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Professeur : Benjeddou Saber Bac Sciences expérimentales - Résumé : Suites réelles
Théorème :
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Opérations sur les limites : Limite d’une somme :
𝑛⟶+∞
lim 𝑢
𝑛𝑙 𝑙 𝑙 +∞ −∞
𝑛⟶+∞
lim 𝑣
𝑛𝑙′ +∞ −∞ +∞ −∞
𝑛⟶+∞
lim (𝑢
𝑛+ 𝑣
𝑛) 𝑙 + 𝑙′ +∞ −∞ +∞ −∞
Limite d’un produit :
𝑛⟶+∞
lim 𝑢
𝑛𝑙 𝑙 > 0 𝑙 > 0 𝑙 < 0 𝑙 < 0 +∞ +∞ −∞
𝑛⟶+∞
lim 𝑣
𝑛𝑙′ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
𝑛⟶+∞
lim (𝑢
𝑛× 𝑣
𝑛) 𝑙 × 𝑙′ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ +∞
Limite d’un quotient :
𝑛⟶+∞
lim 𝑢
𝑛𝑙 𝑙 𝑙 +∞ +∞ −∞ −∞ 𝑙 > 0 𝑙 > 0 𝑙 < 0 𝑙 < 0
𝑛⟶+∞
lim 𝑣
𝑛𝑙′ ≠ 0 +∞ −∞ 𝑙′ > 0 𝑙′ < 0 𝑙′ > 0 𝑙′ < 0 0
+0
−0
+0
−𝑛⟶+∞
lim ( 𝑢
𝑛𝑣
𝑛) 𝑙
𝑙′ 0 0 +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞
Théorème :
Résumé : Suites réelles
Niveau : Bac sciences expérimentales Réalisé par : Prof. Benjeddou Saber
Email : saberbjd2003@yahoo.fr
Soit 𝑞 un réel.
- Si 𝑞 > 1, alors lim
𝑛⟶+∞
𝑞
𝑛= +∞.
- Si 𝑞 = 1, alors lim
𝑛⟶+∞
𝑞
𝑛= 1.
- Si −1 < 𝑞 < 1, alors lim
𝑛⟶+∞
𝑞
𝑛= 0.
- Si 𝑞 ≤ −1, alors lim
𝑛⟶+∞
𝑞
𝑛n’existe pas.
Toute suite convergente est bornée.
Soit (𝑢
𝑛) une suite réelle et 𝑙 finie ou infini.
𝑛⟶+∞
lim 𝑢
𝑛= 𝑙, si et seulement si, lim
𝑛⟶+∞
𝑢
2𝑛= lim
𝑛⟶+∞
𝑢
2𝑛+1= 𝑙.
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Professeur : Benjeddou Saber Bac Sciences expérimentales - Résumé : Suites réelles
Théorème :
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Définition : "Suites adjacentes"
Théorème :
Deux suites (𝑢
𝑛)
𝑛≥0et (𝑣
𝑛)
𝑛≥0sont adjacentes lorsqu’elles vérifient les conditions suivantes :
Pour tout 𝑛 ≥ 0 : 𝑢𝑛
≤ 𝑣
𝑛.
La suite (𝑢𝑛
) est croissante et la suite (𝑣
𝑛) est décroissante.
La suite (𝑢𝑛
− 𝑣
𝑛) converge vers 0.
Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.
Soit (𝑢
𝑛) une suite vérifiant la relation de récurrence 𝑢
𝑛+1= 𝑓(𝑢
𝑛), 𝑛 ≥ 0 où 𝑓 est une fonction.
Si la suite (𝑢
𝑛) est convergente vers un réel 𝑙 et si la fonction 𝑓 est continue en 𝑙 alors 𝑓(𝑙) = 𝑙.
Soit (𝑢
𝑛)
𝑛≥0une suite.
- Si la suite (𝑢
𝑛) est croissante et majorée, alors elle converge vers un réels 𝑙 et pour tout 𝑛 ≥ 0, 𝑢
𝑛≤ 𝑙.
- Si la suite (𝑢
𝑛) est croissante et non majorée, alors elle tend vers +∞.
- Si la suite (𝑢
𝑛) est décroissante et minorée, alors elle converge vers un réels 𝑙 et pour tout 𝑛 ≥ 0, 𝑢
𝑛≥ 𝑙.
- Si la suite (𝑢
𝑛) est décroissante et non minorée, alors elle tend vers −∞.
Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle ouvert 𝐼 et (𝑢
𝑛) une suite d’éléments de 𝐼.
Si lim
𝑛⟶+∞
𝑢
𝑛= 𝑙 (fini ou infini) et si lim
𝑥⟶𝑙
𝑓(𝑥) = 𝐿 (fini ou infini), alors lim
𝑛⟶+∞
𝑓(𝑢
𝑛) = 𝐿.
Soit (𝑢
𝑛), (𝑣
𝑛) et (𝑤
𝑛) des suites ; 𝑙 et 𝑙′ des réels.
- Si 𝑢
𝑛≤ 𝑣
𝑛, 𝑛 ≥ 𝑛
0et si lim
𝑛⟶+∞
𝑢
𝑛= 𝑙 et lim
𝑛⟶+∞
𝑣
𝑛= 𝑙′, alors 𝑙 ≤ 𝑙
′. - Si 𝑣
𝑛≤ 𝑢
𝑛≤ 𝑤
𝑛, 𝑛 ≥ 𝑛
0et si lim
𝑛⟶+∞
𝑣
𝑛= lim
𝑛⟶+∞
𝑤
𝑛= 𝑙, alors lim
𝑛⟶+∞
𝑢
𝑛= 𝑙.
- Si |𝑢
𝑛| ≤ 𝑣
𝑛, 𝑛 ≥ 𝑛
0et si lim
𝑛⟶+∞
𝑣
𝑛= 0, alors lim
𝑛⟶+∞
𝑢
𝑛= 0.
- Si 𝑢
𝑛≥ 𝑣
𝑛, 𝑛 ≥ 𝑛
0et si lim
𝑛⟶+∞
𝑣
𝑛= +∞, alors lim
𝑛⟶+∞
𝑢
𝑛= +∞.
- Si 𝑢
𝑛≤ 𝑣
𝑛, 𝑛 ≥ 𝑛
0et si lim
𝑛⟶+∞
𝑣
𝑛= −∞, alors lim
𝑛⟶+∞
𝑢
𝑛= −∞.
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