Première composition Mines-Ponts 2015 – MP Opérateur de Volterra et équations différentielles

Première composition Mines-Ponts 2015 – MP

Opérateur de Volterra et équations différentielles

L’objectif de ce problème est l’étude d’un opérateur deVolterra appliqué notamment à la résolution de certaines équations différentielles.

On considère l’espace vectorielE des fonctions réelles définies et continues sur l’intervalle h 0;π

2 i

, muni du produit scalaire défini pour tousf,g dansE par :

hf|gi= Z ^π₂

0

f(t)g(t) dt .

On notekfk=p

hf|fila norme associée à ce produit scalaire. Un endomorphismeV deEest ditsymétrique défini positif si pour tousf,g dansE, on a :hV(f)|gi=hf|V(g)iet si de plushV(f)|fi>0 pour toutf dansE non nul.

Les parties Iet IIsont mutuellement indépendantes.

PARTIE I - Opérateur deVolterra

On noteV etV^∗ les endomorphismes deE définis par les formules : V(f)(x) =

Z x 0

f(t) dt

V^∗(f)(x) = Z π/2

x

f(t) dt pour tousf dansE etxdansh

0;π 2 i

.

1) En observant queV(f) et−V^∗(f) sont des primitives def, montrer que pour tousf,gdansE, on a : hV(f)|gi=hf|V^∗(g)i.

2) Montrer que l’endomorphismeV^∗◦V est symétrique défini positif. En déduire que ses valeurs propres sont strictement positives.

Soitλune valeur propre deV^∗◦V etf_λ un vecteur propre associé àλ.

3) Montrer que f_λ est de classe C² et est solution de l’équation différentielle : y⁰⁰+ 1

λy = 0 avec les conditionsy(^π₂) =y⁰(0) = 0.

4) En déduire queλ est une valeur propre deV^∗◦V si et seulement s’il existe nentier naturel tel que

λ= 1

(2n+ 1)². Préciser alors les vecteurs propres associés.

PARTIE II - Théorème d’approximation de Weierstrass

Soitnun entier strictement positif,xdans [0; 1] etf : [0; 1]→Rune fonction continue. On noteX1, X2, . . . , Xn

des variables aléatoires mutuellement indépendantes et distribuées selon la même loi deBernoullide pa- ramètrex. On note également :Sn =X1+X2+· · ·+Xn, Zn= S_n

n etBn(f)(x) =E(f(Zn)).

5) Rappeler sans démonstration, la loi deS_n. En déduire, avec démonstration, les valeurs de l’espérance et de la variance deSn en fonction denet dex.

6) En utilisant l’inégalité deBienaymé-Tchebychev, montrer que pour toutαstrictement positif X

0≤k≤n

|_n^k−x|^≥α n

k

x^k(1−x)^n−k ≤ 1 4nα²

7) Montrer

Bn(f)(x)−f(x) =

n

X

k=0

n k

x^k(1−x)^n−k

f k

n

−f(x)

et en déduire que la suite (Bn(f))_n∈N converge uniformément vers f sur [0; 1]. On pourra utiliser le résultat de la question précédente ainsi que le théorème deHeine.

On a donc établi lethéorème de Weierstrasssur le segment [0; 1] : toute fonction continue sur [0; 1] y est limite uniforme d’une suite de polynômes. On en déduit aisément, et on l’admet, le théorème d’approximation deWeierstrass sur un segment quelconque [a;b].

PARTIE III - Développement de V^∗◦V(f)en série trigonométrique

On considère maintenant l’espace vectorielGdes fonctions réelles définies et continues sur l’intervalle [0;π], muni du produit scalaire défini pour tousf,g dansGpar :

hf|gi_G= Z π

0

f(t)g(t) dt . On note :kfk_G=p

hf|fi_G la norme associée à ce produit scalaire.

Pournentier, on définit la fonctioncndansGpar la formulecn(t) = cos(nt) et on noteFn= Vect(c0, . . . , cn) le sous espace vectoriel deGengendré par (c0, . . . , cn). On note égalementPF_n la projection orthogonale de GsurFn.

8) Montrer que si p est un polynôme de degré n entier, la fonction t 7−→ p(cos(t)) définie sur [0;π]

appartient àFn.

