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Professeur : Benjeddou Saber Bac mathématiques – Résumé : Suites réelles
Théorème :
Théorème :
Théorème :
Conséquence :
Opérations sur les limites : Limite d’une somme :
𝑛⟶+∞
lim 𝑢
𝑛𝑙 𝑙 𝑙 +∞ −∞
𝑛⟶+∞
lim 𝑣
𝑛𝑙′ +∞ −∞ +∞ −∞
𝑛⟶+∞
lim (𝑢
𝑛+ 𝑣
𝑛) 𝑙 + 𝑙′ +∞ −∞ +∞ −∞
Limite d’un produit :
𝑛⟶+∞
lim 𝑢
𝑛𝑙 𝑙 > 0 𝑙 > 0 𝑙 < 0 𝑙 < 0 +∞ +∞ −∞
𝑛⟶+∞
lim 𝑣
𝑛𝑙′ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
𝑛⟶+∞
lim (𝑢
𝑛× 𝑣
𝑛) 𝑙 × 𝑙′ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ +∞
Résumé : Suites réelles Niveau : Bac mathématiques Réalisé par : Prof. Benjeddou Saber
Email : saberbjd2003@yahoo.fr
Toute suite convergente est bornée.
Soit (𝑢
𝑛) une suite réelle et 𝑙 finie ou infini.
𝑛⟶+∞
lim 𝑢
𝑛= 𝑙, si et seulement si, lim
𝑛⟶+∞
𝑢
2𝑛= lim
𝑛⟶+∞
𝑢
2𝑛+1= 𝑙.
Soit (𝑢
𝑛) une suite convergente vers un réel 𝑎.
- S’il existe un entier naturel 𝑁
0tel que 0 ≤ 𝑢
𝑛pour tout 𝑛 ≥ 𝑁
0, alors 0 ≤ 𝑎.
- S’il existe un entier naturel 𝑁
0tel que 𝑢
𝑛≤ 0 pour tout 𝑛 ≥ 𝑁
0, alors 𝑎 ≤ 0.
Soit 𝑁
0un entier naturel et (𝑢
𝑛)
𝑛≥0une suite.
On suppose qu’il existe deux réels 𝑚 et 𝑀 tels que 𝑚 ≤ 𝑢
𝑛≤ 𝑀 pour tout 𝑛 ≥ 𝑁
0.
Si la suite (𝑢
𝑛) est convergente vers un réel 𝑎, alors 𝑚 ≤ 𝑎 ≤ 𝑀.
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Limite d’un quotient :
𝑛⟶+∞
lim 𝑢
𝑛𝑙 𝑙 𝑙 +∞ +∞ −∞ −∞ 𝑙 > 0 𝑙 > 0 𝑙 < 0 𝑙 < 0
𝑛⟶+∞
lim 𝑣
𝑛𝑙′ ≠ 0 +∞ −∞ 𝑙′ > 0 𝑙′ < 0 𝑙′ > 0 𝑙′ < 0 0
+0
−0
+0
−𝑛⟶+∞
lim ( 𝑢
𝑛𝑣
𝑛) 𝑙
𝑙′ 0 0 +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞
Théorème :
Théorème :
Théorème :
Théorème :
Théorème :
Soit 𝑞 un réel.
- Si 𝑞 > 1, alors lim
𝑛⟶+∞
𝑞
𝑛= +∞.
- Si 𝑞 = 1, alors lim
𝑛⟶+∞
𝑞
𝑛= 1.
- Si −1 < 𝑞 < 1, alors lim
𝑛⟶+∞
𝑞
𝑛= 0.
- Si 𝑞 ≤ −1, alors lim
𝑛⟶+∞
𝑞
𝑛n’existe pas.
Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle ouvert 𝐼 et (𝑢
𝑛) une suite d’éléments de 𝐼 et soit 𝑙 ∈ 𝐼.
Si lim
𝑛⟶+∞
𝑢
𝑛= 𝑙 , alors lim
𝑥⟶+∞
𝑓(𝑢
𝑛) = 𝑓(𝑙).
Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle ouvert 𝐼 et (𝑢
𝑛) une suite d’éléments de 𝐼.
Si lim
𝑛⟶+∞
𝑢
𝑛= 𝑙 (fini ou infini) et si lim
𝑥⟶𝑙
𝑓(𝑥) = 𝐿 (fini ou infini), alors lim
𝑛⟶+∞
𝑓(𝑢
𝑛) = 𝐿.
