Suites numériques – TD
12Vocabulaire des suites réelles
Exercice 1
Soit (un)n∈Nune suite réelle. Écrire avec des quantificateurs : 1. La suite (un)n∈Nest majorée par 10.
2. La suite (un)n∈Nn’est pas majorée.
3. La suite (un)n∈Nest croissante à partir d’un certain rang.
4. La suite (un)n∈Nn’est pas décroissante.
5. Soit`∈R. La suite (un)n∈Nne converge pas vers`.
Convergence et divergence
Exercice 2 Vrai ou faux ?
1. Si une suite réelle (un)n∈Nest non majorée, alors elle diverge vers+∞.
2. Si une suite (un)n∈Ndiverge vers+∞, alors elle est croissante à partir d’un certain rang.
Exercice 3
1. Donner deux suites divergentes dont la somme est une suite convergente.
2. Donner deux suites divergentes dont le produit est une suite convergente.
Exercice 4
Soit (un) une suite convergente. Montrer que (un+1−un) tend vers 0.
Exercice 5
Soit (un) une suite réelle telle que :∀n∈N,un∈Z.
Montrer que (un) converge si, et seulement si, (un) est stationnaire.
Exercice 6
SoitAune partie deRnon vide et majorée. On noteMun majorant de A.
Montrer queM=sup(A) si, et seulement si, il existe une suite (an)n∈Nà valeurs dansAtelle queM= lim
n→+∞an. Exercice 7 – Théorème de Cesàro
Soit (un)n∈N? une suite réelle. Pour toutn∈N?, on posevn=u1+ · · · +un
n .
1. On suppose que (un) converge vers une limite`∈R.
(a) Soitε>0. Montrer qu’il existe N∈N? tel que, pour tout entiernÊN,
|vn−`| É|u1−`| + · ·· + |uN−`|
n +n−N
n ×ε. (b) En déduire que la suite (vn) converge vers`.
2. Montrer que la réciproque est fausse.
3. Montrer que si (un)n∈Nest monotone, alors la réciproque est vraie.
(Indication: utiliser le théorème de la limite monotone)
4. On suppose que (un) tend vers+∞. Montrer que (vn) tend vers+∞. 5. On suppose que (un) tend vers−∞. Montrer que (vn) tend vers−∞.
Calculs de limite
Exercice 8
Montrer la convergence des suites définies par :
1. un=cos(n2+n+1)
n .
2. un= n3+3n 3n3+n×sin(n)+2. 3. un=p
n2+n+1−p
n2−n+1.
4. un=an−bn an+bn
¡où (a,b)∈¡ R?+¢2¢.
5. un= 1 n2
n
X
k=1
bk×xc ¡
oùx∈R¢.
6. un=
n
X
k=1
p n n4+k
.
7. un= n!
nn. 8. un= pn
2+cos(n).
9. un=
n
X
k=0
(2k+1)
n
X
k=0
(3k+5) .
10. un=
n
Y
k=2
µ 1− 1
k2
¶ . 11. un=
¹ 2+3
n º
.
Exercice 9
Déterminer la limite des suites définies par : 1. un=
µ1 n−1
¶
×n2. 2. un=
µ1 n+n
¶2
−n2.
Exercice 10
1. Montrer que la suite (un)n∈N? de terme généralun=(−1)n
n converge vers 0.
2. Pour toutn∈N?, déterminer la partie entière deun. 3. Étudier la convergence de (bunc)n∈N?.
Exercice 11
1. Montrer que, pour toutx∈R,|sin(x)−x| Éx2 2.
2. En déduire la limite de la suite de terme généralun=
n
X
k=1
sin µ k
n2
¶ . Exercice 12
Pour toutn∈N?, on poseHn=
n
X
k=1
1 k. 1. Montrer que la suite (Hn) est croissante.
2. Montrer que, pour toutn∈N∗,H2n−HnÊ1 2. 3. En déduire que :Hn−−−−−→
n→+∞ +∞.
Exercice 13
1. Montrer que la suite (cos(n)) converge si, et seulement si, la suite (sin(n)) converge.
2. Par l’absurde, supposons que la suite (sin(n)) converge. Montrer que les suites (sin(n)) et (cos(n)) convergent vers 0.
3. En déduire une contradiction.
Suites extraites
Exercice 14
Soit (un)n∈Nune suite réelle telle que les suites (u2n)n∈N, (u2n+1)n∈Net (u3n)n∈Nsont convergentes.
Montrer que la suite (un)n∈Nconverge.
Exercice 15
Soit (un)n∈Nune suite réelle croissante telle que la suite extraite (u2n) converge. Montrer que (un) converge.
Exercice 16
Soit (un)n∈Nune suite réelle croissante telle que, pour toutn∈N∗,u2n−unÉ1 n. 1. Montrer que la suite (u2n) converge.
2. En déduire que (un) est majorée, puis que (un) converge.
Suites adjacentes
Exercice 17
Soient (a,b)∈R2tel que 0<a<b. On définit les suites (un) et (vn) par :u0=a,v0=bet, pour toutn∈N, un+1=p
un×vn et vn+1=un+vn
2 .
1. Montrer que, pour toutn∈N, 0<un<vn. 2. Montrer que, pour toutn∈N,vn+1−un+1É1
2×(vn−un).
