Suites réelles

Feuille d’exercices N 02 ?

Suites réelles

4^{ièm e}Sciences informatique 1 et2 2009 }2010

issaoui hacen

Exercice 01

Soit la suite udé…nie surNparu0= 1et pour tout n2N; un+1= r1

2u²_n+ 4:

1. (a) Montrer que pour toutn2N;on a 0 u_n 2p 2:

(b) Montrer queuest croissante. Conclure.

(c) Calculer lim

n!+1un:

(a) Montrer que pour toutn2N;on aun+1 2p

2 1

2 un 2p 2 : (b) Déduire que pour toutn2N; 1 2p

2 1 2

2

u_n 2p

2 0:Retrouver lim

n!+1u_n:

Exercice 02

Soit la suite (xn)dé…nie parx02[0;1]et pour toutn2N; xn+1=

r1 +xn

2 : 1. Montrer que pour toutn2N; xn 2[0;1]:

2. Montrer que(xn)est croissante.

3. En déduire que(xn)est convergente et calculer sa limite.

(a) Montrer qu’il existe 2h 0;2

itel quex₀= cos :

(b) Montrer que pour toutn2N; xn= cos 2ⁿ : (c) En déduire les résultats de 3..

Exercice 03

Soit la suite réelle tdé…nie surNpar: t₀= 1et pour toutn2N; t_n+1=t_n+ 1 +t_n 1 + 2t_n: 1. (a) Montrer que pour toutn2N;on a t_n>0et que test croissante.

(b) Justi…er que lim

n!+1t_n= +1:

(a) Montrer que pour toutn2N;on a t_n+1 t_n+1

2 et quet_n 1 +n 2: (b) Retrouver alors lim

n!+1tn:

2. Soitv la suite dé…nie surNparvn=tn+1 tn: (a) Montrer que pour toutn2N ;on a: v_n 1

2 + 1 2n: (b) Calculer lim

n!+1v_n:

1

Exercice 04

On considère la suite udé…nie surN parun =(2n)!

(n!)². Cocher la(ou les)réponse correcte:

1. On a: (a)u1= 2 (b)u1= 6 (c)u1= 1 (d)u1=C⁴₈. 2. Pour toutn2N ;on a: un+1

u_n = (a) 4 (b) 4n+ 2

n+ 1 (c) 8n+ 4

(n+ 1)² (d) 4 2 n+ 1. 3. Pour toutn2N ;on a:

(a) u_n 2²ⁿ

2n (b)u_n< 2²ⁿ

2n (c)u_n>2ⁿ (d)u_n 2ⁿ. 4. lim

n!+1un =

(a) 0 (b) 1 (c) +1 (d)un réel` 2.

Exercice 05

Répondre par vrai ou faux et justi…er la réponse:

1. Toute suite convergente est bornée.

2. Toute suite bornée est convergente.

3. Si une suiteuconverge vers 0 et si une suitev est bornée, alors la suiteuvest convergente.

4. Siuconverge et siv diverge, alorsu+v diverge.

5. Siuconverge et siv diverge, alorsu v diverge.

Exercice 06

Cocher la réponse correcte:

1. Soit la suiteudé…nie surN parun= n²+ 2 n : (a) lim

n!+1un = 0: (b)un npour toutn2N : (c)(un)est majorée par 1.

2. On donnev_n =n+ cosn n+ 1 : (a) lim

n!+1un = 0: (b) lim

n!+1un= 1 (c) lim

n!+1un = 1.

2