Suites réelles

www.zribimaths.jimdo.com 1 Activité 1:

Compléter le tableau suivant

Suite arithmétique Suite géométrique

Une suite U est

Terme général d’une

La somme: S=

p k m

∑ U

dans le cas ou U est:

a ≤≤≤≤ - 1 - 1 < a < 1 a = 1 a > 1

n

n a

lim→+∞

Activité 2:

Compléter :

Une suite

(U

_n

)

_n∈I est dite minorée par un réel m, si et seulement si,

……….

Une suite

(U

_n

)

_n∈I est dite majorée par un réel M, si et seulement si,

……….

Une suite

(U

_n

)

_n∈I est dite bornée, si et seulement si,

……….

Application 1:

Soit U la suite définie sur IN par

0 n 1 n

n

U 1

2U 1

U ⁺ U 2

=



+

 =

 +



. Montrer que la suite U est minorée par 1 et majorée par2.

www.zribimaths.jimdo.com 2 Activité 3:

Compléter :

Une suite

(U

_n

)

_n∈I est dite croissante, si et seulement si,

……….

Une suite

(U

_n

)

_n∈I est dite décroissante, si et seulement si,

……….

Une suite

(U

_n

)

_n∈I est dite constante, si et seulement si,

……….

Application 2:

Soit U la suite définie sur IN par : U₀ = 3 et U_n+1 = 2 U+ _n a) Montrer que pour tout n∈IN, Un > 2.

b) Montrer que la suite U est strictement décroissante.

Activité 4:

a et b deux réels,

n Un

lim→+∞ _n

n V

lim→+∞ _n

n n

U

→+∞V lim

a b≠0

∞ b≠0

a ∞

a≠0 0

n Un

lim→+∞ _n

n V

lim→+∞ _{n n}

n U V

→+∞ + lim

a b

∞ b≠0

∞ ∞

Application 3:

I. Déterminer la limite de la suite U dans chaque cas :

3

2 ² 3 1 7 2

lim ; lim ; lim

5 1 ² 5 3 1

n

n n n n

n n n n

n n

→+∞ →+∞ →+∞

− + − +

+ + + ^.

n Un

lim→+∞ _n

n V

lim→+∞ _{n n}

n U V

→+∞ + lim

a b

+∞ b

-∞ b

+∞ +∞

-∞ -∞

www.zribimaths.jimdo.com 3 II. U la suite définie par :







+ ∈

= +

=

+ ,

N

4 2 3 0

1 0

u n u u

u

n n n

Soit la fonction f

définie sur [0; 1] par : 4

2 ) 3

( +

= + x x x f

(C) : Courbe représentative de f (∆) : Droite d’équation y = x

1) Construire sur le repère ci-dessus les points de (O;i

) d’abscisses u₀, u₁, u₂ et u₃. 2) On définit la suite (vn) pour tout entier

naturel n par :

2 1 +

= −

n n

n u

v u

a) Démontrer que (vn) est une suite géométrique que l’on caractérisera.

b) En déduire l’expression de vn en fonction de n ainsi que la limite de (vn) quand n tend vers +∞.

c) Exprimer u_n en fonction de v_n et en déduire l’expression de u_n en fonction de n ainsi que la limite de (u_n) quand n tend vers +∞.

Activité 5:

Soit U la suite définie sur IN* par 1 2 ( 1)

n n

U = n

+ − ^. 1) Donner l’expression de U2n et U2n+1 . 2) Que peut-on déduire de la limite de U_n. Théorème :

Soit U une suite réelle et a fini ou infini.

n Un a

→+∞ =

lim si, et seulement si, _{2n 2n 1}

n U a et n U ₊ a

→+∞ = →+∞ =

lim lim ^.

Application 4:

Etudier la convergence des suites suivante :

www.zribimaths.jimdo.com 4 U_n=(-1)ⁿ ;

1 2 1

² 1

n

n

U si n pair n

U n si n impair n

 =



 = +

 +



.

Activité 6 :

1) Soit U la suite définie sur IN* par 1 2 ( 1)

n n

U = n

+ − ; montrer que U est borné.

2) Soit U la suite définie sur IN par U_n=(-1)ⁿ. étudier la convergence de U, prouver que U est bornée.

Théorème :

Toute suite convergente est bornée.

Théorème :

Soit U une suite convergente vers un réel a.

S’il existe un entier p tel que 0≤ Un pour tout n≥p ; alors 0≤a.

S’il existe un entier p tel que 0≥ U_n pour tout n≥p ; alors 0≥a.

S’il existe un entier p et deux réels m et M tel que m≤ U_n ≤M pour tout n≥n ; alors m≤a≤M.

Activité 7:

Soit U la suite définie sur IN* par 1 2 ...

² ² ²

n

U n

n n n

= + + + ^.

1) Calculer U_n.

2) Vérifier que U est est croissante et majorée.

3) Montrer que la suite U est convergente.

Théorème :

Si la suite

(U

_n

)

_n∈I est croissante et majorée alors elle converge vers un réel a et pour tout n∈I, U_n≤a.

Si la suite

(U

_n

)

_n∈I est décroissante et minorée alors elle converge vers un réel a et pour tout n∈I, U_n≥a.

Application 5:

Soient U et V les suite définie sur IN* par 1 1 1 1

1 ...