Soit (𝑢
𝑛) une suite géométrique définie par 𝑢
𝑛= 𝑞
𝑛, 𝑛 ≥ 0, où 𝑞 est un réel non nul.
- Si 𝑞 > 1, alors lim
𝑛⟶+∞
𝑢
𝑛= +∞.
- Si |𝑞| < 1, alors lim
𝑛⟶+∞
𝑢
𝑛= 0.
- Si 𝑞 ≤ −1, alors la suite (𝑢
𝑛) n’a pas de limite.
- Si 𝑞 = 1, alors la suite (𝑢
𝑛) est constante.
Soit (𝑢
𝑛) et (𝑣
𝑛) deux suites convergentes respectivement vers deux réels 𝑎 et 𝑏.
S’il existe un entier naturel 𝑁
0tel que 𝑢
𝑛≤ 𝑣
𝑛pour tout 𝑛 ≥ 𝑁
0, alors 𝑎 ≤ 𝑏.
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Théorème :
Corollaire :
Théorème :
Théorème :
Théorème :
Théorème :
Soit (𝑢
𝑛), (𝑣
𝑛) et (𝑤
𝑛) trois suites et soit 𝑎 un réel.
On suppose qu’il existe un entier 𝑁
0tel que 𝑣
𝑛≤ 𝑢
𝑛≤ 𝑤
𝑛pour tout 𝑛 ≥ 𝑁
0. Si lim
𝑛⟶+∞
𝑣
𝑛= lim
𝑛⟶+∞
𝑤
𝑛= 𝑎, alors lim
𝑛⟶+∞
𝑢
𝑛= 𝑎.
Soit (𝑢
𝑛) et (𝑣
𝑛) deux suites.
On suppose qu’il existe un entier 𝑁
0tel que 0 ≤ |𝑢
𝑛| ≤ 𝑣
𝑛pour tout 𝑛 ≥ 𝑁
0. Si lim
𝑛⟶+∞
𝑣
𝑛= 0, alors lim
𝑛⟶+∞
𝑢
𝑛= 0.
Soit (𝑢
𝑛) et (𝑣
𝑛) deux suites.
- S’il existe un entier 𝑁
0tel que 𝑢
𝑛≤ 𝑣
𝑛pour tout 𝑛 ≥ 𝑁
0et si lim
𝑛⟶+∞
𝑢
𝑛= +∞, alors
𝑛⟶+∞
lim 𝑣
𝑛= +∞.
- S’il existe un entier 𝑁
0tel que 𝑢
𝑛≤ 𝑣
𝑛pour tout 𝑛 ≥ 𝑁
0et si lim
𝑛⟶+∞
𝑣
𝑛= −∞, alors
𝑛⟶+∞
lim 𝑢
𝑛= −∞.
-
Soit (𝑢
𝑛) une suite définie pour 𝑛 ≥ 0.
Si la suite (𝑢
𝑛) est croissante et majorée, alors elle converge vers un réel 𝑎 et 𝑢
𝑛≤ 𝑎 pour tout 𝑛 ≥ 0.
Si la suite (𝑢
𝑛) est décroissante et minorée, alors elle converge vers un réel 𝑏 et 𝑢
𝑛≥ 𝑏 pour tout 𝑛 ≥ 0.
- Toute suite croissante et non majorée tend vers +∞.
- Toute suite décroissante et non minorée tend vers −∞.
Soit (𝑢
𝑛) une suite vérifiant la relation de récurrence 𝑢
𝑛+1= 𝑓(𝑢
𝑛), 𝑛 ≥ 0 où 𝑓 est une fonction.
Si la suite (𝑢
𝑛) est convergente vers un réel 𝑎 et si la fonction 𝑓 est continue en 𝑙, alors
𝑙 = 𝑓(𝑙).
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Définition : "Suites adjacentes"
Théorème :
Deux suites (𝑢
𝑛)
𝑛≥0et (𝑣
𝑛)
𝑛≥0sont adjacentes lorsqu’elles vérifient les conditions suivantes :
Pour tout 𝑛 ≥ 0 : 𝑢𝑛
≤ 𝑣
𝑛.
La suite (𝑢𝑛
) est croissante et la suite (𝑣
𝑛) est décroissante.
La suite (𝑢𝑛
