Les suites réelles 4

Les suites réelles

4^ème math B.H.Hammouda Fethi

A°/ Les limites d’une suite :

Activité :

Soit la suite définie par :  

 

cos

2 1

n n

U n n

 

  pour n1. 1) Donner l’expression de U₂n et U_{2 1}n_ .

2) Calculer lim _2n

x U

 et lim 2 1_n

x U _

 . conclure . Théorème :

Soit  Un une suite réelle et a fini ou infini lim n

x

U a



 si et seulement si lim 2n

x U a

  et lim 2 1n

x U _ a

  . Exercice1 :

Etudier la convergence de la suite U définie pour n1 par : cos   1 ⁿ

n

U n

n

  

 .

Théorème :

Soit  Un une suite réelle convergente vers un réel a :

 Si Un 0 pour tout nn₀ alors a0.

 Si Un 0 pour tout nn₀ alors a0. Conséquences :

Soit un entier n₀ et  Un une suite tel que m U n M pour tout nn₀ où m et M deux réels

 Si  Un converge vers a alors ^{m a M} . Opération sur les limites :

lim n

x u

 lim n

x v

 lim n n

x u v

  lim n

x u

 lim n

x v

 lim n n

x u v

  lim n

x u

 lim n

x v

 lim n/ n

x u v



L L’ L+L’ L L’ L*L’ L L’0 L / L’

 L’   L’0 ( r.signe)  L’0 ( r.signe)

 L’    ( r.signe) L + ( r.signe)

   L - ( r.signe)

   L0 0 ( r.signe)

Exercice2 :

Calculer les limites suivants : lim 5 3

2 9

x

n n

 n

  

 et ^lim_x





Théorème :

Soit  Un une suite géométrique définie par : Unqⁿ pour n0 . où qIR^*

* Si q 1, alors ^limx Un

  .

* Si q 1 , alors lim n 0

x U

  .

* Si q 1, alors lim _n

x U

 n’est pas définie .

* Si q1, alors lim _n 1

x U

  . Conséquences :

Pour tout réel ^{a } ^{1,1 on a lim}_x^{an 0 .}

Exercice3 :

Calculer les limites suivants : lim 1 5

n x

  

  , lim ⁿ

x 

 et lim 3 2

n x

 

 

  . Exercice 4 :

Calculer les limites suivants :lim1 3 3 ² ... 3

5 5 5

n x

   

        pour n0 .

9 3 2 3

lim 3 3 ... 3

n

x^   

   

           pour n0 .

B°/ Image d’une suite par une fonction continue :

Théorème :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et  Un une suite d’élément de I ; Si  Un converge ver un réel a de I alors f U n  converge vers ^{f a} .

Exercice5 :

Soit la suite U tel que Un cos ¹

 n , montrer que  Un converge vers 1.

Théorème :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et  Un une suite d’élément de I . Si lim _n

x U l

  ( fini ou infini ) et si lim _n

x U L

  ( fini ou infini ) alors ^limx f U n  L

  .

Exercice 6 :

Calculer les limites suivants :lim sin 2

x n

n





 

 

  et lim tan

2 1

x

n n





 

  

 

C°/ Limites et ordre :

Théorème :

* Soient deux suites U et V tel que lim n

x U l

  et lim n '

x V l

  si pour tout nn₀ U_nV_n alors ll'

* Soient deux suites U , V et W trois suites et ^lIR tel que pour tout nn₀ U_nV_nW_n ; si lim n

x U l

  et lim n

x W l

  alors lim n

x V l

 

** Soient deux suites U et V tel que pour tout nn₀ U_n V_n si lim _n 0

x V

  alors lim _n 0

x U

  Exercice 7 :

On considère la suite  Un définie par _{2 2} ... ₂

1 2

n

n n n

U  n n  n n

   pour n1

Montrer que pour tout n1 on a ₂ ² ₂ 1

n

n n

n nU n

  en déduire lim n

x U

 . Théorème :

Soient deux suites U et V

 S’il existe un n₀ tel que UnVn pour tout nn₀ et si limx Un

   alors lim n

x V

  .

 S’il existe un n₀ tel que UnVn pour tout nn₀ et si lim _n

x V

   alors lim n

x U

  . Exercice 8 :

1) Vérifier que pour tout entier non nul k , k k ¹ 1  ¹k k¹1

  .

2) En déduire la limite de la suite W définie par 1  

1 1

n n

k

W  _ k k

  ^{, n1 .}

D°/ Convergence des suites monotones:

Théorème :

Soit  Un une suite définie pour n0.

* Si la suite  U_n est croissante et majorée alors elle converge vers un réel a et pour tout n0 , Un a .

* Si la suite  U_n est décroissante et minorée alors elle converge vers un réel b et pour tout n0, Un b. Exercice 9 :

On considère la suite  Un définie par 1 ^{1 1} ... ¹ 2 3

Un

    n , n1 . 1) Montrer que la suite  Un est croissante .

2) Montrer que pour tout n1 , 2 1 2

n n

U U  .

3) En déduire que la suite  Un est non majorée .et déterminer lim _n

x U

 . Théorème :

 Toute suite croissante et non majorée tend vers .

 Toute suite décroissante et non minorée tend vers .

E°/ Suites récurrentes :

Théorème :

Soit  ^U_n une suite vérifiant ^U_n₁ ^{f U} _n où f est une fonction .Si la suite  ^U_n converge vers L et si f est continue en L alors f L L.

Exercice10 :

Soit U une suite récurrente définie par U₀ 1 et U_n1 2U_n . 1) Montrer que pour tout n0 , 0Un 2.

2) Montrer que  U_n converge et calculer lim n

x U

 .

F°/ Suites adjacentes :

Définition et théorème :

Deux suites U et V sont adjacentes lorsqu’elle vérifient les condition suivantes :

 Pour tout n0 , UnVn .

 La suite U est croissante et V est décroissante .

 La suite VnUn converge vers 0 .

Dans ce cas les suites U et V converge vers la même limite . Exercice 11 :

Soit la suite 1 ^{1 1 1} ... ¹

1! 2! 3! !

Un

     n . Et Vn Un ¹

 n . Montrer que les suites U et V converge vers la même limite .