(t)dt−xV(f)(x) −V^∗(xf)(x).

Puisquefest continue surh 0,π

2

i, la fonctionG : x7→

Z^π2

0

g_x(t)dtest dérivable surh 0,π

2

iet pour tout réelxdeh 0,π

2 i, G^′(x) = −V(f)(x) −xf(x) +xf(x) = −V(f)(x).

Donc la fonction G est une primitive de la fonction−V(f)sur h 0,π

2

i de même que la fonctionV^∗◦V(f). On en déduit que pour tout réelx,

G(x) =V^∗◦V(f)(x) +G(0) −V^∗◦V(f)(0).

OrG(0) = Z^π2

0

π 2 −t

f(t)dtet, d’autre part, à l’aide d’une intégration par parties licite,

V^∗◦V(f)(0) = Z^π2

0

V(f)(x)dx= Z^π2

0

Zx

0

f(t)dt

dx

=

x−π 2

Zx 0

f(t)dt ^π2

0

− Z^π2

0

x−π

2

f(x)dx

= Z^π2

0

π 2 −x

f(x)dx=G(0).

On a montré que

∀x∈h 0,π

2 i

, V^∗◦V(f)(x) = Z^π2

0

gx(t)f(t)dt= 4 π

Z^π2

0 +∞

X

n=0

cos((2n+1)x)

(2n+1)² cos((2n+1)t)

! f(t)dt.

Soitn∈N. Pour tout réelt∈h 0,π

2 i,

cos((2n+1)x)

(2n+1)² cos((2n+1)t)f(t)

6 kfk^∞

(2n+1)² qui est le terme général d’une série numérique convergente. La série de fonctions de terme généralt7→ cos((2n+1)x)

(2n+1)² cos((2n+1)t)f(t)converge normalement et donc uniformément sur le segmenth

0,π 2 i

. On peut donc intégrer terme à terme et on obtient

∀f∈E, ∀x∈h 0,π

2 i

, V^∗◦V(f)(x) =

+∞

X

n=0

4 π(2n+1)²

Z^π2

0

f(t)cos((2n+1)t)dt

!

cos((2n+1)x).

Les nombresan(f) = 4 π(2n+1)²

Z^π2

0

f(t)cos((2n+1)t)dtconviennent.

D. Equations différentielles du type Sturm-Liouville

13)Soitn∈N. D’après la question 4), V^∗◦V(ϕ_n) = 1

(2n+1)²ϕ_n. Donc, d’après la question 1), hV^∗◦V(f), ϕni=hV(f), V(ϕn)i=hV(f), V^∗◦V(ϕn)i= 1

(2n+1)²hf, ϕni. 14)•Supposons queg soit solution deSsurh

0,π 2

i. Alors, pour tout réelxdeh 0,π

2 i, g^′(x) =g^′(x) −g^′(0) =

Zx 0

(−λg(t) −h(t)) dt= −λV(f)(x) −V(h(x)), puis

g(x) =g(x) −gπ 2

= − Z^π2

x

g^′(t)dt= Z^π2

x

(λV(f)(t) +V(h(t))) dt=λV^∗◦V(g)(x) +V^∗◦V(h)(x), et doncg=λV^∗◦V(g) +V^∗◦V(h).

• Supposons queg=λV^∗◦V(g) +V^∗◦V(h). On a vu à la question 1) que V^∗◦V(g)est deux fois dérivable sur h 0,π

2 i et que(V^∗◦V(g))^′ = −V(g)puis(V^∗◦V(g))^′′= −g. De même,V^∗◦V(h)est deux fois dérivable de dérivée seconde−h.

Donc ,gest deux fois dérivable surh 0,π

2 i

et g^′′= −λg−hou encoreg^′′+λg+h=0.

Ensuite,V^∗◦V(g)π 2

= Z^π2

π 2

V(f)(t)dt=0=V^∗◦V(h)et doncgπ 2

=0.

De même,g^′(0) = −λV(g)(0) −V(h)(0) =0et doncg est solution deSsurh 0,π

2 i.

•Soitn∈N. D’après la question 13) 1

(2n+1)²hh, ϕni=hV^∗◦V(h), ϕ_ni=hg−λV^∗◦V(g), ϕ_ni=hg, ϕni−λhV^∗◦V(g), ϕ_ni

=

1− λ

(2n+1)²

hg, ϕ_ni.

•D’après la question 12),

g=λV^∗◦V(g) +V^∗◦V(h) =λ

+∞

X

n=0

an(g)×

√π 2 ϕn+

+∞

X

n=0

an(h)×π 2ϕn

=

+∞

X

n=0

√π

2 (λa_n(g) +an(h))ϕn.