9) Trouver une suite (αn)n∈Nde nombres réels strictement positifs telle que la suite (αncn)n∈Nsoit ortho- normée. Déduire du théorème d’approximation deWeierstrassque la suite orthonormée (αncn)n∈N

est totale.

10) Soitf dansG, montrer que kf−PF_n(f)k_G tend vers 0 lorsquentend vers l’infini. Si de plus la suite (PFn(f))n∈N converge uniformément sur [0;π] vers une fonctiong, montrerg=f.

Pour toutxdansh 0;π

2 i

, on définit la fonctiongx sur [0;π] par la formule :

gx(t) =





 π

2 −max(x, t) si 0≤t≤π 2

−gx(π−t) si π

2 ≤t≤π

11) Soitnentier. Déterminer les coordonnées deP_Fn(g_x) sur la base (c₀, c₁, . . . , c_n) deF_n. En déduire pour toutt dansh

0;π 2 i

: π

2 −max(x, t) = 4 π

+∞

X

n=0

cos((2n+ 1)x)

(2n+ 1)² cos((2n+ 1)t). 12) Montrer que pour tousf dansEet xdansh

0;π 2 i

: V^∗◦V(f)(x) =

Z ^π₂

0

π

2 −max(x, t) f(t) dt

et en déduire la suite des coefficients (an(f))_n∈N pour laquelle on a V^∗◦V(f) =

+∞

X

n=0

an(f)c2n+1.

PARTIE IV - Équations différentielles du type Sturm-Liouville SoithdansE,λréel et l’équation différentielle :

(S)







y⁰⁰+λy+h= 0 y(^π₂) =y⁰(0) = 0 On définit, pour tout entiern,ϕn dansE par la formule :ϕn= 2

√πc2n+1. 13) Montrer pour tousf dansE etnentier,hV^∗◦V(f)|ϕni= 1

(2n+ 1)²hf|ϕni.

14) Montrer quegest solution de l’équation différentielle (S) si et seulement sig=λV^∗◦V(g) +V^∗◦V(h) et que dans ce cas, on a les formules suivantes pour tout entiern:

1− λ

(2n+ 1)²

hg|ϕ_ni= 1

(2n+ 1)²hh|ϕ_ni et

g=

+∞

X

n=0

hg|ϕniϕn .

15) On suppose dans cette question queλn’estpaségal au carré d’un entier impair. Montrer que la série X 1

(2n+ 1)²−λhh|ϕ_niϕ_n est normalement convergente. Exhiber alors une solution de (S).

On suppose maintenant qu’il existepentier tel queλ= (2p+ 1)². Soitpun tel entier.

16) Montrer que sihh|ϕ_pi= 0 alors (S) a une infinité de solutions, puis exhiber l’une d’entre elles. Que peut-on dire sihh|ϕ_pi 6= 0 ?

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PARTIE I - Opérateur deVolterra

1) D’après le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral, pour f dans E, V(f) et −V^∗(f) sont des primitives def, la première s’annulant en 0 et la seconde s’annulant enπ/2. Pourf etgdans E, on a donc (V(f)V^∗(g))⁰ =f V^∗(g)−V(f)get, par intégration surh

0;π 2 i

et annulation en 0 etπ/2 deV(f)V^∗(g), il vient hV(f)|gi=hf|V^∗(g)i.

2) Pourf et gdansE, on a d’après ce qui précède

hV^∗◦V(f)|gi=hV(f)|V(g)i=hf|V^∗◦V(g)i

et donchV^∗◦V(f)|fi=kV(f)k². De plusV(f) = 0 entraînef =V(f)⁰ = 0 et donc sif est non nul, hV^∗◦V(f)|fi>0, ce qui montre que V^∗◦V est symétrique défini positif.

Il résulte alors du théorème spectral queV^∗◦V est orthodiagonalisable et, si (λ, f) est un couple propre pour cet endomorphisme, on aλkfk² =hV^∗◦V(f)|fi=kV(f)k² et donc λ >0 puisque f est non nul et qu’on vient de voir qu’alorsV(f) n’est pas nul. Il en résulte que

les valeurs propres deV^∗◦V sont strictement positives.