3. Montrer que le suites (un) et (vn) sont adjacentes.
Exercice 18
On considère les suites définies, pour toutn∈N∗par : un=
n
X
k=0
1
k! et vn=un+ 1 n×n!.
1. Montrer que les suites (un) et (vn) convergent vers la même limite`et que`∈R?+.
2. Par l’absurde, montrons que`est irrationnel. On suppose qu’il existe (p,q)∈N?×N? tel que`= p q. (a) Montrer que, pour toutn∈N∗,un<`<vn.
(b) Montrer que le nombreq!×(`−uq) est un entier.
(c) Aboutir à une contradiction.
Exercice 19
Soitxun réel fixé. On définit les suites (un) et (vn) par : pour toutn∈N, un=b10n×xc
10n et vn=b10n×xc 10n + 1
10n.
Montrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes et déterminer la limite commune de ces deux suites.
Suites définies par récurrence
Exercice 20
Soient (un) et (vn) les suites définies par :u0=1,v0=2 et, pour toutn∈N, un+1=3un+2vn vn+1=2un+3vn. 1. Montrer que la suite (vn−un) est constante.
2. Montrer que (un) est une suite arithmético-géométrique.
3. En déduire l’expression explicite des termes généraux des suites (un) et (vn) Exercice 21
Soit (un) la suite définie par :u0=0 et, pour toutn∈N,
un+1=1+un 2+un. 1. Justifier que (un) est bien définie.
2. Résoudre l’équation`=1+`
2+`. On note`2<`1les deux solutions de l’équation.
3. Justifier que la suite (vn) de terme généralvn=un−`1
un−`2
est bien définie et est une suite de référence.
4. En déduire la limite de (un).
Exercice 22
Soienta>0 et (un) la suite définie par :
u0∈R?+ et ∀n∈N,un+1=1 2×
µ un+ a
un
¶
1. Justifier que la suite (un) est bien définie et est minorée par p
aà partir du rang 1.
2. Montrer que la suite (un) converge.
Dans la suite, on suppose quea=u0=2.
3. Montrer que, pour toutn∈N,¯¯¯un+1−p 2¯
¯
¯É
¯¯un−p 2¯
¯
2
2 4. En déduire que, pour toutn∈N,¯¯¯un−p
2¯
¯
¯É 1 22n−1.
5. Déterminer le nombre de termes de la suite (un) à calculer pour obtenir une valeur approchée de p
2 à 10−100près.
Suites définies par u
n+1= f (u
n)
Exercice 23
Étudier la suite (un) définie par :u0∈R+et pour toutn∈N,un+1=p 2+un. Exercice 24
Étudier la suite (un) définie par :u0∈Ret pour toutn∈N,un+1=eun. Exercice 25
Étudier la suite (un) définie par :u0∈Ret pour toutn∈N,un+1=eun−1.
Exercice 26
Étudier la suite (un) définie par :u0∈i 0,π
4 i
et pour toutn∈N,un+1=sin(2un).
Exercice 27
Étudier la suite (un) définie par :u0∈[0, 2] et pour toutn∈N,un+1=p 2−un.
Suites récurrentes linéaires du second ordre
Exercice 28
Déterminer le terme général des suites définies par : 1. u0=3,u1=2 et, pour toutn∈N,un+2−2un+1+4un=0.
2. u0=2,u1= −6 et, pour toutn∈N,un+2+4un+1+4un=0.
3. u0=4,u1=2 et, pour toutn∈N, 3un+2+7un+1+2un=0.
Exercice 29
Déterminer toutes les fonctionsf :R?+→R?+vérifiant :
∀x∈R?+,f¡f(x)¢+f(x)=2x.
Suites implicites
Exercice 30
1. Soitn∈N?. Montrer que l’équationx+x2+x3+ · · · +xn=1 possède une unique solutionxn∈R+. 2. Montrer que, pour toutn∈N?, xn∈
·1 2, 1
¸
et que la suite (xn) est décroissante.
3. En déduire que (xn) converge vers une limite`à déterminer.
Exercice 31
1. Soitn∈N. Montrer que l’équation tan(x)=xadmet une unique solutionxndansIn= i
n×π−π
2,n×π+π 2 h
. 2. Étudier la convergence des suites (xn),³ xn
n×π
´ et³
xn−n×π−π 2
´ .
Suites à valeurs complexes
Exercice 32
Soit (xn)n∈Net (yn)n∈Ndeux suites réelles telles que, (x0,y0)∈R2et :
∀n∈N,xn+1=xn−yn
2 et yn+1=xn+yn
2 .
Montrer que les suites (xn)n∈Net (yn)n∈Nconvergent et déterminer leurs limites.
Exercice 33
Soit (r,θ)∈R?+×]−π,π] \ {0}. On considère la suite définie parz0=r×eiθet, pour toutn∈N, zn+1=zn+ |zn|
2 .
1. Exprimer le module et un argument dezn+1en fonction du module et d’un argument dezn. 2. En déduire la limite dezn.
Suites, bornes supérieures et bornes inférieures
Exercice 34
Soit (un) une suite réelle bornée. On définit les suites (vn) et (wn), pour toutn∈Npar : vn=inf¡
{up|pÊn}¢
et wn=sup¡
{up|pÊn}¢ 1. Montrer que les suites (vn) et (wn) convergent.
2. Montrer que la suite (un) converge si, et seulement si, les limites des suites (vn) et (wn) sont les mêmes.
