TS DS 3 2011-2012
EXERCICE 1 :
Soient (un) et (vn) deux suites définies, pour toutndeN, par : ( u0= 1
un+1= 1
2un−2 et
( v0=−6 vn+1= 1
2vn−2 1. Démontrer que (un) est décroissante et minorée par −4.
On admettrapour la suite de l’exercice que (vn) est croissante et majorée par −4.
2. A l’aide de la droite d’équation y = 1
2x−2, représenter graphiquement sur le repère donné en annexe, les 3 premiers termes des deux suites (un) et (vn).
3. On note (wn) la suite définie parwn=un−vn, pour toutn∈N.
Démontrer que (wn) est une suite géométrique et déterminer ses éléments caractéristiques.
4. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.
5. Justifier la convergence des suites (un) et (vn) et déterminer leur limite.
EXERCICE 2 :
Soitf la fonction définie sur ]0; +∞[ parf(x) = 1
2 −5 x
3 . 1. Déterminer les limites aux bornes de l’ensemble de définition.
2. Prouver que pourx >0,f′(x) = 15 x2
1 2 −5
x 2
. 3. Dresser le tableau de variation complet def.
EXERCICE 3 :
On considère la fonctionf définie parf(x) =x√
3x−x2. Sa courbe est donnée ci-dessous.
1. Justifier quef est définie sur [0; 3].
2. Quel semble être graphiquement l’ensemble de dérivabilité def? Justifier (on ne demande aucun calcul).
3. Justifier quef est dérivable sur ]0; 3[ et prouver que∀x∈]0; 3[, f′(x) = −4x2+ 9x 2√
3x−x2.
4. Déterminer les coordonnées du point deCf en lequel la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
5. (BONUS) Étudier la dérivabilité def en 0 et en 3. Expliquer en quoi ces résultats sont cohérents avec le graphique donné.
O ~i
~j
Cf
My Maths Space 1 sur 3
TS DS 3 2011-2012
Annexe
O ~i
~j
y=x
My Maths Space 2 sur 3
TS DS 3 2011-2012
CORRECTIONS EXERCICE 1
EXERCICE 2 Fonctionun
soitf la fonction définie sur ]0; +∞[ parf(x) = 1
2 −5 x
3 .
1.
x→+∞lim 1 2 −5
x= 1 2 lim
X→1 2
X3= 1 8
(composition)
x→+∞lim f(x) = 1 8
et lim
x→0 x>0
1 2 −5
x=−∞car lim
x→0 x>0
5 x = +∞
X→−∞lim X3=−∞
(composition)
xlim→0 x>0
f(x) =−∞
2. u:x7−→ 1 2− 5
x est dérivable sur ]0; +∞[ comme somme de fonctions usuelles dérivables sur ]0; +∞[.
f =u3doncf′= 3u′u2avecu′:x7−→ 5 x2. On a donc pour x >0,f′(x) = 3× 5
x2 × 1
2 −5 x
2
= 15 x2
1 2 −5
x 2
. 3. Tableau de variation complet def.
x Signe def′(x)
Variations def
0 10 +∞
+ 0 +
−∞
1 8 1 8
EXERCICE 3
My Maths Space 3 sur 3