2! 3! ! !

n n n

U et V U

n n

= + + + + = + ^.

www.zribimaths.jimdo.com 5

1) a) montrer que la suite U est croissante et que la suite V est décroissante.

b) montrer que la suite U est majorée par V₁ et que la suite U est minorée par U₁. 2) En déduire que les suites U et V sont convergentes.

Théorème :

Toute suite croissante et non majorée tend vers +∞.

Toute suite décroissante et non minorée tend vers +∞.

Application 6:

Soit U la suite définie sur IN* par 1 1 1

1 ...

2 3 Un

= + + + +n ^. 1) Montrer que la suite U est croissante.

2) Montrer que pour tout n de IN* ; U_2n-U_n≥ 1 2 ^. 3) En déduire que la suite U n’est pas majorée.

4) Déterminer la limite de la suite U.

Théorème :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et U une suite d’éléments de I.

Si la suite U converge vers a de I alors la suite (f(Un)) converge vers f(a) . Application 7:

Déterminer la limité de la suite U dans chaque cas :

sin 3 1 ; tan

4 2 1

n

n n

U n U n

x

   

π



=     ≥ =  +  .

Théorème :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et U une suite d’éléments de I vérifiant la relation de récurrence Un+1=f(Un) .

Si la suite U converge vers un réel a et f continue en a alors f(a)=a Application 8:

Soit U la suite définie sur IN par : U0 = 2 et Un+1 = ⁿ

n

3U 2 2U 1

−

− 1) Montrer que pour tout n∈IN on a : 1 < U_n≤ 2 .

www.zribimaths.jimdo.com 6 2) Montrer que la suite U est décroissante.

3) En déduire que U est convergente puis calculer sa limite Théorème :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et U une suite d’éléments de I .

Si _n

n U a

→+∞ =

lim ( a fini ou infini) et

x af x l

→ =

lim ( ) (l fini ou infini) alors _n

n f U l

→+∞ =

lim ( ) Théorème :

Soit deux suites U et V convergentes respectivement vers a et b.

S’il existe un entier naturel p tel que U_n≤V_n pour tout n≥p alors a≤b.

Activité 8:

U la suite définie sur IN* par ...

² 1 ² 2 ²

n

n n n

U =n +n + +n n

+ + + ^.

1) Montrer que pour tout n de IN*, ² ²

² ⁿ ² 1

n n

n n≤U ≤ n

+ + ^.

2) Que peut on conjecturer sur la limite de la suite U ? Théorème :

Soit U, V et W trois suite et a un réel.

Si lim

lim lim

n n n

n n

n n

n n

V U W pour p n

alors U a

V W a

→+∞

→+∞ →+∞

≤ ≤ ≤

 =

 = =

 ^.

Conséquence :

Soit Uet V deux suite suites .

Si lim 0

lim 0

n n

n n n n

U V pour p n

alors U

V ^→+∞

→+∞

 ≤ ≤

 =

 =



.

Application 9:

Soit la suite U définie par

0

1 2

1 4

3 ;

15

n n

n

U

U U n IN

+ U

 =



 +

 = ∈

 +



www.zribimaths.jimdo.com 7 1) Montrer que pour tout n∈IN ; 0<U_n<1.

2) montrer que, pour tout n∈^{IN ;} ₁ 3 4

n n

U ₊ ≥ +U ^.

3) Montrer que U est croissante et en déduire qu’elle est convergente.

4) a) Montrer que 1-U_n+1 ≤ 1

4^(1-Un).

b) en déduire que pour tout n∈IN ; 1-U_n ≤ 3 1 ¹ ( )4

n+ .

c) déterminer la limite de la suite U.

Théorème :

Soit deux suite U et v.

lim

lim

n n

n n n n

U V pour p n

alors U

V

^→+∞

→+∞

≤ ≤

 = +∞

 = +∞

 ^.

lim

lim

n n

n n n n

V U pour p n

alors U

V

→+∞

→+∞

≤ ≤

 = −∞

 = −∞



Application 10 :

Soit la suite U définie par Un =

n k 1 2

k

n k

= +

∑

^.

a) Calculer U1 et U2.

b) Montrer que : U_n≥ 1 2 3 ... n n² n + + + +

+

c) En remarquant que : 1+2+3+ …+ n = n(n 1) 2

+ , déduire la limite de la suite U.

Théorème :

Si deux suites U et V définies sur I vérifient les conditions : (1) Pour tout n∈I, U_n ≤ V_n.

(2) U est croissante et V est décroissante . (3) La suite (U – V ) converge vers 0.

Alors les suites U et V sont convergentes et elles convergent vers la même limite Vocabulaire : Dans ces conditions, les suites U et V sont dites adjacentes.

www.zribimaths.jimdo.com 8 Application 11

On considère les suites U et V définies sur IN par : U_n =

n

k 0

1

= k!

∑

^{et Vn = Un + 1}

n!

1) Calculer U0, U1, U2, V0, V1 et V2. 2) Montrer que pour tout n∈IN, Un ≤ Vn.

3) Montrer que la suite U est croissante et que la suite V est décroissante.

4) Vérifier que les suites U et V sont adjacentes et qu’elles convergent vers la même limite que l’on notera e.

5) Montrer que pour tout n∈IN, U_n ≤ e ≤ V_n. 6) En déduire que : 65

24 ^{≤ e ≤} 11

4