Maintenant,an(g) = 4 π(2n+1)²

Z^π2

0

g(t)cos((2n+1)t)dt= 2

√π(2n+1)²hg, ϕniet de mêmean(h) = 2

√π(2n+1)²hg, ϕni. Donc,

√π

2 (λan(g) +an(h)) = λ

(2n+1)²hg, ϕni+ 1

(2n+1)²hh, ϕni=hg, ϕni.

Finalement,g=

+∞

X

n=0

hg, ϕniϕn.

15) Pour tout entier naturel net pour tout x de h 0,π

2 i,

1

(2n+1)²−λhh, ϕniϕn(x)

6 1

|(2n+1)²−λ|khk × kϕnk ×

√2

π = 2khk

√π|(2n+1)²−λ| (d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz). Puisque la série numérique de terme général 2khk

√π|(2n+1)²−λ| converge, la série de fonctions de terme général 1

(2n+1)²−λhh, ϕniϕn converge normalement et donc uniformément surh

0,π 2

i.

La question précédente montre que nécessairement, si g est solution de S, alors pour tout entier naturel n, hg, ϕ_ni = hh, ϕni

(2n+1)²−λ puis que

g=

+∞

X

n=0

hh, ϕ_ni (2n+1)²−λϕn.

Ainsi,Sa au plus une solution à savoirg=

+∞

X

n=0

hh, ϕni (2n+1)²−λϕn. Réciproquement, soitg=

+∞

X

n=0

hh, ϕ_ni

(2n+1)²−λϕ_n. Puisque la série de fonctions hh, ϕ_ni

(2n+1)²−λϕ_n converge normalement et donc uniformément surh

0,π 2

iet que chaque fonctionϕn est continue surh 0,π

2

i,g est définie et continue surh 0,π

2 i. Soit n ∈ N. a_n(h) = 4

π(2n+1)² Z^π2

0

h(t)cos((2n+1)t) dt = 2

√π(2n+1)²hh, ϕ_ni. D’autre part, puisque pour tout t ∈ h

0,π 2

i, |cos((2n+1)t)| 6 1, la série de fonctions de terme général t 7→ hh, ϕ_pi

(2p+1)²−λϕ_p(t)cos((2n+1)t), p ∈ N, est encore normalement convergente et donc uniformément convergente sur le segmenth

0,π 2 i

. On peut intégrer terme à terme et on obtient

a_n(g) = 4 π(2n+1)²

Z^π2

0

g(t)cos((2n+1)t)dt= 4 π(2n+1)²

Z^π2

0





+∞

X

p=0

hh, ϕ_pi

(2p+1)²−λϕ_p(t)



cos((2n+1)t)dt

= 4

π(2n+1)²

+∞

X

p=0

hh, ϕpi (2p+1)²−λ

Z^π2

0

ϕp(t)cos((2n+1)t)dt= 2

√π(2n+1)²

+∞

X

p=0

hh, ϕpi

(2p+1)²−λhϕp, ϕni

= 2

√π(2n+1)²

+∞

X

p=0

hh, ϕ_pi

(2p+1)²−λδ_n,p= 2

√π(2n+1)²

hh, ϕ_ni (2n+1)²−λ On en déduit que

λV^∗◦V(g) +V^∗◦V(h) =λ

+∞

X

n=0

a_n(g)

√π 2 ϕ_n+

+∞

X

n=0

a_n(h)

√π 2 ϕ_n

=

+∞

X

n=0

λ 2

√π(2n+1)²

hh, ϕni

(2n+1)²−λ+ 2

√π(2n+1)²hh, ϕni √

π 2 ϕn

=

+∞

X

n=0

λ

(2n+1)²−λ+1

hh, ϕ_ni (2n+1)²ϕ_n =

+∞

X

n=0

hh, ϕ_ni (2n+1)²−λϕ_n

=g et doncgest l’unique solution deS.

16) Supposons qu’il existe p ∈ N tel que λ = (2p+1)². D’après la question 14), on doit avoir 1

(2p+1)²hh, ϕpi =

1− (2p+1)² (2p+1)²

hg, ϕpi=0. Donc, si hh, ϕpi 6=0,Sn’a pas de solution.

Si hh, ϕ_pi = 0, soit g = X

n∈N n6=p

hh, ϕ_ni

(2n+1)²−λϕ_n. Un raisonnement analogue à celui de la question 15) montre que g est solution deS. D’autre part, la fonction ϕp est solution de l’équation homogèney^′′+ (2p+1)²y = 0 et vérifie de plus ϕp

π 2

= ϕ_p^′(0) = 0. Donc, les fonctions de la forme Cϕp+ X

n∈N n6=p

hh, ϕni

(2n+1)²−λϕn, C ∈ R, sont des solutions de S. S admet une infinité de solutions.