3) PuisqueV^∗◦V(fλ) est la primitive s’annulant enπ/2 de la primitive s’annulant en 0 deλfλ, qui est continue, elle est de classeC²et donc, puisqueλest non nul,fλl’est aussi et il vient, en dérivant deux fois :

fλ

π 2

= 1

λV^∗◦V(fλ) = 0 et f_λ⁰ =−1 λV(fλ) puis

f_λ⁰(0) =−1

λV(fλ)(0) = 0 et f_λ⁰⁰=−1 λfλ

i.e. fλ est de classeC² et vérifiey⁰⁰+1

λy= 0 ety(^π₂) =y⁰(0) = 0.

4) On en déduit, par intégration de l’équation différentielle, que f_λ est combinaison linéaire de x 7→

cos(x/√

λ) et de x7→sin(x/√

λ). En raison de la conditionf_λ⁰(0) = 0, f_λ est en fait un multiple de x7→cos(x/√

λ) et la condition surfλ(π/2) s’écrit ^π

2√

λ ∈ ^π₂ +πZet comme le membre de droite est positif on en déduit que nécessairement 1

√λ∈1+2N. Réciproquement la fonction précédente convient, i.e.

λ ∈ Sp(V^∗◦V) si et seulement s’il existe n dans N tel que λ = 1

(2n+ 1)² et alors les vecteurs propres associés sont de la formex7→αcos((2n+ 1)x), avecα∈R^∗.

PARTIE II - Théorème d’approximation de Weierstrass 5) Sn suit une loi binomiale de paramètres (n, x).

Puisque Sn est bornée, elle admet des moments de tous ordres. Et on a, par indépendance et par linéarité de l’espérance

E(Sn) =

n

X

k=1

E(Xk) et V (Sn) =

n

X

k=1

V (Xk),

i.e. E(Sn) =nxet V (Sn) =nx(1−x).

1

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6) Puisque Sn admet un moment d’ordre 2, par inégalité de Bienaymé-Tchebychev, il vient, pour α strictement positif,

P(|Sn−nx| ≥nα)≤ V(Sn)

(nα)² =nx(1−x) n²α² .

Or, par inégalité arithmético-géométrique, puisquexet 1−xsont positifs, on ax(1−x) =p

x(1−x)²≤ x+ (1−x)

2

²

= 1

4 avec égalité si et seulement six= 1−x=1

2. De plus (|S_n−nx| ≥nα) = X

0≤k≤n

|^k_n−x|≥α

(S_n =k)

et donc, par additivité des probabilités, X

0≤k≤n

|^kn−x|^≥α n

k

x^k(1−x)^n−k≤ 1 4nα².

7) D’après la formule de transfert, pourgcontinue de [0; 1] dansR, on a E(g(Z_n)) =E

g

S_n n

=

n

X

k=0

n k

x^k(1−x)^n−kg k

n

et donc, en appliquant cette formule àg=f −f(x) et en utilisant la linéarité de l’espérance, il vient B_n(g)(x) =B_n(f)(x)−f(x)E(1) =B_n(f)(x)−f(x)

puis B_n(f)(x)−f(x) =

n

X

k=0

n k

x^k(1−x)^n−k

f k

n

−f(x)

.

Soitεstrictement positif. Puisquef est continue sur le segment [0; 1], il résulte de la compacité de ce segment et du théorème deHeine, quef y est uniformément continue. Soit alorsαtel que

∀(t, u)∈[0; 1]² |t−u| ≤α=⇒ |f(t)−f(u)| ≤ε .

Puisque [0; 1] est compact etf y est continue, il résulte du théorème deWeierstrassqu’il est y est bornée. En notantk·k_∞ la norme de la convergence uniforme sur [0; 1], on a donc, pour 0≤k ≤n,

f

k n

−f(x)

≤2kfk_∞par inégalité triangulaire. En séparant la somme précédente selon les valeurs dekvérifiant ou non

k n−x

< α, il vient, encore par inégalité triangulaire,

|Bn(f)(x)−f(x)| ≤εP(|Sn−nx|< nα) + 2kfk_∞ 1 4nα² et donc, puisqu’une probabilité est inférieure à 1 et pournsupérieur à kfk_∞

2α² , on a|B_n(f)(x)−f(x)| ≤ 2ε. Comme cette majoration est indépendante dex, on en déduit que, pour le mêmen(dépendant de α, donc deε, mais pas dex), on a kBn(f)−fk_∞≤2ε. Donc

(Bn(f))_n∈N converge uniformément vers f sur [0; 1].

