SUITES RÉELLES

SUITES RÉELLES

Dans tout ce chapitre, on appelle p un entier naturel et I l'ensemble des entiers supérieurs ou égaux à p.

Faire la feuille d'exercices d'introduction I) DÉFINITION

D

éfinition :

On appelle suite réelle toute application u qui à tout entier naturel n  p associe le réel u(n) noté ^un

on note ^un_n∈I ou ^un_np au lieu de u : I  ℝ n u(n) u_n est l’image de n par la suite u.

Deux manières de définir les suites :

Suite définie par une formule explicite : ^un = f(n)

u_n = -2n² +5n - 4 n ∈ ℕ ( on utilise le mode table de la calculatrice ) Suite définie par une relation de récurrence : un1 = fu_n

v0 = 2 et vn+1 = - 2 vn + 3 ∀ n ∈ ℕ

Pour v , utiliser la calculatrice ( 2 EXE, -2ans + 3 EXE...EXE...EXE....)

Remarque : si deux suites ont le même premier terme et vérifient la même relation de récurrence alors elles sont égales.

Travailler sur les indices : ex 1(fp) – ex 23 -24 p 121 – Ex 2 (fp) Représentation graphique : faire ex 3 (fp)

Remarque : pour un suite un=fn les termes sont les ordonnées des points d'abscisses entières de la courbe représentative de f

II) COMPORTEMENT D'UNE SUITE Soit la suite ^un_np 1) Monotonie

Définition :

(u_n) est croissante ⇔ pour tout n  p, un+1  un . (u_n) est décroissante ⇔ pour tout n  p, un+1  un . (u_n) est constante ⇔ pour tout n  p , un+1 = un . Une suite qui est croissante ou décroissante est dite monotone Ex 4 fp

2) Majorant et minorant Définition :

(u_n) est majorée ⇔ il existe un réel M tel que pour tout n  p , un  M . (u_n) est minorée ⇔ il existe un réel m tel que pour tout n  p , un  m . (u_n) est bornée ⇔ elle est minorée et majorée.

M s'appelle un majorant (s'il en existe un alors il y en a une infinité : tout les réels supérieurs à M) m s'appelle un minorant (s'il en existe un alors il y en a une infinité : tout les réels inférieurs à m) Ex 5 (fp)

EXERCICES D'INTRODUCTION

EXERCICE 1 :

Dans une vidéothèque un client doit payer par an une cotisation de 5 € et 2 € par CD emprunté.

1) Quelle est la représentation graphique qui convient ?

2) On appelle ^pn le prix payé dans une année pour n CD empruntés. Exprimer ^pn en fonction de n.

EXERCICE 2 :

Une personne est embauchée avec le contrat suivant :

Le salaire annuel de la première année est de 15 600 € et chaque année il y aura une augmentation de 1,5 % et une prime de 150 € (qui fait parti du salaire).

On appelle un le salaire annuel de la n-ième année.

1) Calculer ^u2 et ^u3.

2) Exprimer un1 en fonction de un. EXERCICE 3 :

Le mathématicien toscan FIBONACCI, dit aussi Léonard DE PISE, pose en 1202 le célèbre problème des lapins :

Un couple de lapins, né le 1° janvier, donne naissance à un autre couple de lapin chaque mois, dès qu'il a atteint l'âge de 2 mois et les nouveaux couples suivent la même loi.

On appelle ^an le nombre de couples de lapins au cours du n-ième mois.

1) Donner a1 , a2 , a3, a4 et a5.

2) Exprimer ^an en fonction de ^an – 1 et ^an – 2.

3) Combien y aura-t-il de couples de lapins le 1° janvier de l'année suivante.

EXERCICE 4 :

On considère la suite logique de nombre suivante : u0=2 , u1=3 , u2=5 , u3=9 , u4=17 1) Proposer une valeur pour ^u5, ^u6 , ^u7 et ^u8.

2) Ecrire un1 en fonction de un.

3) Emettre une conjecture sur l'écriture de ^un en fonction de n.

4) Démontrer cette conjecture.

EXERCICES

EXERCICE 1 :

1) Soit la suite définie sur ℕ par u_n=n²– n a) Calculer u0 ; u10 et u100 .

b) Exprimer ^un – 1 ; ^un1 ; ^un1 et ^u2 n en fonction de n.

c) Montrer que pour tout n , un1=u_n2 n 2) Soit la suite v définie sur ℕ par v_n= 2ⁿ

3 n2 a) Calculer ^v0 ; ^v2 et ^v4.

b) Montrer que pour tout n 1 v_n2= 1

v_n1– 1 4 v_n EXERCICE 2 :

Soit les suites u et v définies sur ℕ par un=– 2ⁿ3 ; ^v0= 4 et ^vn1=– 2 v_n9 1) Déterminer les quatre premiers termes de ces deux suites

2) Quelle conjecture peut-on émettre? Démontrer cette conjecture.

EXERCICE 3 :

Construction des termes d'une suite du type : ^un=fn

1) Tracer la courbe représentative de la fonction f définie sur [– 3;∞ [ par fx=



2 x6

2) Soit la suite u définie sur ℕ par u_n=



2 n6 , expliquer où l'on peut visualiser les 4 premiers termes de cette suite sur le dessin précédent.

Construction des termes d'une suite du type : un1=fu_n

1) Soit la suite u_n définie par: u₀=1 et ^un1=2 u_n3 pour tout n ∈ ℕ . Tracer les droites d'équations y = x et y = 2 x + 3 (unités 1 cm)

Placer ^u0 sur l'axe des abscisses puis à l'aide des droites précédentes construire ^u1 , ^u2, et ^u3 sur l'axe des abscisses.

2) Refaire ce procédé avec : a) ^u0=2 et un1=7 – 1

2u_n (unités 1 cm) b) u0=1

5 et un1=



^un (unités 10 cm) EXERCICE 4 :

Etudier la monotonie des suites suivantes : u_n= 2 – n

6 – 2 n n4 w_n=2 n²3 n4 v_n=2ⁿ t_n=



¹²



^{n sn=n}2ⁿ² EXERCICE 5 :

Pour les suites suivantes, à l'aide de la calculatrice, conjecturer un majorant et un minorant puis démontrer ces conjectures.

Pour n  1 un=3 n²– 1

n^{2 vn=4 sinn2}