2

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PARTIE III - Développement de V^∗◦V(f)en série trigonométrique

8) Soit pun polynôme de degré nentier. La fonction t 7−→p(cos(t)), définie sur [0;π], appartient donc Vect(1,cos, . . . ,cosⁿ). Or il résulte de la formule d’Euleret de celle du binôme deNewtonque, pour kdansJ1;nK, on a

cos^k = 1 2^k−1

X

0≤j<^k₂

k j

cn−2j+δk∈2Z

2^k k

k/2

c0

où,δ_k∈2Zvaut 1 ou 0 selon quekest pair ou non. En particulierc_k ∈F_net donc p◦cos appartient à F_n. 9) Pour n et m dans N, on a 2c_nc_m = c_n+m+c_|n−m|, d’après les formules d’addition du cosinus (et en utilisant la parité du cosinus) et donc, par intégration sur [0;π] et par linéarité de l’intégrale, 2hc_n|c_mi=π(δ_n+m+δ_n−m), oùδ_ivaut 1 ou 0 selon queiest nul ou pas. On en déduit que la famille (cn)_n∈N est orthogonale, puis qu’on a kc0k² =π et kcnk² = π

2 si n >0. Par conséquent, en posant α0= 1

√π et αn = r2

π pourn∈N^∗, (αncn)n∈N est orthonormée.

Soit f dans G. Alors f ◦arccos est une fonction continue sur [−1; 1] par composition de fonctions continues et on dispose donc, grâce au théorème d’approximation de Weierstrass, d’une suite pn

de fonctions polynomiales telle que lim

n sup

[−1;1]

|f ◦arccos−pn|= 0 ou encore, puisque cos est à valeurs dans [−1; 1], lim

n sup

[0;π]

|f◦arccos◦cos−pn◦cos|= 0. Il résulte alors de l’inégalité de la moyenne qu’on a kf−pn◦cosk_G = o(1), et donc d(f, Fn) = o(1), d’après la question précédente. Autrement dit l’adhérence de Vect(αncn)_n∈N contientf, i.e. (αncn)_n∈N est totale.

10) D’après le théorème de Pythagore kf−PF_n(f)k_G = d(f, Fn) et donc, d’après ce qui précède, limkf−PF_n(f)k_G= 0.

Si la suite (PF_n(f))_n∈N converge uniformément sur [0;π] vers une fonction g, alors cette fonction est continue, en tant que limite uniforme de fonctions continues et, par inégalité triangulaire et d’après l’inégalité de la moyenne, on a

0≤ kf−gk_G≤ kf −PF_n(f)k_G+kPF_n(f)−gk_G≤ kf −PF_n(f)k_G+√

πkPF_n(f)−gk_∞=o(1) où la norme de la convergence uniforme est prise sur [0;π], puisque le majorant est somme de deux termes tendant vers 0. Par encadrement des limites,kf−gk= 0 et donc g=f.

11) Soitxdansh 0;π

2 i

. La fonctiongxest bien définie en π

2 car les deux formules donnant sa valeur donnent toutes les deux 0. Soithxet kx les restrictions degxàh

0;π 2 i

ethπ 2;πi

respectivement. Comme, pour aet b réels on a max(a, b) = 1

2(a+b+|b−a|),h_x est continue et doncg_x est continue surh 0;π

2 h

et continue à gauche en π

2. Par composition avec des fonctions affines, la continuité de h_x entraîne celle dek_xet donc celle deg_xsuriπ

2;πi

ainsi que sa continuité à droite en π

2. Par conséquentg_xappartient àG. Puisque la famille (α_kc_k)_n∈N est totale, en particulier (α_kc_k)_k≤n est une base orthonormée deF_n et on a

P_Fn(g_x) =

n

X

k=0

hgx|α_kc_kiα_kc_k

3

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de sorte qu’en notant (ak)_k≤n les coordonnées cherchées, on a

∀k∈J0;nK a_k =α²_k Z π

0

g_x(t) cos(kt) dt .

Comme, pourtdans [0;π] etkdansJ0;nK, on a cos(k(π−t)) = (−1)^kcos(kt), il vient par changement de variable affine bijectif,

Z π

π 2

gx(t) cos(kt) dt= (−1)^k+1 Z ^π₂

0

gx(t) cos(kt) dt

etak= 0 sikest pair et sinon, puisqu’en particulierkest non nul, il vient, par intégration par parties, ce qui licite car les fonctions affines et trigonométriques sont de classeC^∞ surR,

a_k = π

2 −xZ x 0

cos(kt) dt+ Z ^π₂

x

π 2 −t

cos(kt) dt

= π

2 −xsin(kx) k −π

2 −xsin(kx)

k +

Z ^π₂

x

sin(kt) k dt

= cos(kx) k²

par imparité deket donc nullité de cos(kπ/2). Finalement les coordonnées cherchées sont, en notant δk≡1 (mod 2) la quantité valant 0 ou 1 selon quekest pair ou impair,

4 cos(kx)

πk² δk≡1 (mod 2)

0≤k≤n

. Autrement dit

PF_n(gx) = X

0≤k≤ⁿ⁻¹₂

4 cos((2k+ 1)x) π(2k+ 1)² c2k+1. En notant, pourkentier,fk =4 cos((2k+ 1)x)

π(2k+ 1)² c2k+1, on a sup

[0;π]

|fk(t)| ≤ 4 π(2k+ 1)² et donc la série P

fk converge normalement sur [0;π] par comparaison avec une série de Riemann convergente. Elle converge donc aussi uniformément, i.e. la suite (PF_n(gx))_n∈Nconverge uniformément sur [0;π]. Il résulte de la question 10 que, pour touttdansh

0;π 2 i

, π

2 −max(x, t) = 4 π

+∞

X

n=0

cos((2n+ 1)x)

(2n+ 1)² cos((2n+ 1)t).

12) Soitf dans E et xdans h 0;π

2

i. La fonction V(f) est de classe C¹ sur h 0;π

2

i en tant que primitive d’une fonction continue sur cet intervalle et il vient par intégration par parties

V^∗◦V(f)(x) = h t−π

2

V(f)(t)iπ/2 x

+ Z ^π₂

x

π 2 −t

f(t) dt

= π

2 −xZ x 0

f(t) dt+ Z ^π₂

x

π 2 −t

f(t) dt

4

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et donc V^∗◦V(f)(x) = Z ^π₂

0

π

2 −max(x, t) f(t) dt.

On notek·k_∞la norme de la convergence uniforme surh 0;π

2 i

. Pournentier on akgxf−pF_n(gx)fk_∞≤ kfk_∞kgx−pF_n(gx)k_∞de sorte quepF_n(gx)fconverge uniformément versgxf surh

0;π 2 i

. On peut donc échanger limite et intégrale pour obtenir

Z ^π₂

0

g_xxf(t) dt= lim Z ^π₂

0

p_Fn(g_x)f(t) dt et donc

Z ^π₂

0

π

2 −max(x, t)

f(t) dt= 4 π

+∞

X

n=0

cos((2n+ 1)x) (2n+ 1)²

Z ^π₂

0

cos((2n+ 1)t)f(t) dt .

Ainsi on aV^∗◦V(f) =

+∞

X

n=0

an(f)c2n+1 pour (an(f))n∈N donné par an(f) = 4

(2n+ 1)²πhf|c2n+1i.

La série précédente est normalement convergente puisque, par inégalite de Cauchy-Schwarz et compa- raison à une série deRiemannconvergente,

kan(f)c2n+1k_∞≤ 4

(2n+ 1)²πkfk kc2n+1k= 2 (2n+ 1)²√

πkfk=O 1

n²

et donc on peut intervertir série et intégrale pour obtenir, pournentier,an(f) = 4

πhV^∗◦V(f)|c2n+1i.

Par conséquent la suite (a_n(f)) est unique.

PARTIE IV - Équations différentielles du type Sturm-Liouville

13) Soit f dans E et n entier. D’après la question 4,ϕn est vecteur propre pour V^∗◦V pour la valeur propre 1

(2n+ 1)² et, d’après la question 1, on a

hV^∗◦V(f)|ϕ_ni=hV(f)|V(ϕ_n)i=hf|V^∗◦V(ϕ_n)i et il vient hV^∗◦V(f)|ϕni= 1

(2n+ 1)²hf|ϕni.

14) Remarquons que, par définition, les solutions de (S) sont de classeC² surh 0;π

2 i

. Soit y un élément de ce dernier ensemble, on a par définition deV,

(y⁰⁰=−λy−h & y⁰(0) = 0)⇐⇒y⁰=V(−λy−h) . Puis, par définition deV^∗,

y⁰=V (−λy−h) & yπ 2

= 0

⇐⇒y=−V^∗◦V(−λy−h) .

Par linéarité deV^∗◦V, on en déduit quegest solution de l’équation différentielle (S) si et seulement si g=λV^∗◦V(g) +V^∗◦V(h).

5

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Dans ce cas, pour tout entiern, on a, en utilisant la question 13, et par linéarité du produit scalaire, hg|ϕ_ni = λhV^∗◦V(g)|ϕ_ni+hV^∗◦V(h)|ϕ_ni

= λ

(2n+ 1)²hg|ϕni+ 1

(2n+ 1)²hh|ϕni i.e.

1− λ

(2n+ 1)²

hg|ϕ_ni= 1

(2n+ 1)²hh|ϕ_ni, et d’après la question 12 et par linéarité du produit scalaire

g = λ

+∞

X

n=0

an(g)c2n+1+

+∞

X

n=0

an(h)c2n+1

=

+∞

X

n=0

4

(2n+ 1)²πhλg+h|c2n+1ic2n+1

=

+∞

X

n=0

−1

(2n+ 1)²hg⁰⁰|ϕ_niϕ_n.

Or, pour n entier, par intégration par parties, puisque ϕ_n est de classe C^∞ sur h 0;π

2

i et puisque g⁰(0) =ϕ_nπ

2

= 0, d’une part, etϕ⁰_n(0) =gπ 2

= 0 d’autre part, il vient hg⁰⁰|ϕ_ni=− hg⁰|ϕ⁰_ni=hg|ϕ⁰⁰_ni=−(2n+ 1)²hg|ϕ_ni

et donc g=

+∞

X

n=0

hg|ϕniϕn.

15) On notek·k_∞ la norme de la convergence uniforme sur E. La suite (ϕn) est alors bornée pour cette norme et également orthonormée pour le produit scalaire surE. On en déduit, par inégalité deCauchy- Schwarz, qu’on a

1

(2n+ 1)²−λhh|ϕ_niϕ_n ∞

≤ khk

|(2n+ 1)²−λ| =O 1

n²

et donc, par comparaison à une série deRiemann convergente, entre séries à termes positifs, la série P 1

(2n+ 1)²−λhh|ϕ_niϕ_n est normalement convergente.

On note g sa somme. Alors g appartient à E en tant que somme d’une série normalement, donc uniformément, convergente de fonctions dansE. Toujours par convergence uniforme, on peut intervertir somme et intégrale, de sorte qu’on a, pour tout entiern,

hg|ϕni=

+∞

X

m=0

1

(2m+ 1)²−λhh|ϕmi hϕm|ϕni= 1

(2n+ 1)²−λhh|ϕni

et il résulte donc de la question 14 que

+∞

X

n=0

1

(2n+ 1)²−λhh|ϕ_niϕ_n est solution de (S).

16) Soitxun réel. Le problème deCauchydonné par

y⁰⁰+λy+h= 0 et y(0)−x=y⁰(0) = 0 6

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admet une unique solution puisqu’on a affaire à une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Soitg cette solution. En reprenant les calculs effectués en fin de question 14, il vient

hg⁰⁰|ϕ_pi=− g⁰

ϕ⁰_p

=−gϕ⁰_pπ 2

+ g

ϕ⁰⁰_p

=−gϕ⁰_pπ 2

−λhg|ϕ_pi

de sorte qu’on a

0 =hg⁰⁰+λg+h|ϕpi=hh|ϕpi −gϕ⁰_pπ 2

et donc, puisqu’on aϕ⁰_pπ 2

= (−1)^p(2p+ 1)6= 0, il vient

gπ 2

= 0⇐⇒ hh|ϕpi= 0

et doncgest solution de (S) si et seulement sihh|ϕpi= 0. Comme, pour deux valeurs dexdifférentes, les fonctions ainsi obtenues sont distinctes, puisque prenant des valeurs différentes en 0, sihh|ϕpi= 0, alors (S) a une infinité de solutions. Le raisonnement et les calculs de la question 15 montrent alors qu’une solution de (S) est donnée par X

n6=p

1

(2n+ 1)²−λhh|ϕniϕn. Enfin, puisqu’une solutiong de (S) est solution du problème deCauchyprécédent pour x=g(0), on en déduit également que si on ahh|ϕ_pi 6= 0, alors (S) n’admet pas de solution.

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